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9. 下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果。
根据表中的数据,可估计该植物的种子发芽的概率为
根据表中的数据,可估计该植物的种子发芽的概率为
0.9
。答案
9. 0.9
解析
【分析】
解题时首先回忆频率估计概率的相关知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，这个稳定的频率值就可以作为该事件发生概率的估计值。接下来观察表格数据：随着试验种子数量不断增大，发芽种子的频率逐渐在0.90附近波动，尤其种子数为2500、4000这类大样本时，频率均为0.90，说明频率稳定在0.9附近，即可得到概率的估计值。
【解析】
根据大量重复试验中频率的稳定值即为事件发生概率的规律：观察表格中的发芽频率可知，随着试验种子总数的增加，发芽种子的频率逐渐稳定在0.90附近，因此可估计该植物的种子发芽的概率为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用频率估计概率的应用，解题关键是明确只有试验次数足够多时，频率的稳定值才能作为概率的估计值，结合表格观察频率的变化趋势即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆频率估计概率的相关知识：当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，这个稳定的频率值就可以作为该事件发生概率的估计值。接下来观察表格数据：随着试验种子数量不断增大，发芽种子的频率逐渐在0.90附近波动，尤其种子数为2500、4000这类大样本时，频率均为0.90，说明频率稳定在0.9附近，即可得到概率的估计值。
【解析】
根据大量重复试验中频率的稳定值即为事件发生概率的规律：观察表格中的发芽频率可知，随着试验种子总数的增加，发芽种子的频率逐渐稳定在0.90附近，因此可估计该植物的种子发芽的概率为0.9。
【答案】
0.9
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用频率估计概率的应用，解题关键是明确只有试验次数足够多时，频率的稳定值才能作为概率的估计值，结合表格观察频率的变化趋势即可快速求解。
【难度系数】
0.9
三、解答题(共28分)
10. (13分)如图，有两个可以自由转动的转盘A,B，小明与小李用它们做配紫色(红色与蓝色配成紫色)游戏：让两个转盘分别自由转动一次，当两个转盘停止时，如指针所指区域的颜色分别是一红一蓝，就说“配成紫色”，小明胜；如果指针所指区域的颜色配不成紫色，则小李胜。
(1)利用画树状图或列表等方法表示游戏所有可能出现的结果。
(2)这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
10. (13分)如图，有两个可以自由转动的转盘A,B，小明与小李用它们做配紫色(红色与蓝色配成紫色)游戏：让两个转盘分别自由转动一次，当两个转盘停止时，如指针所指区域的颜色分别是一红一蓝，就说“配成紫色”，小明胜；如果指针所指区域的颜色配不成紫色，则小李胜。
(1)利用画树状图或列表等方法表示游戏所有可能出现的结果。
(2)这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
答案
10. 解:(1)将A转盘中蓝色部分等分为2份,分别记为蓝1,蓝2,将B转盘中红色部分等分为2份,分别记为红1,红2。画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果:(红,红1),(红,红2),(红,蓝),(蓝1,红1),(蓝1,红2),(蓝1,蓝),(蓝2,红1),(蓝2,红2),(蓝2,蓝)。
(2)游戏对双方不公平。理由如下：
由(1)可知,共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的有5种结果，
所以 P(小明获胜)=$\frac{5}{9}$,P(小李获胜)=$\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
所以这个游戏对双方不公平。
解析
【分析】
（1）要列出游戏所有等可能结果，首先观察转盘的区域占比：A转盘红色区域圆心角为120°，蓝色区域圆心角为240°，蓝色区域面积是红色的2倍；B转盘蓝色区域圆心角为120°，红色区域圆心角为240°，红色区域面积是蓝色的2倍。为了得到等可能的结果，先将A转盘蓝色部分等分为2份（蓝1、蓝2），B转盘红色部分等分为2份（红1、红2），此时两个转盘都各有3种等可能的结果，再通过画树状图即可列出全部等可能结果。
（2）判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。我们先从所有等可能结果中统计出“一红一蓝配成紫色”的结果数，计算小明获胜的概率，再推导小李获胜的概率，对比二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 首先将A转盘中蓝色部分等分为2份，分别记为蓝1、蓝2；将B转盘中红色部分等分为2份，分别记为红1、红2，此时两个转盘各有3种等可能的结果。画树状图如下：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，分别为：(红,红1)、(红,红2)、(红,蓝)、(蓝1,红1)、(蓝1,红2)、(蓝1,蓝)、(蓝2,红1)、(蓝2,红2)、(蓝2,蓝)。
(2) 游戏对双方不公平，理由如下：
从上述9种等可能结果中，筛选出一红一蓝配成紫色的结果：(红,蓝)、(蓝1,红1)、(蓝1,红2)、(蓝2,红1)、(蓝2,红2)，共5种。
因此小明获胜的概率$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{\mathrm{配成紫色的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{5}{9}$，
小李获胜的概率$P(\mathrm{小李获胜})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$。
由于$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，双方获胜的概率不相等，因此该游戏对双方不公平。
【答案】
10. 解:(1)将A转盘中蓝色部分等分为2份,分别记为蓝1,蓝2,将B转盘中红色部分等分为2份,分别记为红1,红2。画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果:(红,红1),(红,红2),(红,蓝),(蓝1,红1),(蓝1,红2),(蓝1,蓝),(蓝2,红1),(蓝2,红2),(蓝2,蓝)。
(2)游戏对双方不公平。理由如下：
由(1)可知,共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的有5种结果，
所以 P(小明获胜)=$\frac{5}{9}$,P(小李获胜)=$\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
所以这个游戏对双方不公平。
【知识点】
树状图法求概率、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的典型应用题型，解题的关键是先将面积不等的区域转化为等可能的独立区域，保证所有结果具备等可能性，再通过树状图求出对应事件的概率，进而判断游戏公平性，对逻辑分析能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
（1）要列出游戏所有等可能结果，首先观察转盘的区域占比：A转盘红色区域圆心角为120°，蓝色区域圆心角为240°，蓝色区域面积是红色的2倍；B转盘蓝色区域圆心角为120°，红色区域圆心角为240°，红色区域面积是蓝色的2倍。为了得到等可能的结果，先将A转盘蓝色部分等分为2份（蓝1、蓝2），B转盘红色部分等分为2份（红1、红2），此时两个转盘都各有3种等可能的结果，再通过画树状图即可列出全部等可能结果。
（2）判断游戏公平性的核心是比较双方获胜的概率，若概率相等则公平，否则不公平。我们先从所有等可能结果中统计出“一红一蓝配成紫色”的结果数，计算小明获胜的概率，再推导小李获胜的概率，对比二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 首先将A转盘中蓝色部分等分为2份，分别记为蓝1、蓝2；将B转盘中红色部分等分为2份，分别记为红1、红2，此时两个转盘各有3种等可能的结果。画树状图如下：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，分别为：(红,红1)、(红,红2)、(红,蓝)、(蓝1,红1)、(蓝1,红2)、(蓝1,蓝)、(蓝2,红1)、(蓝2,红2)、(蓝2,蓝)。
(2) 游戏对双方不公平，理由如下：
从上述9种等可能结果中，筛选出一红一蓝配成紫色的结果：(红,蓝)、(蓝1,红1)、(蓝1,红2)、(蓝2,红1)、(蓝2,红2)，共5种。
因此小明获胜的概率$P(\mathrm{小明获胜})=\frac{\mathrm{配成紫色的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{5}{9}$，
小李获胜的概率$P(\mathrm{小李获胜})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$。
由于$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，双方获胜的概率不相等，因此该游戏对双方不公平。
【答案】
10. 解:(1)将A转盘中蓝色部分等分为2份,分别记为蓝1,蓝2,将B转盘中红色部分等分为2份,分别记为红1,红2。画树状图如下：
由树状图可知,共有9种等可能的结果:(红,红1),(红,红2),(红,蓝),(蓝1,红1),(蓝1,红2),(蓝1,蓝),(蓝2,红1),(蓝2,红2),(蓝2,蓝)。
(2)游戏对双方不公平。理由如下：
由(1)可知,共有9种等可能的结果,其中能配成紫色的有5种结果，
所以 P(小明获胜)=$\frac{5}{9}$,P(小李获胜)=$\frac{4}{9}$。
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$,
所以这个游戏对双方不公平。
【知识点】
树状图法求概率、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的典型应用题型，解题的关键是先将面积不等的区域转化为等可能的独立区域，保证所有结果具备等可能性，再通过树状图求出对应事件的概率，进而判断游戏公平性，对逻辑分析能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7
11. (15分)【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地ABC，为求得它的面积，学习小组设计了如下方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆。
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：
【数学发现】
(1)若以小石子所落的有效区域为总数(即$m+n$)，则表格中的数据$x=$
随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在
【结论应用】
(2)请你利用(1)中所得的频率值，估计阴影部分的面积是多少？(结果保留$π$)
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆。
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：
【数学发现】
(1)若以小石子所落的有效区域为总数(即$m+n$)，则表格中的数据$x=$
0.305
。随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在
0.3
附近。(结果精确到0.1)【结论应用】
(2)请你利用(1)中所得的频率值，估计阴影部分的面积是多少？(结果保留$π$)
答案
11. 解:(1)$x=\frac{305}{1000}=0.305$。
随着投掷次数增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.3附近。
故答案为:0.305;0.3。
(2)因为圆的面积=$1^2×π=π(\mathrm{m}^2)$，
所以阴影部分的面积=$π÷0.3−π=\frac{7}{3}π(\mathrm{m}^2)$，
答:估计阴影部分的面积是$\frac{7}{3}π\ \mathrm{m}^2$。
随着投掷次数增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.3附近。
故答案为:0.305;0.3。
(2)因为圆的面积=$1^2×π=π(\mathrm{m}^2)$，
所以阴影部分的面积=$π÷0.3−π=\frac{7}{3}π(\mathrm{m}^2)$，
答:估计阴影部分的面积是$\frac{7}{3}π\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆频率的计算公式：频率=某事件发生的频数÷总试验次数，直接代入第三组的对应数据即可求出x的值；再根据大量重复试验的规律：随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近，结合多组试验的频率值取近似到0.1的常数即可。解决第(2)问时，利用频率估计概率可得小石子落在圆内的概率约为0.3，结合几何概率的计算逻辑：事件发生概率=对应区域面积÷总区域面积，先求出封闭菜地的总面积，再减去圆的面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 根据频率的计算公式，可得$x=\frac{\mathrm{落在圆内的频数}}{\mathrm{总投掷次数}}=\frac{305}{1000}=0.305$；
大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，观察多组试验的频率值，均接近0.3，因此随着投掷次数增大，小石子落在圆内的频率值稳定在0.3附近。
(2) 先计算半径为1m的圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π(\mathrm{m}^2)$
设封闭菜地ABC的总面积为$S$，由频率估计概率可得：$\frac{S_{\mathrm{圆}}}{S}\approx0.3$，因此$S\approx\frac{S_{\mathrm{圆}}}{0.3}=\frac{π}{0.3}(\mathrm{m}^2)$
阴影部分的面积为总面积减去圆的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S-S_{\mathrm{圆}}=\frac{π}{0.3}-π=\frac{10π}{3}-\frac{3π}{3}=\frac{7}{3}π(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $0.305$；$0.3$
(2) $\frac{7}{3}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
频率的计算、用频率估计概率、几何概率
【点评】
本题结合生活实际场景命题，融合了统计与几何的核心知识，既考查了基础公式的应用，又能引导学生体会数学在解决实际问题中的价值，锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，首先回忆频率的计算公式：频率=某事件发生的频数÷总试验次数，直接代入第三组的对应数据即可求出x的值；再根据大量重复试验的规律：随着试验次数增加，频率会逐渐稳定在概率附近，结合多组试验的频率值取近似到0.1的常数即可。解决第(2)问时，利用频率估计概率可得小石子落在圆内的概率约为0.3，结合几何概率的计算逻辑：事件发生概率=对应区域面积÷总区域面积，先求出封闭菜地的总面积，再减去圆的面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 根据频率的计算公式，可得$x=\frac{\mathrm{落在圆内的频数}}{\mathrm{总投掷次数}}=\frac{305}{1000}=0.305$；
大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，观察多组试验的频率值，均接近0.3，因此随着投掷次数增大，小石子落在圆内的频率值稳定在0.3附近。
(2) 先计算半径为1m的圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π(\mathrm{m}^2)$
设封闭菜地ABC的总面积为$S$，由频率估计概率可得：$\frac{S_{\mathrm{圆}}}{S}\approx0.3$，因此$S\approx\frac{S_{\mathrm{圆}}}{0.3}=\frac{π}{0.3}(\mathrm{m}^2)$
阴影部分的面积为总面积减去圆的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S-S_{\mathrm{圆}}=\frac{π}{0.3}-π=\frac{10π}{3}-\frac{3π}{3}=\frac{7}{3}π(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $0.305$；$0.3$
(2) $\frac{7}{3}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
频率的计算、用频率估计概率、几何概率
【点评】
本题结合生活实际场景命题，融合了统计与几何的核心知识，既考查了基础公式的应用，又能引导学生体会数学在解决实际问题中的价值，锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
