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1. 在实际生产、生活中，常会碰到判断两条直线是否垂直的问题，即判断这两条直线构成的角是不是
直角
，若身边没有可以直接测量角的工具，只有测量线段的工具，我们可以在角的两边各取一点，连线，构造三角形，通过测量三边长，再利用“勾股定理的逆定理
”来判断这个三角形是不是直角三角形，进而判断这个角是不是直角。答案
1. 直角 勾股定理的逆定理
解析
【分析】
解题时先回忆垂直的定义，两条直线互相垂直的核心特征是夹角为直角，因此判断垂直首先要判断夹角是否为直角。再思考仅通过线段长度判断直角三角形的方法：勾股定理是已知直角三角形推导三边平方关系，而通过三边长度反推三角形是否为直角三角形，需要用到勾股定理的逆定理，刚好匹配题目中仅能测量线段长度的场景，由此就能确定两个空的答案。
【解析】
第一个空：根据垂直的定义，若两条直线互相垂直，则它们构成的角为直角，因此判断两条直线是否垂直，首先要判断二者构成的角是不是直角。
第二个空：勾股定理的逆定理内容为：如果三角形的三边长$a$、$b$、$c$满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。我们在角的两边取点构造三角形后，测量出三边长，即可通过该定理判断构造的三角形是否为直角三角形，进而判断原角是不是直角。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
直角 勾股定理的逆定理
【知识点】
垂直的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础概念的应用，侧重对概念本质的理解，体现了数学知识在实际生活中的实用价值，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆垂直的定义，两条直线互相垂直的核心特征是夹角为直角，因此判断垂直首先要判断夹角是否为直角。再思考仅通过线段长度判断直角三角形的方法：勾股定理是已知直角三角形推导三边平方关系，而通过三边长度反推三角形是否为直角三角形，需要用到勾股定理的逆定理，刚好匹配题目中仅能测量线段长度的场景，由此就能确定两个空的答案。
【解析】
第一个空：根据垂直的定义，若两条直线互相垂直，则它们构成的角为直角，因此判断两条直线是否垂直，首先要判断二者构成的角是不是直角。
第二个空：勾股定理的逆定理内容为：如果三角形的三边长$a$、$b$、$c$满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。我们在角的两边取点构造三角形后，测量出三边长，即可通过该定理判断构造的三角形是否为直角三角形，进而判断原角是不是直角。
因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
直角 勾股定理的逆定理
【知识点】
垂直的定义；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查基础概念的应用，侧重对概念本质的理解，体现了数学知识在实际生活中的实用价值，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85
3. 有一辆装货的汽车，为了方便装运货物，使用了如图所示的钢架，其中$∠ ACB=90°$，$AC=1.2\ \mathrm{m}$，$BC=0.9\ \mathrm{m}$，则$AB$的长为(
A.$1.2\ \mathrm{m}$
B.$1.5\ \mathrm{m}$
C.$1.8\ \mathrm{m}$
D.$2\ \mathrm{m}$
B
)。A.$1.2\ \mathrm{m}$
B.$1.5\ \mathrm{m}$
C.$1.8\ \mathrm{m}$
D.$2\ \mathrm{m}$
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察图形可知△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，题目已经给出两条直角边AC、BC的长度，要求斜边AB的长度，我们可以直接运用勾股定理求解：勾股定理指直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，只需把已知边长代入公式计算，就能得到AB的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=1.2m，BC=0.9m
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值计算：
$AC^2=1.2^2=1.44$，$BC^2=0.9^2=0.81$
∴$AB^2=1.44+0.81=2.25$
∴$AB=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是明确直角三角形的直角边和斜边，熟练掌握勾股定理公式并代入数值计算即可，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，题目已经给出两条直角边AC、BC的长度，要求斜边AB的长度，我们可以直接运用勾股定理求解：勾股定理指直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，只需把已知边长代入公式计算，就能得到AB的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=1.2m，BC=0.9m
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值计算：
$AC^2=1.2^2=1.44$，$BC^2=0.9^2=0.81$
∴$AB^2=1.44+0.81=2.25$
∴$AB=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是明确直角三角形的直角边和斜边，熟练掌握勾股定理公式并代入数值计算即可，属于常规基础考题。
【难度系数】
0.9
4. 如图，受台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是（
A.8 m
B.10 m
C.16 m
D.18 m
5. 如图，阴影部分是一个长方
C
）。A.8 m
B.10 m
C.16 m
D.18 m
5. 如图，阴影部分是一个长方
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先将实际场景转化为几何模型：未折断的树干、地面、折断的树干部分恰好构成直角三角形，其中未折断的树干高6m、树顶到树干底部的水平距离8m为两条直角边，折断的树干部分为斜边。我们可以先利用勾股定理求出斜边（折断部分）的长度，再将折断部分长度与未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，该场景可抽象为直角三角形，两条直角边的长度分别为6m、8m。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10(\mathrm{m})$
即折断的树干部分长度为10m。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$6 + 10 = 16(\mathrm{m})$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，核心是将生活中的折断树木场景转化为直角三角形模型，准确识别直角边和斜边后代入勾股定理计算即可，考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先将实际场景转化为几何模型：未折断的树干、地面、折断的树干部分恰好构成直角三角形，其中未折断的树干高6m、树顶到树干底部的水平距离8m为两条直角边，折断的树干部分为斜边。我们可以先利用勾股定理求出斜边（折断部分）的长度，再将折断部分长度与未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，该场景可抽象为直角三角形，两条直角边的长度分别为6m、8m。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10(\mathrm{m})$
即折断的树干部分长度为10m。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$6 + 10 = 16(\mathrm{m})$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，核心是将生活中的折断树木场景转化为直角三角形模型，准确识别直角边和斜边后代入勾股定理计算即可，考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
5.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是
45
。答案
5.45
解析
【分析】
要计算阴影长方形的面积，需先明确长方形的长和宽：已知宽为3，因此只需算出长方形的长即可。观察图形可知，长方形的长恰好是左侧直角三角形的斜边，所以我们可以先通过勾股定理求出直角三角形的斜边长，再代入长方形面积公式计算最终结果。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
已知直角三角形的两条直角边分别为9和12，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$
2. 计算阴影长方形的面积：
长方形的长等于直角三角形的斜边长15，宽为3，因此面积为：
$15 × 3 = 45$
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是找到长方形的长与直角三角形斜边的对应关系，侧重考查对基础公式的掌握和运用能力，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要计算阴影长方形的面积，需先明确长方形的长和宽：已知宽为3，因此只需算出长方形的长即可。观察图形可知，长方形的长恰好是左侧直角三角形的斜边，所以我们可以先通过勾股定理求出直角三角形的斜边长，再代入长方形面积公式计算最终结果。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长：
已知直角三角形的两条直角边分别为9和12，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$
2. 计算阴影长方形的面积：
长方形的长等于直角三角形的斜边长15，宽为3，因此面积为：
$15 × 3 = 45$
【答案】
45
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题关键是找到长方形的长与直角三角形斜边的对应关系，侧重考查对基础公式的掌握和运用能力，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
1. 如图，湖的两岸有A,C两点，在与AC成直角的BC方向上的点B处，测得AB=15 m，BC=12 m，则A,C两点之间的距离为（
A.3 m
B.6 m
C.9 m
D.10 m
C
）。A.3 m
B.6 m
C.9 m
D.10 m
答案
1.C
解析
【分析】
首先根据题目中“AC与BC成直角”的描述，可确定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，其中AB为斜边，BC、AC为两条直角边。要求A、C两点的距离，本质就是求直角边AC的长度，已知斜边AB和另一条直角边BC的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意得∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形，AB是斜边。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
对公式变形得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$
将$AB=15\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$代入上式：
$AC=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9(\mathrm{m})$
所以A、C两点之间的距离为9m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题核心是结合题意准确识别直角三角形，区分清楚斜边和直角边后代入公式计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中“AC与BC成直角”的描述，可确定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，其中AB为斜边，BC、AC为两条直角边。要求A、C两点的距离，本质就是求直角边AC的长度，已知斜边AB和另一条直角边BC的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意得∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形，AB是斜边。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
对公式变形得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$
将$AB=15\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$代入上式：
$AC=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9(\mathrm{m})$
所以A、C两点之间的距离为9m。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；直角三角形应用
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题核心是结合题意准确识别直角三角形，区分清楚斜边和直角边后代入公式计算即可，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，从电线杆离地面6 m的地方拉一条10 m长的钢缆，地面上钢缆固定点A到电线杆底部的距离AB是（
A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
C
）。A.6 m
B.7 m
C.8 m
D.9 m
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察图形，电线杆与地面垂直，因此电线杆、地面、钢缆三者围成了一个直角三角形，其中电线杆的高度和地面上AB的长度是两条直角边，钢缆的长度是斜边。已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，要求另一条直角边的长度，我们可以直接运用勾股定理进行计算，先根据勾股定理写出待求边的表达式，再代入数值计算即可。
【解析】
解：由题意可知，电线杆垂直于地面，即∠B=90°，设钢缆与电线杆的连接点为C，则△ABC为直角三角形。
已知BC=6m（钢缆在电线杆上的固定点离地面的高度），斜边AC=10m（钢缆的总长度），根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
变形得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}$
代入数值计算：
$AB = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8(\mathrm{m})$
即AB的长度为8m。
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用，解题核心是先结合实际场景判断出直角三角形，再准确识别直角边和斜边，代入勾股定理计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】0.8
首先观察图形，电线杆与地面垂直，因此电线杆、地面、钢缆三者围成了一个直角三角形，其中电线杆的高度和地面上AB的长度是两条直角边，钢缆的长度是斜边。已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，要求另一条直角边的长度，我们可以直接运用勾股定理进行计算，先根据勾股定理写出待求边的表达式，再代入数值计算即可。
【解析】
解：由题意可知，电线杆垂直于地面，即∠B=90°，设钢缆与电线杆的连接点为C，则△ABC为直角三角形。
已知BC=6m（钢缆在电线杆上的固定点离地面的高度），斜边AC=10m（钢缆的总长度），根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
变形得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}$
代入数值计算：
$AB = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8(\mathrm{m})$
即AB的长度为8m。
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】本题是勾股定理在实际生活场景中的基础应用，解题核心是先结合实际场景判断出直角三角形，再准确识别直角边和斜边，代入勾股定理计算即可，整体解题思路清晰。
【难度系数】0.8
6. 如图所示的是一个圆柱形玻璃杯,从内部测得它的底面半径为3 cm,高为8 cm,现有一根长为15 cm的吸管随意放入杯中,则吸管露在杯口外的长度最少是
5 cm
。答案
6.5 cm
解析
【分析】
要使吸管露在杯口外的长度最少，需保证吸管在杯内的长度最长。圆柱内部最长的线段为从下底面边缘一点到上底面相对边缘一点的对角线，这条对角线与圆柱的底面直径、圆柱的高刚好构成直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出杯内吸管的最长长度，再用吸管总长度减去该长度，即可得到露在外面的最短长度。
【解析】
首先计算圆柱形玻璃杯的底面直径：$d = 2r = 2×3 = 6\mathrm{cm}$
当吸管在杯内长度最长时，杯内部分与底面直径、杯高构成直角三角形，其中底面直径和杯高为直角边，杯内吸管长度为斜边。
根据勾股定理，杯内吸管的最长长度为：
$l = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\mathrm{cm}$
已知吸管总长度为15cm，因此露在杯口外的最短长度为：
$15 - 10 = 5\mathrm{cm}$
【答案】
5 cm
【知识点】
勾股定理的应用，最值问题分析
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型应用题，解题的核心是将“露在外面最短”的问题转化为“杯内长度最长”的问题，再将立体图形中的线段关系转化为平面直角三角形的边长计算，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
要使吸管露在杯口外的长度最少，需保证吸管在杯内的长度最长。圆柱内部最长的线段为从下底面边缘一点到上底面相对边缘一点的对角线，这条对角线与圆柱的底面直径、圆柱的高刚好构成直角三角形，我们可以先利用勾股定理求出杯内吸管的最长长度，再用吸管总长度减去该长度，即可得到露在外面的最短长度。
【解析】
首先计算圆柱形玻璃杯的底面直径：$d = 2r = 2×3 = 6\mathrm{cm}$
当吸管在杯内长度最长时，杯内部分与底面直径、杯高构成直角三角形，其中底面直径和杯高为直角边，杯内吸管长度为斜边。
根据勾股定理，杯内吸管的最长长度为：
$l = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\mathrm{cm}$
已知吸管总长度为15cm，因此露在杯口外的最短长度为：
$15 - 10 = 5\mathrm{cm}$
【答案】
5 cm
【知识点】
勾股定理的应用，最值问题分析
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型应用题，解题的核心是将“露在外面最短”的问题转化为“杯内长度最长”的问题，再将立体图形中的线段关系转化为平面直角三角形的边长计算，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
7. 某地地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地等地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原。如图，在A村和B村之间有一座大山，从A村到B村，需沿道路$A-C-B(∠C=90°)$绕过村庄间的大山。若打通A，B间的隧道后，就可以直接到达。已知$AC=9\ \mathrm{km}$，$BC=12\ \mathrm{km}$，那么打通隧道后，从A村到B村路程比原来减少了
6 km
。答案
7.6 km
解析
【分析】
要计算打通隧道后减少的路程，需先分别求出原来的通行路程和隧道通车后的路程，二者的差值就是减少的路程。原来的路程是沿A-C-B行走的长度和，即AC与BC的长度之和；通车后的路程是AB的长度。观察图形可知△ABC是直角三角形，且∠C=90°，已知两条直角边AC、BC的长度，可利用勾股定理求出斜边AB的长度，最后计算两条路线的长度差即可得到结果。
【解析】
解：首先计算原来沿A-C-B行走的总路程：
$AC + BC = 9 + 12 = 21\ \mathrm{km}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将$AC=9\ \mathrm{km}$，$BC=12\ \mathrm{km}$代入上式：
$AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
由于路程长度为正数，因此$AB = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{km}$
那么打通隧道后减少的路程为：$21 - 15 = 6\ \mathrm{km}$
【答案】
6 km
【知识点】
勾股定理、路程差计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理就能快速求解，侧重考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
要计算打通隧道后减少的路程，需先分别求出原来的通行路程和隧道通车后的路程，二者的差值就是减少的路程。原来的路程是沿A-C-B行走的长度和，即AC与BC的长度之和；通车后的路程是AB的长度。观察图形可知△ABC是直角三角形，且∠C=90°，已知两条直角边AC、BC的长度，可利用勾股定理求出斜边AB的长度，最后计算两条路线的长度差即可得到结果。
【解析】
解：首先计算原来沿A-C-B行走的总路程：
$AC + BC = 9 + 12 = 21\ \mathrm{km}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
将$AC=9\ \mathrm{km}$，$BC=12\ \mathrm{km}$代入上式：
$AB^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
由于路程长度为正数，因此$AB = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{km}$
那么打通隧道后减少的路程为：$21 - 15 = 6\ \mathrm{km}$
【答案】
6 km
【知识点】
勾股定理、路程差计算
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理就能快速求解，侧重考查基础知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
