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9. 如图,在直线$l$上依次摆放着七个正方形。已知倾斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,水平放置的四个正方形的面积依次是$S_1,S_2,S_3,S_4$,则$S_1+S_2+S_3+S_4=\_\_\_\_\_\_$。
答案
9. 4
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：斜放的正方形与相邻两个水平正方形之间夹着两个直角三角形，首先可通过“角角边”证明这两个直角三角形全等，得到两个直角边分别等于相邻两个水平正方形的边长；再结合勾股定理，可知斜放正方形的面积等于相邻两个水平正方形的面积之和。根据这个规律，可得$S_1+S_2$等于面积为1的斜放正方形的面积，$S_3+S_4$等于面积为3的斜放正方形的面积，两部分相加即可得到四个水平正方形的面积和。
【解析】
1. 观察最左侧斜放的面积为1的正方形：
它与$S_1$、$S_2$之间的两个直角三角形，斜边均为该斜放正方形的边，且两个锐角分别互余，故两个三角形全等（AAS）。
设$S_1$的边长为$a$，$S_2$的边长为$b$，斜放正方形边长为$c$，根据勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$。
因为$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，斜放正方形面积$c^2=1$，所以$\boldsymbol{S_1+S_2=1}$。
2. 同理观察最右侧斜放的面积为3的正方形：
设$S_3$的边长为$m$，$S_4$的边长为$n$，斜放正方形边长为$p$，根据勾股定理得：$m^2+n^2=p^2$。
因为$S_3=m^2$，$S_4=n^2$，斜放正方形面积$p^2=3$，所以$\boldsymbol{S_3+S_4=3}$。
3. 求和：$S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是典型的勾股定理与全等三角形结合的几何应用题，解题的核心是找到斜放正方形面积与相邻水平正方形面积的等量关系，掌握这类图形的规律后可以快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：斜放的正方形与相邻两个水平正方形之间夹着两个直角三角形，首先可通过“角角边”证明这两个直角三角形全等，得到两个直角边分别等于相邻两个水平正方形的边长；再结合勾股定理，可知斜放正方形的面积等于相邻两个水平正方形的面积之和。根据这个规律，可得$S_1+S_2$等于面积为1的斜放正方形的面积，$S_3+S_4$等于面积为3的斜放正方形的面积，两部分相加即可得到四个水平正方形的面积和。
【解析】
1. 观察最左侧斜放的面积为1的正方形：
它与$S_1$、$S_2$之间的两个直角三角形，斜边均为该斜放正方形的边，且两个锐角分别互余，故两个三角形全等（AAS）。
设$S_1$的边长为$a$，$S_2$的边长为$b$，斜放正方形边长为$c$，根据勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$。
因为$S_1=a^2$，$S_2=b^2$，斜放正方形面积$c^2=1$，所以$\boldsymbol{S_1+S_2=1}$。
2. 同理观察最右侧斜放的面积为3的正方形：
设$S_3$的边长为$m$，$S_4$的边长为$n$，斜放正方形边长为$p$，根据勾股定理得：$m^2+n^2=p^2$。
因为$S_3=m^2$，$S_4=n^2$，斜放正方形面积$p^2=3$，所以$\boldsymbol{S_3+S_4=3}$。
3. 求和：$S_1+S_2+S_3+S_4=1+3=4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是典型的勾股定理与全等三角形结合的几何应用题，解题的核心是找到斜放正方形面积与相邻水平正方形面积的等量关系，掌握这类图形的规律后可以快速得到结果。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,∠A=60°,BC=10,CD=8,则∠ADC的度数为
$150°$
。答案
10. $150°$
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB=AD=6且∠A=60°，可连接BD构造等边三角形，先求出BD的长度和∠ADB的度数；再分析△BDC的三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△BDC为直角三角形，得到∠BDC的度数，最后将两个角相加即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，∠ADB=60°，
在△BDC中，BD=6，CD=8，BC=10，
∵$BD^2 + CD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$BC^2 = 10^2 = 100$，
∴$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 60° + 90° = 150°。
【答案】
$150°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题的核心是通过作辅助线构造特殊三角形，将待求角拆分为两个可求的特殊角的和，考查了对特殊三角形性质和勾股定理逆定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，AB=AD=6且∠A=60°，可连接BD构造等边三角形，先求出BD的长度和∠ADB的度数；再分析△BDC的三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△BDC为直角三角形，得到∠BDC的度数，最后将两个角相加即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，∠ADB=60°，
在△BDC中，BD=6，CD=8，BC=10，
∵$BD^2 + CD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$BC^2 = 10^2 = 100$，
∴$BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，
∴∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 60° + 90° = 150°。
【答案】
$150°$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题的核心是通过作辅助线构造特殊三角形，将待求角拆分为两个可求的特殊角的和，考查了对特殊三角形性质和勾股定理逆定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 若$△ ABC$的三边的长$a,b,c$满足$(a-b)^2 + |b-2| + (c^2 -8)^2 =0$，试判断$△ ABC$的形状。
答案
11. 解:因为$(a-b)^2 + |b-2| + (c^2 -8)^2 =0$,
所以$a-b=0,b-2=0,c^2-8=0$,
所以$a=b=2,c^2=8$。
又因为$a^2 + b^2=2^2+2^2=4+4=8$,
所以$a^2 + b^2 = c^2$,
所以$△ABC$是直角三角形,且$c$为斜边的长。
又因为$a=b$,
所以$△ABC$是等腰直角三角形。
所以$a-b=0,b-2=0,c^2-8=0$,
所以$a=b=2,c^2=8$。
又因为$a^2 + b^2=2^2+2^2=4+4=8$,
所以$a^2 + b^2 = c^2$,
所以$△ABC$是直角三角形,且$c$为斜边的长。
又因为$a=b$,
所以$△ABC$是等腰直角三角形。
解析
【分析】
首先观察已知等式，左边由平方、绝对值、平方三类式子组成，这三类数都属于非负数。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可先列出关于a、b、c的等式，求出a、b的值和$c^2$的结果；接下来先判断是否有相等的边，再通过计算验证三边是否满足勾股定理的逆定理，最终结合两个结论判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$(a-b)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，$(c^2 -8)^2 ≥ 0$，且$(a-b)^2 + |b-2| + (c^2 -8)^2 =0$
∴ $a-b=0$，$b-2=0$，$c^2 -8=0$
解得：$a=b=2$，$c^2=8$
又
∵ $a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$c$为斜边
又
∵ $a=b$，即两条直角边相等
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形
【答案】
$△ ABC$是等腰直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是基础的三角形形状判定题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质求出三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理进行判断，属于代数与几何结合的常见基础题型，相关知识点需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式，左边由平方、绝对值、平方三类式子组成，这三类数都属于非负数。根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可先列出关于a、b、c的等式，求出a、b的值和$c^2$的结果；接下来先判断是否有相等的边，再通过计算验证三边是否满足勾股定理的逆定理，最终结合两个结论判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵$(a-b)^2 ≥ 0$，$|b-2| ≥ 0$，$(c^2 -8)^2 ≥ 0$，且$(a-b)^2 + |b-2| + (c^2 -8)^2 =0$
∴ $a-b=0$，$b-2=0$，$c^2 -8=0$
解得：$a=b=2$，$c^2=8$
又
∵ $a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
∴ $a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$c$为斜边
又
∵ $a=b$，即两条直角边相等
∴ $△ ABC$是等腰直角三角形
【答案】
$△ ABC$是等腰直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是基础的三角形形状判定题，解题的关键是熟练掌握非负数的性质求出三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理进行判断，属于代数与几何结合的常见基础题型，相关知识点需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
12.【数学应用】如图，一架梯子的长c为25 m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面的长a为24 m。
(1)这个梯子的底端离墙的距离b为多少米？
(2)如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
(1)这个梯子的底端离墙的距离b为多少米？
(2)如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
答案
12. 解:(1)根据题意可得，
$b^2 = c^2 -a^2 =25^2 -24^2 =7^2$,
所以$b=7\ \mathrm{m}$。
所以这个梯子的底端离墙的距离$b$为7 m。
(2)不是。理由如下：
设梯子滑动后,梯子的底端到墙的距离为$x$ m，如图。由勾股定理，得
$x^2 + (24-4)^2 =25^2$,
解得$x=15$。
所以梯子底端滑动的距离为$15-7=8(\mathrm{m})$。
所以梯子的顶端下滑了4 m，底端在水平方向滑动了8 m，而不是4 m。
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际生活中的应用场景，墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，梯子长度为直角三角形的斜边。（1）问已知斜边长度和一条直角边长度，可直接利用勾股定理的变形公式计算另一条直角边，即梯子底端离墙的距离；（2）问中梯子滑动过程中总长度始终不变，先算出下滑后梯子靠墙端的高度，再次利用勾股定理求出此时梯子底端到墙的距离，和原来的距离作差得到水平滑动距离，和4m比较即可判断正误。
【解析】
(1) 由题意得墙面与地面垂直，三者构成直角三角形，根据勾股定理：
$b^2 = c^2 -a^2 =25^2 -24^2 =625-576=49=7^2$
距离为正数，因此$b=7\ \mathrm{m}$。
(2) 梯子底端水平方向滑动距离不是4m，理由如下：
梯子顶端下滑4m后，靠墙端距地面高度为$24-4=20\ \mathrm{m}$，设此时梯子底端到墙的距离为$x$ m，梯子长度不变仍为25m，根据勾股定理：
$x^2 + (24-4)^2 =25^2$
即$x^2=625-400=225=15^2$，解得$x=15$（距离为正，舍去负根）。
因此梯子底端水平滑动的距离为$15-7=8(\mathrm{m})$，$8\mathrm{m}≠4\mathrm{m}$，故不是滑动4m。
【答案】
(1) 这个梯子的底端离墙的距离$b$为7 m；
(2) 不是，梯子的顶端下滑了4 m，底端在水平方向滑动了8 m，而不是4 m。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可，注意不要主观臆断下滑距离和水平滑动距离相等，需通过计算验证结论。
【难度系数】
0.8
本题是勾股定理在实际生活中的应用场景，墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面恰好构成直角三角形，梯子长度为直角三角形的斜边。（1）问已知斜边长度和一条直角边长度，可直接利用勾股定理的变形公式计算另一条直角边，即梯子底端离墙的距离；（2）问中梯子滑动过程中总长度始终不变，先算出下滑后梯子靠墙端的高度，再次利用勾股定理求出此时梯子底端到墙的距离，和原来的距离作差得到水平滑动距离，和4m比较即可判断正误。
【解析】
(1) 由题意得墙面与地面垂直，三者构成直角三角形，根据勾股定理：
$b^2 = c^2 -a^2 =25^2 -24^2 =625-576=49=7^2$
距离为正数，因此$b=7\ \mathrm{m}$。
(2) 梯子底端水平方向滑动距离不是4m，理由如下：
梯子顶端下滑4m后，靠墙端距地面高度为$24-4=20\ \mathrm{m}$，设此时梯子底端到墙的距离为$x$ m，梯子长度不变仍为25m，根据勾股定理：
$x^2 + (24-4)^2 =25^2$
即$x^2=625-400=225=15^2$，解得$x=15$（距离为正，舍去负根）。
因此梯子底端水平滑动的距离为$15-7=8(\mathrm{m})$，$8\mathrm{m}≠4\mathrm{m}$，故不是滑动4m。
【答案】
(1) 这个梯子的底端离墙的距离$b$为7 m；
(2) 不是，梯子的顶端下滑了4 m，底端在水平方向滑动了8 m，而不是4 m。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题，解题核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可，注意不要主观臆断下滑距离和水平滑动距离相等，需通过计算验证结论。
【难度系数】
0.8
13.【综合与实践】根据勾股定理知识，解答下列问题：
(1)如图①，分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积$S_1$，$S_2$，$S_3$之间满足的数量关系是
(2)如图②，直角三角形的两条直角边的长分别为$a$，$b$，斜边的长为$c$，分别以三边长为直径作半圆，若$a=3$，$c=5$，求图中阴影部分的面积。
(1)如图①，分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积$S_1$，$S_2$，$S_3$之间满足的数量关系是
$S_1 + S_2 = S_3$
；(2)如图②，直角三角形的两条直角边的长分别为$a$，$b$，斜边的长为$c$，分别以三边长为直径作半圆，若$a=3$，$c=5$，求图中阴影部分的面积。
答案
13. 解:(1)$S_1 + S_2 = S_3$
(2)结合题意可知,整个图形的面积可表示为$S_{阴影}$加上以斜边为直径的半圆的面积,同时也可表示为以直角边为直径的半圆的面积之和加上以$a,b,c$为边长的直角三角形的面积。
于是
$S_{阴影}=S_{中半圆}+S_{小半圆}+S_△ - S_{大半圆}$。
又因为$S_{中半圆}+S_{小半圆}=S_{大半圆}$，
所以$S_{阴影}=S_△$。
在直角三角形中,由勾股定理得$b=4$,
所以$S_△=\frac{1}{2}×4×3=6$,
所以$S_{阴影}=6$,
即阴影部分的面积为6。
(2)结合题意可知,整个图形的面积可表示为$S_{阴影}$加上以斜边为直径的半圆的面积,同时也可表示为以直角边为直径的半圆的面积之和加上以$a,b,c$为边长的直角三角形的面积。
于是
$S_{阴影}=S_{中半圆}+S_{小半圆}+S_△ - S_{大半圆}$。
又因为$S_{中半圆}+S_{小半圆}=S_{大半圆}$，
所以$S_{阴影}=S_△$。
在直角三角形中,由勾股定理得$b=4$,
所以$S_△=\frac{1}{2}×4×3=6$,
所以$S_{阴影}=6$,
即阴影部分的面积为6。
解析
【分析】
(1) 要推导三个半圆面积的关系，首先分别用直角三角形的三边长表示出$S_1$、$S_2$、$S_3$，再结合勾股定理中直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，代入面积表达式即可得到三者的数量关系。
(2) 阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此采用割补法：将整个图形的面积用两种方式表示，一种是阴影部分面积加以斜边为直径的大半圆面积，另一种是以两条直角边为直径的两个小半圆面积加直角三角形的面积，联立两个表达式，再结合(1)的结论即可将半圆面积抵消，得到阴影部分面积等于直角三角形面积，最后先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再计算三角形面积即可。
【解析】
(1) 设直角三角形的两条直角边长分别为$m$、$n$，斜边长为$p$，根据半圆面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{m}{2})^2=\frac{π m^2}{8}$，$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{n}{2})^2=\frac{π n^2}{8}$，$S_3=\frac{1}{2}π · (\frac{p}{2})^2=\frac{π p^2}{8}$。
根据勾股定理得$m^2+n^2=p^2$，因此：
$S_1+S_2=\frac{π m^2}{8}+\frac{π n^2}{8}=\frac{π(m^2+n^2)}{8}=\frac{π p^2}{8}=S_3$。
(2) 首先在直角三角形中，已知$a=3$，$c=5$，根据勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
观察图形可得：整个图形的面积 = $S_{阴影}$ + 以$c$为直径的大半圆面积，同时整个图形的面积 = 以$a$为直径的小半圆面积 + 以$b$为直径的中半圆面积 + 直角三角形面积，因此：
$S_{阴影}=S_{小半圆}+S_{中半圆}+S_{△} - S_{大半圆}$。
由(1)的结论可知$S_{小半圆}+S_{中半圆}=S_{大半圆}$，代入上式得：
$S_{阴影}=S_{△}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
(1) $S_1+S_2=S_3$
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题将勾股定理与圆的面积计算相结合，重点考察不规则图形面积的求解思路，核心是通过等量代换简化运算，不需要分别计算各半圆的面积即可得出结果，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导三个半圆面积的关系，首先分别用直角三角形的三边长表示出$S_1$、$S_2$、$S_3$，再结合勾股定理中直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，代入面积表达式即可得到三者的数量关系。
(2) 阴影部分是不规则图形，无法直接计算面积，因此采用割补法：将整个图形的面积用两种方式表示，一种是阴影部分面积加以斜边为直径的大半圆面积，另一种是以两条直角边为直径的两个小半圆面积加直角三角形的面积，联立两个表达式，再结合(1)的结论即可将半圆面积抵消，得到阴影部分面积等于直角三角形面积，最后先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再计算三角形面积即可。
【解析】
(1) 设直角三角形的两条直角边长分别为$m$、$n$，斜边长为$p$，根据半圆面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}π · (\frac{m}{2})^2=\frac{π m^2}{8}$，$S_2=\frac{1}{2}π · (\frac{n}{2})^2=\frac{π n^2}{8}$，$S_3=\frac{1}{2}π · (\frac{p}{2})^2=\frac{π p^2}{8}$。
根据勾股定理得$m^2+n^2=p^2$，因此：
$S_1+S_2=\frac{π m^2}{8}+\frac{π n^2}{8}=\frac{π(m^2+n^2)}{8}=\frac{π p^2}{8}=S_3$。
(2) 首先在直角三角形中，已知$a=3$，$c=5$，根据勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
观察图形可得：整个图形的面积 = $S_{阴影}$ + 以$c$为直径的大半圆面积，同时整个图形的面积 = 以$a$为直径的小半圆面积 + 以$b$为直径的中半圆面积 + 直角三角形面积，因此：
$S_{阴影}=S_{小半圆}+S_{中半圆}+S_{△} - S_{大半圆}$。
由(1)的结论可知$S_{小半圆}+S_{中半圆}=S_{大半圆}$，代入上式得：
$S_{阴影}=S_{△}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$。
【答案】
(1) $S_1+S_2=S_3$
(2) $\boxed{6}$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题将勾股定理与圆的面积计算相结合，重点考察不规则图形面积的求解思路，核心是通过等量代换简化运算，不需要分别计算各半圆的面积即可得出结果，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
