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8. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为
17 m
。答案
8.17 m
解析
【分析】
解题时先梳理题意：绳子拉到旗杆底端刚好接触地面，说明绳子长度与旗杆高度相等，可将问题转化为直角三角形模型求解。首先设旗杆高度为未知数，即可得到绳子长度；再分析拉绳子后的场景，此时水平方向长度为8m，竖直方向直角边长度为旗杆高度减去绳子末端距地面的2m，斜边为绳子长度，结合勾股定理列方程即可计算即可得出结果。
【解析】
设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知绳子的长度也为$ x \, \mathrm{m} $。
将绳子拉到距离旗杆8m处时，可得到直角三角形：水平直角边长为$ 8 \, \mathrm{m} $，竖直直角边长为$ (x-2) \, \mathrm{m} $，斜边长为绳子长度$ x \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程：
$(x-2)^2 + 8^2 = x^2$
展开整理得：
$x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2$
消去$ x^2 $后计算：
$-4x + 68 = 0$
解得$ x=17 $。
【答案】
17 m
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型题目，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的几何问题，准确梳理各线段对应的长度关系，结合勾股定理建立方程即可解答，要注意不要混淆竖直直角边的长度表达式。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题意：绳子拉到旗杆底端刚好接触地面，说明绳子长度与旗杆高度相等，可将问题转化为直角三角形模型求解。首先设旗杆高度为未知数，即可得到绳子长度；再分析拉绳子后的场景，此时水平方向长度为8m，竖直方向直角边长度为旗杆高度减去绳子末端距地面的2m，斜边为绳子长度，结合勾股定理列方程即可计算即可得出结果。
【解析】
设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $，由题意可知绳子的长度也为$ x \, \mathrm{m} $。
将绳子拉到距离旗杆8m处时，可得到直角三角形：水平直角边长为$ 8 \, \mathrm{m} $，竖直直角边长为$ (x-2) \, \mathrm{m} $，斜边长为绳子长度$ x \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程：
$(x-2)^2 + 8^2 = x^2$
展开整理得：
$x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2$
消去$ x^2 $后计算：
$-4x + 68 = 0$
解得$ x=17 $。
【答案】
17 m
【知识点】
勾股定理的应用，列方程解应用题
【点评】
本题是勾股定理结合生活场景的典型题目，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的几何问题，准确梳理各线段对应的长度关系，结合勾股定理建立方程即可解答，要注意不要混淆竖直直角边的长度表达式。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在一块四边形ABCD空地种植草皮,测得$AB=3\ \mathrm{m},BC=4\ \mathrm{m},DA=13\ \mathrm{m},CD=12\ \mathrm{m}$,且$∠ ABC=90°$。若每平方米草皮需要200元,则需要投资(
A.16 800元
B.7 200元
C.5 100元
D.无法确定
B
)。A.16 800元
B.7 200元
C.5 100元
D.无法确定
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先观察四边形特征，已知∠ABC=90°，可通过连接辅助线AC，将不规则四边形拆分为两个三角形求解。第一步先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；第二步将AC的长度与CD、DA的长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；第三步分别计算两个直角三角形的面积，求和得到四边形总面积，最后结合每平方米草皮的价格计算总投资即可。
【解析】
解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，
∴$AC=5\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，AC=5m，CD=12m，DA=13m，
∵$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36\ \mathrm{m^2}$。
已知每平方米草皮需要200元，总投资为：$36×200=7200$元。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关的实际应用问题，核心解题思路是通过添加辅助线将不规则四边形转化为规则的直角三角形求解，既考查了勾股定理求边长的应用，也考查了用逆定理判定直角三角形的方法，是几何中不规则图形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察四边形特征，已知∠ABC=90°，可通过连接辅助线AC，将不规则四边形拆分为两个三角形求解。第一步先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；第二步将AC的长度与CD、DA的长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形；第三步分别计算两个直角三角形的面积，求和得到四边形总面积，最后结合每平方米草皮的价格计算总投资即可。
【解析】
解：连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=3m，BC=4m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，
∴$AC=5\ \mathrm{m}$。
在△ACD中，AC=5m，CD=12m，DA=13m，
∵$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
∴$AC^2+CD^2=AD^2$，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°。
四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36\ \mathrm{m^2}$。
已知每平方米草皮需要200元，总投资为：$36×200=7200$元。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关的实际应用问题，核心解题思路是通过添加辅助线将不规则四边形转化为规则的直角三角形求解，既考查了勾股定理求边长的应用，也考查了用逆定理判定直角三角形的方法，是几何中不规则图形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，过顶点A的直线$DE // BC$，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线分别交DE于点E，D。若$AB=6$，$BC=10$，则$DE=$（
A.12
B.14
C.16
D.18
B
）。A.12
B.14
C.16
D.18
答案
10.B
解析
【分析】
解题时首先从已知的直角三角形入手，已知两条边的长度，可先用勾股定理求出第三条边AC的长度。再结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，搭配角平分线的定义，可推导出△ACD和△ABE都是等腰三角形，得到AD=AC、AE=AB，最后DE的长度就是AD与AE的和，也就是AC和AB的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$BC=10$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
2. 因为$DE// BC$，所以$∠ DCB=∠ D$（两直线平行，内错角相等），
又因为CD平分$∠ ACB$，所以$∠ ACD=∠ DCB$，
因此$∠ D=∠ ACD$，根据等角对等边可得$AD=AC=8$。
3. 同理，$DE// BC$可得$∠ EBC=∠ E$（两直线平行，内错角相等），
又因为BE平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE=∠ EBC$，
因此$∠ E=∠ ABE$，根据等角对等边可得$AE=AB=6$。
4. 所以$DE=AD+AE=8+6=14$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是结合平行和角平分线的性质推导等腰三角形，将未知线段长度转化为已知线段的和，解题思路清晰，考查的都是基础几何知识点的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的直角三角形入手，已知两条边的长度，可先用勾股定理求出第三条边AC的长度。再结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等性质，搭配角平分线的定义，可推导出△ACD和△ABE都是等腰三角形，得到AD=AC、AE=AB，最后DE的长度就是AD与AE的和，也就是AC和AB的长度和，代入数值计算即可。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=6$，$BC=10$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
2. 因为$DE// BC$，所以$∠ DCB=∠ D$（两直线平行，内错角相等），
又因为CD平分$∠ ACB$，所以$∠ ACD=∠ DCB$，
因此$∠ D=∠ ACD$，根据等角对等边可得$AD=AC=8$。
3. 同理，$DE// BC$可得$∠ EBC=∠ E$（两直线平行，内错角相等），
又因为BE平分$∠ ABC$，所以$∠ ABE=∠ EBC$，
因此$∠ E=∠ ABE$，根据等角对等边可得$AE=AB=6$。
4. 所以$DE=AD+AE=8+6=14$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是结合平行和角平分线的性质推导等腰三角形，将未知线段长度转化为已知线段的和，解题思路清晰，考查的都是基础几何知识点的应用。
【难度系数】
0.7
11.如图,某隧道的横截面由半圆和长方形构成,其中长方形的长为5 m,宽为2.5 m,一辆卡车装满货物后,高为4.3 m,宽为3 m,它
（第11题）（第12题）
能
(填“能”或“不能”)通过该隧道。（第11题）（第12题）
答案
11.能
解析
【分析】
要判断卡车能否通过隧道，需计算卡车对应宽度位置处隧道的总高度，再与卡车高度比较。首先明确隧道上半部分是直径为5m的半圆，下半部分是高2.5m的长方形。卡车宽3m，即距离隧道中线水平距离为1.5m，我们可通过勾股定理计算该位置处半圆的竖直高度，加上长方形高度后和4.3m比较即可得出结论。
【解析】
1. 先求半圆的半径：半圆直径等于长方形的长5m，因此半径$r=5÷2=2.5\ \mathrm{m}$。
2. 卡车宽3m，因此卡车边缘距离隧道中线的水平距离为$3÷2=1.5\ \mathrm{m}$。
3. 设该水平位置对应的半圆竖直高度为$h$，根据勾股定理可得：
$h^2 + 1.5^2 = 2.5^2$
计算得：$h^2=2.5^2 - 1.5^2=6.25-2.25=4$，取正根得$h=2\ \mathrm{m}$。
4. 该位置隧道总高度为长方形高度加半圆高度：$2.5+2=4.5\ \mathrm{m}$。
5. 比较高度：$4.5\ \mathrm{m}＞4.3\ \mathrm{m}$，因此卡车能通过。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理的应用；圆的基本性质；实数大小比较
【点评】
本题是生活实际与几何结合的典型题型，解题核心是将实际通行问题转化为几何计算问题，重点考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力，计算量小，解题思路清晰明确。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否通过隧道，需计算卡车对应宽度位置处隧道的总高度，再与卡车高度比较。首先明确隧道上半部分是直径为5m的半圆，下半部分是高2.5m的长方形。卡车宽3m，即距离隧道中线水平距离为1.5m，我们可通过勾股定理计算该位置处半圆的竖直高度，加上长方形高度后和4.3m比较即可得出结论。
【解析】
1. 先求半圆的半径：半圆直径等于长方形的长5m，因此半径$r=5÷2=2.5\ \mathrm{m}$。
2. 卡车宽3m，因此卡车边缘距离隧道中线的水平距离为$3÷2=1.5\ \mathrm{m}$。
3. 设该水平位置对应的半圆竖直高度为$h$，根据勾股定理可得：
$h^2 + 1.5^2 = 2.5^2$
计算得：$h^2=2.5^2 - 1.5^2=6.25-2.25=4$，取正根得$h=2\ \mathrm{m}$。
4. 该位置隧道总高度为长方形高度加半圆高度：$2.5+2=4.5\ \mathrm{m}$。
5. 比较高度：$4.5\ \mathrm{m}＞4.3\ \mathrm{m}$，因此卡车能通过。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理的应用；圆的基本性质；实数大小比较
【点评】
本题是生活实际与几何结合的典型题型，解题核心是将实际通行问题转化为几何计算问题，重点考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力，计算量小，解题思路清晰明确。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$△ ABC$是一张纸片，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，现将其折叠，使点$A$与点$B$重合，折痕为$DE$，则$DE$的长为________。
答案
12.$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到等量关系：折痕DE垂直平分AB，AD=BD。首先用勾股定理算出AB的总长度，得到AE的长度；再设AD为未知数，用含未知数的式子表示CD的长度，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程求出AD的长度；最后在Rt△ADE中再次用勾股定理计算即可得到DE的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵折叠使点A与点B重合，折痕为DE
∴DE垂直平分AB，$AD=BD$
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=5$，$∠ AED=90°$
设$AD=BD=x$，则$CD=BC-BD=8-x$
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2+CD^2=AD^2$
即$6^2+(8-x)^2=x^2$
展开化简得：$36+64-16x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{4}$
在$Rt△ ADE$中，$AD=\frac{25}{4}$，$AE=5$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2-5^2}=\sqrt{\frac{625}{16}-\frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题的综合应用，核心是抓住折叠前后的线段相等、折痕垂直平分对应点连线的性质，通过合理设未知数列方程求解，是勾股定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
解题时先利用折叠的性质得到等量关系：折痕DE垂直平分AB，AD=BD。首先用勾股定理算出AB的总长度，得到AE的长度；再设AD为未知数，用含未知数的式子表示CD的长度，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程求出AD的长度；最后在Rt△ADE中再次用勾股定理计算即可得到DE的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵折叠使点A与点B重合，折痕为DE
∴DE垂直平分AB，$AD=BD$
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=5$，$∠ AED=90°$
设$AD=BD=x$，则$CD=BC-BD=8-x$
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC^2+CD^2=AD^2$
即$6^2+(8-x)^2=x^2$
展开化简得：$36+64-16x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{4}$
在$Rt△ ADE$中，$AD=\frac{25}{4}$，$AE=5$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{25}{4})^2-5^2}=\sqrt{\frac{625}{16}-\frac{400}{16}}=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}$
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题的综合应用，核心是抓住折叠前后的线段相等、折痕垂直平分对应点连线的性质，通过合理设未知数列方程求解，是勾股定理实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=8$,点$D$是$AC$边上的一个动点,将$△ ABC$沿$BD$所在的直线折叠,点$C$的对应点为点$E$,若$CD=6$,则$C,E$两点之间的距离为
9.6
。答案
13.9.6
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质：折叠前后对应点的连线被对称轴垂直平分，可知BD垂直平分CE，因此要求CE的长度，只需先求出CE一半的长度即可。首先在Rt△BCD中，用勾股定理求出BD的长度，再通过三角形面积的两种计算方法求出CE上的高，最后乘2就能得到CE的长。
【解析】
连接CE，交BD于点F。
由折叠的性质可得：BD垂直平分CE，即$CF=EF$，$BD⊥CE$。
在$Rt△BCD$中，$∠ACB=90°$，$BC=8$，$CD=6$，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
$△BCD$的面积可表示为两种形式：
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×CD=\frac{1}{2}×BD×CF$
代入数值计算：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10×CF$
化简得$24=5CF$，解得$CF=4.8$。
因为$CE=2CF$，所以$CE=2×4.8=9.6$。
【答案】
9.6
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；面积法求线段长
【点评】
本题结合折叠性质和勾股定理考查线段长度的计算，解题核心是利用折叠的特征得到线段的垂直关系，灵活运用面积法简化计算，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
解题时先利用折叠的性质：折叠前后对应点的连线被对称轴垂直平分，可知BD垂直平分CE，因此要求CE的长度，只需先求出CE一半的长度即可。首先在Rt△BCD中，用勾股定理求出BD的长度，再通过三角形面积的两种计算方法求出CE上的高，最后乘2就能得到CE的长。
【解析】
连接CE，交BD于点F。
由折叠的性质可得：BD垂直平分CE，即$CF=EF$，$BD⊥CE$。
在$Rt△BCD$中，$∠ACB=90°$，$BC=8$，$CD=6$，根据勾股定理：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
$△BCD$的面积可表示为两种形式：
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×CD=\frac{1}{2}×BD×CF$
代入数值计算：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10×CF$
化简得$24=5CF$，解得$CF=4.8$。
因为$CE=2CF$，所以$CE=2×4.8=9.6$。
【答案】
9.6
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；面积法求线段长
【点评】
本题结合折叠性质和勾股定理考查线段长度的计算，解题核心是利用折叠的特征得到线段的垂直关系，灵活运用面积法简化计算，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
14.【综合与实践】台风是一种自然灾害，有极强的破坏力。如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知C为一海港，且AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km，台风中心的移动速度为25 km/h。经测量，距离台风中心260 km及以内的地区会受到影响。海港C会受到台风影响吗？若会受到台风影响，请求出受影响的时间有多长；若不会受到台风影响，请说明理由。
答案
14.解:如图,过点C作$CD⊥AB$于点D。
因为$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
所以$AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 500^2 = AB^2$,所以$△ABC$为直角三角形,且$∠ACB=90°$,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
所以$500CD=300×400$,所以$CD=240\ \mathrm{km}$。
因为$240\ \mathrm{km}＜260\ \mathrm{km}$，
所以海港C会受到台风影响。
如图,在线段AB上找到点 E, F, 使 $DE = DF$,连接 EC,FC。
因为$DE=DF$,$CD⊥AB$,
所以$EC=FC$。
当$EC=FC=260\ \mathrm{km}$时,台风正好影响海港C。
在$Rt△ CED$中,
由勾股定理得$CD^2 + ED^2 = CE^2$,
即$240^2 + ED^2 = 260^2$,所以$ED=100\ \mathrm{km}$。
因为$DE=DF=100\ \mathrm{km}$,所以$EF=2DE=200(\mathrm{km})$。
因为台风中心的移动速度为25 km/h,
所以$200÷25=8(\mathrm{h})$,
即海港C受影响的时间为8 h。
解析
【分析】
要判断海港C是否受台风影响，首先根据“垂线段最短”，求出C到台风移动路线AB的最短距离，即过C作AB的垂线段CD的长度，将其与260km比较，若小于等于260km则会受影响。若确定受影响，再找到台风中心在AB上刚好影响C的两个临界点E、F（满足CE=CF=260km），利用勾股定理求出E、F之间的距离，最后用该距离除以台风移动速度即可得到受影响的时间。
【解析】
解:如图,过点C作$CD⊥AB$于点D。
因为$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
所以$AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 500^2 = AB^2$,所以$△ABC$为直角三角形,且$∠ACB=90°$,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
所以$500CD=300×400$,所以$CD=240\ \mathrm{km}$。
因为$240\ \mathrm{km}＜260\ \mathrm{km}$，
所以海港C会受到台风影响。
如图,在线段AB上找到点 E, F, 使 $DE = DF$,连接 EC,FC。
因为$DE=DF$,$CD⊥AB$,
所以$EC=FC$。
当$EC=FC=260\ \mathrm{km}$时,台风正好影响海港C。
在$Rt△ CED$中,
由勾股定理得$CD^2 + ED^2 = CE^2$,
即$240^2 + ED^2 = 260^2$,所以$ED=100\ \mathrm{km}$。
因为$DE=DF=100\ \mathrm{km}$,所以$EF=2DE=200(\mathrm{km})$。
因为台风中心的移动速度为25 km/h,
所以$200÷25=8(\mathrm{h})$,
即海港C受影响的时间为8 h。
【答案】
海港C会受到台风影响，受影响的时间为8 h。
【知识点】
勾股定理及逆定理，垂线段的性质，行程计算
【点评】
本题结合实际灾害情境考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形几何模型，先通过等面积法求高判断是否受影响，再确定受影响的路径长度求解时间，能有效锻炼数学建模和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.7
要判断海港C是否受台风影响，首先根据“垂线段最短”，求出C到台风移动路线AB的最短距离，即过C作AB的垂线段CD的长度，将其与260km比较，若小于等于260km则会受影响。若确定受影响，再找到台风中心在AB上刚好影响C的两个临界点E、F（满足CE=CF=260km），利用勾股定理求出E、F之间的距离，最后用该距离除以台风移动速度即可得到受影响的时间。
【解析】
解:如图,过点C作$CD⊥AB$于点D。
因为$AC=300\ \mathrm{km},BC=400\ \mathrm{km},AB=500\ \mathrm{km}$，
所以$AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 500^2 = AB^2$,所以$△ABC$为直角三角形,且$∠ACB=90°$,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$,
所以$500CD=300×400$,所以$CD=240\ \mathrm{km}$。
因为$240\ \mathrm{km}＜260\ \mathrm{km}$，
所以海港C会受到台风影响。
如图,在线段AB上找到点 E, F, 使 $DE = DF$,连接 EC,FC。
因为$DE=DF$,$CD⊥AB$,
所以$EC=FC$。
当$EC=FC=260\ \mathrm{km}$时,台风正好影响海港C。
在$Rt△ CED$中,
由勾股定理得$CD^2 + ED^2 = CE^2$,
即$240^2 + ED^2 = 260^2$,所以$ED=100\ \mathrm{km}$。
因为$DE=DF=100\ \mathrm{km}$,所以$EF=2DE=200(\mathrm{km})$。
因为台风中心的移动速度为25 km/h,
所以$200÷25=8(\mathrm{h})$,
即海港C受影响的时间为8 h。
【答案】
海港C会受到台风影响，受影响的时间为8 h。
【知识点】
勾股定理及逆定理，垂线段的性质，行程计算
【点评】
本题结合实际灾害情境考查勾股定理的应用，核心是将实际问题转化为直角三角形几何模型，先通过等面积法求高判断是否受影响，再确定受影响的路径长度求解时间，能有效锻炼数学建模和实际问题转化能力。
【难度系数】
0.7
