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1.观察一组数3,5,7,…,则第n个数可以表示为(
A.$2(n-1)$
B.$2n-1$
C.$2(n+1)$
D.$2n+1$
D
)。A.$2(n-1)$
B.$2n-1$
C.$2(n+1)$
D.$2n+1$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道数字规律探索题，我们可以通过两种思路解题：一是观察已知数的共同特征，推导第n个数的表达式；二是用代入排除法，将n=1、n=2等小数值代入选项验证，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
方法一：归纳推导法
观察数列特征：
第1个数：$3=2×1+1$
第2个数：$5=2×2+1$
第3个数：$7=2×3+1$
……
以此类推，第n个数的表达式为$2n+1$。
方法二：代入排除法
将$n=1$分别代入四个选项验证：
A选项：$2×(1-1)=0≠3$，不符合，排除；
B选项：$2×1-1=1≠3$，不符合，排除；
C选项：$2×(1+1)=4≠3$，不符合，排除；
D选项：$2×1+1=3$，符合题意；
再代入$n=2$验证，$2×2+1=5$，符合数列特征；代入$n=3$验证，$2×3+1=7$，也符合，因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
探索数字规律；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，既可以通过观察数字特征归纳通用表达式，也可以利用代入法快速验证选项，熟练掌握代入验证法可以提升这类选择题的解题效率和准确率。
【难度系数】
0.9
这是一道数字规律探索题，我们可以通过两种思路解题：一是观察已知数的共同特征，推导第n个数的表达式；二是用代入排除法，将n=1、n=2等小数值代入选项验证，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
方法一：归纳推导法
观察数列特征：
第1个数：$3=2×1+1$
第2个数：$5=2×2+1$
第3个数：$7=2×3+1$
……
以此类推，第n个数的表达式为$2n+1$。
方法二：代入排除法
将$n=1$分别代入四个选项验证：
A选项：$2×(1-1)=0≠3$，不符合，排除；
B选项：$2×1-1=1≠3$，不符合，排除；
C选项：$2×(1+1)=4≠3$，不符合，排除；
D选项：$2×1+1=3$，符合题意；
再代入$n=2$验证，$2×2+1=5$，符合数列特征；代入$n=3$验证，$2×3+1=7$，也符合，因此D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
探索数字规律；代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，既可以通过观察数字特征归纳通用表达式，也可以利用代入法快速验证选项，熟练掌握代入验证法可以提升这类选择题的解题效率和准确率。
【难度系数】
0.9
2.一个由小菱形“◇”组成的装饰链，断去了一部分，剩下的部分如图所示，则断去部分的小菱形“◇”的个数可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先观察完整的图案部分，找出图形的重复规律：图案每3个小菱形为一个循环周期。再观察断口特征：左侧剩余部分末尾是横向菱形，右侧剩余部分开头是横向菱形，因此断口处固定缺少2个菱形，后续每多一个完整循环就多3个菱形，因此断去的总个数可表示为3n+2（n为非负整数），最后将选项代入表达式验证即可得到答案。
【解析】
1. 找图形周期：观察已知的完整装饰链，可发现图案以3个小菱形为一个重复单元循环出现。
2. 分析断口缺失：左边剩余部分的末端是横向菱形，右边剩余部分的首端是横向菱形，因此断口位置固定缺少2个菱形（对应一组的上下两个菱形），断去部分还可能包含若干个完整的重复单元，因此断去的小菱形总个数为$3n+2$（$n$为非负整数）。
3. 验证选项：
当$n=0$时，$3×0+2=2$，无对应选项；
当$n=1$时，$3×1+2=5$，对应选项C；
当$n≥2$时，所得结果均大于选项中的最大数值6，因此只有C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
图形找规律，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是先确定图形的重复周期，再结合断口的固定缺失量得到总缺失数的通用表达式，代入选项验证即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察完整的图案部分，找出图形的重复规律：图案每3个小菱形为一个循环周期。再观察断口特征：左侧剩余部分末尾是横向菱形，右侧剩余部分开头是横向菱形，因此断口处固定缺少2个菱形，后续每多一个完整循环就多3个菱形，因此断去的总个数可表示为3n+2（n为非负整数），最后将选项代入表达式验证即可得到答案。
【解析】
1. 找图形周期：观察已知的完整装饰链，可发现图案以3个小菱形为一个重复单元循环出现。
2. 分析断口缺失：左边剩余部分的末端是横向菱形，右边剩余部分的首端是横向菱形，因此断口位置固定缺少2个菱形（对应一组的上下两个菱形），断去部分还可能包含若干个完整的重复单元，因此断去的小菱形总个数为$3n+2$（$n$为非负整数）。
3. 验证选项：
当$n=0$时，$3×0+2=2$，无对应选项；
当$n=1$时，$3×1+2=5$，对应选项C；
当$n≥2$时，所得结果均大于选项中的最大数值6，因此只有C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
图形找规律，列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是先确定图形的重复周期，再结合断口的固定缺失量得到总缺失数的通用表达式，代入选项验证即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是(
A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
D
)。A.$2n+2$
B.$4n+4$
C.$4n-4$
D.$4n$
答案
3.D
解析
【分析】
解决这类图形规律问题，首先从已知的前几个图形入手，先分别数出每个图形中三角形的个数，再观察数量和图形序号n的对应关系，归纳出通用的规律即可。首先数第1个图形中三角形共4个，第2个共8个，第3个共12个，可发现数量是序号的4倍，即可得到规律。
【解析】
第一步：分别计数前3个图形的三角形个数：
第1个图形中三角形的个数为$4=4×1$；
第2个图形中三角形的个数为$8=4×2$；
第3个图形中三角形的个数为$12=4×3$；
第二步：归纳规律：观察可得，第n个图形中三角形的个数是序号n的4倍，即$4n$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是准确统计前几个图形的对应元素数量，再推导一般规律，细心计数就能顺利找到规律。
【难度系数】
0.8
解决这类图形规律问题，首先从已知的前几个图形入手，先分别数出每个图形中三角形的个数，再观察数量和图形序号n的对应关系，归纳出通用的规律即可。首先数第1个图形中三角形共4个，第2个共8个，第3个共12个，可发现数量是序号的4倍，即可得到规律。
【解析】
第一步：分别计数前3个图形的三角形个数：
第1个图形中三角形的个数为$4=4×1$；
第2个图形中三角形的个数为$8=4×2$；
第3个图形中三角形的个数为$12=4×3$；
第二步：归纳规律：观察可得，第n个图形中三角形的个数是序号n的4倍，即$4n$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是准确统计前几个图形的对应元素数量，再推导一般规律，细心计数就能顺利找到规律。
【难度系数】
0.8
4.用计算机设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表。
那么当输入的数据是8时,输出的数据是(
A.$\dfrac{8}{61}$
B.$\dfrac{8}{63}$
C.$\dfrac{1}{8}$
D.$\dfrac{8}{65}$
那么当输入的数据是8时,输出的数据是(
D
)。A.$\dfrac{8}{61}$
B.$\dfrac{8}{63}$
C.$\dfrac{1}{8}$
D.$\dfrac{8}{65}$
答案
4.D
解析
【分析】
我们可以分别观察输出数据的分子、分母和输入数据的对应关系，总结规律后计算输入为8时的结果。第一步先看分子：输入1时分子是1，输入2时分子是2，输入3时分子是3，可发现分子和输入的数相等；第二步看分母：输入1时分母是2=1²+1，输入2时分母是5=2²+1，输入3时分母是10=3²+1，输入4时分母是17=4²+1，输入5时分母是26=5²+1，可得分母是输入数的平方加1，最后代入数值8计算即可。
【解析】
设输入的数据为正整数$n$：
1. 观察输出分数的分子：输入$n$时，对应的分子就是$n$；
2. 观察输出分数的分母：
输入1时，分母$=1^2+1=2$；
输入2时，分母$=2^2+1=5$；
输入3时，分母$=3^2+1=10$；
输入4时，分母$=4^2+1=17$；
输入5时，分母$=5^2+1=26$；
因此输入$n$时，对应的分母为$n^2+1$；
3. 综上，输入$n$时输出的数为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入$n=8$时，输出的数为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
D
【知识点】
数字类规律探索
【点评】
本题属于基础的规律探究题，解题时分别拆分分子、分母找和输入值的对应关系即可，需要注意验证总结的规律是否符合所有已知数据。
【难度系数】
0.75
我们可以分别观察输出数据的分子、分母和输入数据的对应关系，总结规律后计算输入为8时的结果。第一步先看分子：输入1时分子是1，输入2时分子是2，输入3时分子是3，可发现分子和输入的数相等；第二步看分母：输入1时分母是2=1²+1，输入2时分母是5=2²+1，输入3时分母是10=3²+1，输入4时分母是17=4²+1，输入5时分母是26=5²+1，可得分母是输入数的平方加1，最后代入数值8计算即可。
【解析】
设输入的数据为正整数$n$：
1. 观察输出分数的分子：输入$n$时，对应的分子就是$n$；
2. 观察输出分数的分母：
输入1时，分母$=1^2+1=2$；
输入2时，分母$=2^2+1=5$；
输入3时，分母$=3^2+1=10$；
输入4时，分母$=4^2+1=17$；
输入5时，分母$=5^2+1=26$；
因此输入$n$时，对应的分母为$n^2+1$；
3. 综上，输入$n$时输出的数为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入$n=8$时，输出的数为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
D
【知识点】
数字类规律探索
【点评】
本题属于基础的规律探究题，解题时分别拆分分子、分母找和输入值的对应关系即可，需要注意验证总结的规律是否符合所有已知数据。
【难度系数】
0.75
5.如图,在图上任意圈出竖列上相邻的三个数。如果被圈出的三个数的和为54,那么这三个数中最大的一个数表示当月的
25
日。答案
5.25
解析
【分析】首先观察日历的排列规律，竖列上相邻的两个数，下面的数比上面的数大7（每周有7天，下一周对应日期比上一周多7天）。要求三个数中最大的数，可通过设未知数列方程求解，优先设中间的数为未知数，三个数相加时常数项可抵消，能简化计算，求出中间数后加7即可得到最大的数。
【解析】
解：由日历排列规律可知，竖列上相邻两个数相差7，下方的数比上方的数大7。
设被圈出的三个数中间的数为$x$，则较小的数为$x-7$，最大的数为$x+7$。
根据三个数的和为54，列方程：
$(x-7)+x+(x+7)=54$
化简得：$3x=54$
解得：$x=18$
则最大的数为：$18+7=25$
【答案】25
【知识点】日历中的规律；一元一次方程的应用
【点评】本题属于规律探究类基础题，解题核心是先找到日历竖列数字的差值规律，再结合和的等量关系列方程计算即可，规律易发现，计算难度低。
【难度系数】0.8
【解析】
解：由日历排列规律可知，竖列上相邻两个数相差7，下方的数比上方的数大7。
设被圈出的三个数中间的数为$x$，则较小的数为$x-7$，最大的数为$x+7$。
根据三个数的和为54，列方程：
$(x-7)+x+(x+7)=54$
化简得：$3x=54$
解得：$x=18$
则最大的数为：$18+7=25$
【答案】25
【知识点】日历中的规律；一元一次方程的应用
【点评】本题属于规律探究类基础题，解题核心是先找到日历竖列数字的差值规律，再结合和的等量关系列方程计算即可，规律易发现，计算难度低。
【难度系数】0.8
6. 观察下列一组数：$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{7}$，$\frac{8}{9}$，$\frac{10}{11}$，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第$n$个数是
$\frac{2n}{2n+1}$
。答案
6.$\frac{2n}{2n+1}$
解析
【分析】
解决这类找规律的题目，可将分数的分子和分母拆分，分别寻找两者和项数n的对应关系：第一步先观察分子的变化规律，第二步观察分母的变化规律，第三步将两个规律组合即可得到第n个数的表达式。
首先看分子：给出的数的分子依次是2、4、6、8、10，都是连续的偶数，第1项分子是2×1，第2项分子是2×2，第3项分子是2×3，可推出第n项的分子为2n；
再看分母：给出的数的分母依次是3、5、7、9、11，都是连续的奇数，且每一项的分母都比对应分子大1，第1项分母是2×1+1，第2项分母是2×2+1，第3项分母是2×3+1，可推出第n项的分母为2n+1。
【解析】
我们分别分析分子、分母与项数n的关系：
当n=1时，分子为$2=2×1$，分母为$3=2×1+1$，分数为$\frac{2×1}{2×1+1}$；
当n=2时，分子为$4=2×2$，分母为$5=2×2+1$，分数为$\frac{2×2}{2×2+1}$；
当n=3时，分子为$6=2×3$，分母为$7=2×3+1$，分数为$\frac{2×3}{2×3+1}$；
……
以此类推，第n项的分子为$2n$，分母为$2n+1$，因此第n个数是$\frac{2n}{2n+1}$。
【答案】
$\frac{2n}{2n+1}$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是拆分分子、分母分别寻找与项数的对应关系，熟练掌握偶数、奇数的代数式表示方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这类找规律的题目，可将分数的分子和分母拆分，分别寻找两者和项数n的对应关系：第一步先观察分子的变化规律，第二步观察分母的变化规律，第三步将两个规律组合即可得到第n个数的表达式。
首先看分子：给出的数的分子依次是2、4、6、8、10，都是连续的偶数，第1项分子是2×1，第2项分子是2×2，第3项分子是2×3，可推出第n项的分子为2n；
再看分母：给出的数的分母依次是3、5、7、9、11，都是连续的奇数，且每一项的分母都比对应分子大1，第1项分母是2×1+1，第2项分母是2×2+1，第3项分母是2×3+1，可推出第n项的分母为2n+1。
【解析】
我们分别分析分子、分母与项数n的关系：
当n=1时，分子为$2=2×1$，分母为$3=2×1+1$，分数为$\frac{2×1}{2×1+1}$；
当n=2时，分子为$4=2×2$，分母为$5=2×2+1$，分数为$\frac{2×2}{2×2+1}$；
当n=3时，分子为$6=2×3$，分母为$7=2×3+1$，分数为$\frac{2×3}{2×3+1}$；
……
以此类推，第n项的分子为$2n$，分母为$2n+1$，因此第n个数是$\frac{2n}{2n+1}$。
【答案】
$\frac{2n}{2n+1}$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是拆分分子、分母分别寻找与项数的对应关系，熟练掌握偶数、奇数的代数式表示方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖的块数为
$3n+2$
。答案
7.$3n+2$
解析
【分析】
要解决本题，可先统计前几个图案的白色瓷砖数量，通过观察数量变化规律推导通用表达式：首先数出第1个图案白色瓷砖有5块，第2个有8块，第3个有11块；对比可发现每增加1个图案，白色瓷砖的数量就增加3块，说明白色瓷砖数和图案序号n呈线性变化关系，结合前几个数值即可推出第n个图案的白色瓷砖数量表达式。
【解析】
解：先统计前3个图案的白色瓷砖块数：
第1个图案：白色瓷砖块数为 $5=3×1+2$；
第2个图案：白色瓷砖块数为 $8=3×2+2$；
第3个图案：白色瓷砖块数为 $11=3×3+2$；
观察上述规律可得，第n个图案中白色瓷砖的块数为 $3n+2$。
【答案】
$3n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是通过观察前几个图形的数量变化找到固定增量，再结合图案序号推导通用表达式，能够有效锻炼学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可先统计前几个图案的白色瓷砖数量，通过观察数量变化规律推导通用表达式：首先数出第1个图案白色瓷砖有5块，第2个有8块，第3个有11块；对比可发现每增加1个图案，白色瓷砖的数量就增加3块，说明白色瓷砖数和图案序号n呈线性变化关系，结合前几个数值即可推出第n个图案的白色瓷砖数量表达式。
【解析】
解：先统计前3个图案的白色瓷砖块数：
第1个图案：白色瓷砖块数为 $5=3×1+2$；
第2个图案：白色瓷砖块数为 $8=3×2+2$；
第3个图案：白色瓷砖块数为 $11=3×3+2$；
观察上述规律可得，第n个图案中白色瓷砖的块数为 $3n+2$。
【答案】
$3n+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是通过观察前几个图形的数量变化找到固定增量，再结合图案序号推导通用表达式，能够有效锻炼学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
