登录
8.将从1开始的自然数按如图所示的规律排列，如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是
2 022
。答案
8.2 022
解析
【分析】
先观察数阵的排列特征：首先看每行第1列的数，第1行第1列是$1=1^2$，第2行第1列是$4=2^2$，第3行第1列是$9=3^2$，可推出第$n$行第1列的数为$n^2$；再观察同一行的数，当列数小于等于行数时，数从左到右依次减1。本题要求的是第45行第4列，列数4小于行数45，直接用上述规律计算即可。
【解析】
1. 推导第$n$行第1列的数：
观察可知第1行第1列：$1=1^2$，第2行第1列：$4=2^2$，第3行第1列：$9=3^2$，第4行第1列：$16=4^2$，因此第$n$行第1列的数为$n^2$。
2. 推导第$n$行第$k$列（$k≤ n$）的数：
同一行中列数不超过行数时，数从左到右依次减1，因此第$n$行第$k$列的数$=n^2-(k-1)$。
3. 代入计算：
第45行第4列中，$n=45$，$k=4$，$4＜45$，符合上述规律：
先算第45行第1列的数：$45^2=2025$
再算第45行第4列的数：$2025-(4-1)=2025-3=2022$
【答案】
2022
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 平方数运算
【点评】
本题是典型的数字排列规律题，解题的核心是先找到每行首个数字的通用规律，再结合同一行数字的增减特点计算目标位置的数，做题时可先通过已知位置的数验证规律是否正确。
【难度系数】
0.6
先观察数阵的排列特征：首先看每行第1列的数，第1行第1列是$1=1^2$，第2行第1列是$4=2^2$，第3行第1列是$9=3^2$，可推出第$n$行第1列的数为$n^2$；再观察同一行的数，当列数小于等于行数时，数从左到右依次减1。本题要求的是第45行第4列，列数4小于行数45，直接用上述规律计算即可。
【解析】
1. 推导第$n$行第1列的数：
观察可知第1行第1列：$1=1^2$，第2行第1列：$4=2^2$，第3行第1列：$9=3^2$，第4行第1列：$16=4^2$，因此第$n$行第1列的数为$n^2$。
2. 推导第$n$行第$k$列（$k≤ n$）的数：
同一行中列数不超过行数时，数从左到右依次减1，因此第$n$行第$k$列的数$=n^2-(k-1)$。
3. 代入计算：
第45行第4列中，$n=45$，$k=4$，$4＜45$，符合上述规律：
先算第45行第1列的数：$45^2=2025$
再算第45行第4列的数：$2025-(4-1)=2025-3=2022$
【答案】
2022
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 平方数运算
【点评】
本题是典型的数字排列规律题，解题的核心是先找到每行首个数字的通用规律，再结合同一行数字的增减特点计算目标位置的数，做题时可先通过已知位置的数验证规律是否正确。
【难度系数】
0.6
9.如图所示的是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图$\mathrm{A}_2$比图$\mathrm{A}_1$多出2个“树枝”，图$\mathrm{A}_3$比图$\mathrm{A}_2$多出4个“树枝”，图$\mathrm{A}_4$比图$\mathrm{A}_3$多出8个“树枝”……照此规律，图$\mathrm{A}_6$比图$\mathrm{A}_2$多出的“树枝”个数为（
A.32
B.56
C.60
D.64
C
）。A.32
B.56
C.60
D.64
答案
9.C
解析
【分析】
解决这道题首先观察已知条件中相邻图形“树枝”数量的差值规律，可先推导得出每个图的树枝总数的通用表达式，再分别求出$\mathrm{A}_6$和$\mathrm{A}_2$的树枝数，计算二者的差值即可；也可以直接累加$\mathrm{A}_3$到$\mathrm{A}_6$比前一个图多的树枝数，得到$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_2$多的总量。
【解析】
方法一：推导第n个图形的树枝总数规律
观察图形可得：
图$\mathrm{A}_1$的树枝数为$1=2^1-1$
图$\mathrm{A}_2$的树枝数为$1+2=3=2^2-1$
图$\mathrm{A}_3$的树枝数为$3+4=7=2^3-1$
图$\mathrm{A}_4$的树枝数为$7+8=15=2^4-1$
归纳可得规律：图$\mathrm{A}_n$的树枝总数为$2^n-1$
则图$\mathrm{A}_6$的树枝数为$2^6-1=64-1=63$
图$\mathrm{A}_2$的树枝数为$2^2-1=4-1=3$
因此$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_2$多出的树枝数为$63-3=60$
方法二：累加差值计算
由题意可知：
$\mathrm{A}_3$比$\mathrm{A}_2$多4个树枝，$\mathrm{A}_4$比$\mathrm{A}_3$多8个树枝，$\mathrm{A}_5$比$\mathrm{A}_4$多16个树枝，$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_5$多32个树枝
因此$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_2$多出的树枝数为$4+8+16+32=60$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，有理数乘方，有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是通过观察相邻图形的数量变化特征，归纳出通用规律，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先观察已知条件中相邻图形“树枝”数量的差值规律，可先推导得出每个图的树枝总数的通用表达式，再分别求出$\mathrm{A}_6$和$\mathrm{A}_2$的树枝数，计算二者的差值即可；也可以直接累加$\mathrm{A}_3$到$\mathrm{A}_6$比前一个图多的树枝数，得到$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_2$多的总量。
【解析】
方法一：推导第n个图形的树枝总数规律
观察图形可得：
图$\mathrm{A}_1$的树枝数为$1=2^1-1$
图$\mathrm{A}_2$的树枝数为$1+2=3=2^2-1$
图$\mathrm{A}_3$的树枝数为$3+4=7=2^3-1$
图$\mathrm{A}_4$的树枝数为$7+8=15=2^4-1$
归纳可得规律：图$\mathrm{A}_n$的树枝总数为$2^n-1$
则图$\mathrm{A}_6$的树枝数为$2^6-1=64-1=63$
图$\mathrm{A}_2$的树枝数为$2^2-1=4-1=3$
因此$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_2$多出的树枝数为$63-3=60$
方法二：累加差值计算
由题意可知：
$\mathrm{A}_3$比$\mathrm{A}_2$多4个树枝，$\mathrm{A}_4$比$\mathrm{A}_3$多8个树枝，$\mathrm{A}_5$比$\mathrm{A}_4$多16个树枝，$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_5$多32个树枝
因此$\mathrm{A}_6$比$\mathrm{A}_2$多出的树枝数为$4+8+16+32=60$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，有理数乘方，有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是通过观察相邻图形的数量变化特征，归纳出通用规律，考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
10.已知$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,\dots$,则$3^{107}$的末位数字是（
A.1
B.3
C.7
D.9
C
）。A.1
B.3
C.7
D.9
答案
10.C
解析
【分析】
要确定$3^{107}$的末位数字，不需要计算完整的高次幂结果，先观察已知的3的前几次幂的末位数字，可发现末位数字是按固定顺序循环出现的。解题思路为：①先总结出末位数字的循环周期；②用所求幂的指数除以周期，得到余数；③根据余数匹配循环序列中的对应数字，即为所求的末位数字。
【解析】
解：观察给出的算式可得，3的幂次的末位数字按3、9、7、1的顺序排列，每4个为一个循环周期。
计算107除以周期4的商和余数：
$107÷4=26······3$，即商为26，余数为3。
说明$3^{107}$的末位数字是循环序列中的第3个数字，也就是7。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方；数字规律探究
【点评】
本题是数字规律类的典型基础题型，解题核心是通过观察已知条件归纳出末位数字的循环规律，再结合余数判定结果，主要考查学生的观察、归纳能力。
【难度系数】
0.7
要确定$3^{107}$的末位数字，不需要计算完整的高次幂结果，先观察已知的3的前几次幂的末位数字，可发现末位数字是按固定顺序循环出现的。解题思路为：①先总结出末位数字的循环周期；②用所求幂的指数除以周期，得到余数；③根据余数匹配循环序列中的对应数字，即为所求的末位数字。
【解析】
解：观察给出的算式可得，3的幂次的末位数字按3、9、7、1的顺序排列，每4个为一个循环周期。
计算107除以周期4的商和余数：
$107÷4=26······3$，即商为26，余数为3。
说明$3^{107}$的末位数字是循环序列中的第3个数字，也就是7。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方；数字规律探究
【点评】
本题是数字规律类的典型基础题型，解题核心是通过观察已知条件归纳出末位数字的循环规律，再结合余数判定结果，主要考查学生的观察、归纳能力。
【难度系数】
0.7
11.按下列$2×2$的方格中体现出的规律，则$x$应是（
A.10
B.－2
C.2
D.0
B
）。A.10
B.－2
C.2
D.0
答案
11.B
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，解题思路为：首先观察前三个2×2方格内四个数字的运算关系，尝试从和、差、积、商等维度寻找固定规律，再验证规律是否适用于所有已知方格，最后将规律代入第四个方格列算式求解x的值。
【解析】
观察前三个方格的数字可发现规律：每个方格中，对角的两个数字之和相等。
验证规律：
第一个方格：左上1+右下5=6，右上3+左下3=6，规律成立；
第二个方格：左上5+右下10=15，右上8+左下7=15，规律成立；
第三个方格：左上2+右下5=7，右上6+左下1=7，规律成立。
对第四个方格应用规律列等式：
左上6+右下4=右上x+左下12
即：10 = 12 + x
解得：x = 10 - 12 = -2
【答案】
B
【知识点】
数字规律探索，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，核心考查学生的观察、归纳能力，只要掌握从特殊到一般的归纳方法，找到方格内对角数字和相等的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道数字规律探究题，解题思路为：首先观察前三个2×2方格内四个数字的运算关系，尝试从和、差、积、商等维度寻找固定规律，再验证规律是否适用于所有已知方格，最后将规律代入第四个方格列算式求解x的值。
【解析】
观察前三个方格的数字可发现规律：每个方格中，对角的两个数字之和相等。
验证规律：
第一个方格：左上1+右下5=6，右上3+左下3=6，规律成立；
第二个方格：左上5+右下10=15，右上8+左下7=15，规律成立；
第三个方格：左上2+右下5=7，右上6+左下1=7，规律成立。
对第四个方格应用规律列等式：
左上6+右下4=右上x+左下12
即：10 = 12 + x
解得：x = 10 - 12 = -2
【答案】
B
【知识点】
数字规律探索，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题型，核心考查学生的观察、归纳能力，只要掌握从特殊到一般的归纳方法，找到方格内对角数字和相等的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7
12.观察下列三行数：
第一行:1,－2,3,－4,5,…；
第二行:1,4,9,16,25,…；
第三行:－1,2,7,14,23,…。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第10个数，计算这3个数的和。
第一行:1,－2,3,－4,5,…；
第二行:1,4,9,16,25,…；
第三行:－1,2,7,14,23,…。
(1)第一行数按什么规律排列？
(2)第二行数、第三行数分别与第一行数有什么关系？
(3)取每行的第10个数，计算这3个数的和。
答案
12.解:(1)$(-1)^{n+1}n$
(2)第二行数是第一行对应的数的平方，第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+(-10)^2-2=188$。
(2)第二行数是第一行对应的数的平方，第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3)$-10+(-10)^2+(-10)^2-2=188$。
解析
【分析】
解题可分三步思考：1. 分析第一行数字特征：先看符号，奇数项为正、偶数项为负，再看绝对值是从1开始的连续正整数，据此可推导第n项的表达式；2. 对比第二、三行与第一行同位置的数，计算同位置数的运算关系，即可得到两行数和第一行数的关联；3. 先根据前两问的规律，分别求出每行第10个数，再相加计算结果即可。
【解析】
(1) 观察第一行的数：第1个数$1=(-1)^{1+1}×1$，第2个数$-2=(-1)^{2+1}×2$，第3个数$3=(-1)^{3+1}×3$……由此可得第一行第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）。
(2) 对比同位置的数：第二行第1个数$1=1^2$（第一行第1个数的平方），第2个数$4=(-2)^2$（第一行第2个数的平方），第3个数$9=3^2$（第一行第3个数的平方）……因此第二行数是第一行对应的数的平方；
第三行第1个数$-1=1^2-2$（第一行第1个数的平方减2），第2个数$2=(-2)^2-2$（第一行第2个数的平方减2），第3个数$7=3^2-2$（第一行第3个数的平方减2）……因此第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3) 先求每行第10个数：
第一行第10个数：当n=10时，$(-1)^{10+1}×10=-10$；
第二行第10个数：$(-10)^2=100$；
第三行第10个数：$(-10)^2-2=98$；
三个数的和为：$-10+100+98=188$。
【答案】
(1)$(-1)^{n+1}n$
(2)第二行数是第一行对应的数的平方，第三行数是第一行对应的数的平方减2
(3)188
【知识点】
数列规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要通过观察、对比归纳出数列的排列规律以及不同数列间的数量关系，再结合有理数运算求解，能较好地锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：1. 分析第一行数字特征：先看符号，奇数项为正、偶数项为负，再看绝对值是从1开始的连续正整数，据此可推导第n项的表达式；2. 对比第二、三行与第一行同位置的数，计算同位置数的运算关系，即可得到两行数和第一行数的关联；3. 先根据前两问的规律，分别求出每行第10个数，再相加计算结果即可。
【解析】
(1) 观察第一行的数：第1个数$1=(-1)^{1+1}×1$，第2个数$-2=(-1)^{2+1}×2$，第3个数$3=(-1)^{3+1}×3$……由此可得第一行第n个数为$(-1)^{n+1}n$（n为正整数）。
(2) 对比同位置的数：第二行第1个数$1=1^2$（第一行第1个数的平方），第2个数$4=(-2)^2$（第一行第2个数的平方），第3个数$9=3^2$（第一行第3个数的平方）……因此第二行数是第一行对应的数的平方；
第三行第1个数$-1=1^2-2$（第一行第1个数的平方减2），第2个数$2=(-2)^2-2$（第一行第2个数的平方减2），第3个数$7=3^2-2$（第一行第3个数的平方减2）……因此第三行数是第一行对应的数的平方减2。
(3) 先求每行第10个数：
第一行第10个数：当n=10时，$(-1)^{10+1}×10=-10$；
第二行第10个数：$(-10)^2=100$；
第三行第10个数：$(-10)^2-2=98$；
三个数的和为：$-10+100+98=188$。
【答案】
(1)$(-1)^{n+1}n$
(2)第二行数是第一行对应的数的平方，第三行数是第一行对应的数的平方减2
(3)188
【知识点】
数列规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，需要通过观察、对比归纳出数列的排列规律以及不同数列间的数量关系，再结合有理数运算求解，能较好地锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
13.【数学文化】希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”。从中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式，符合这一规律的是(
A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
C
)。A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时先明确两类数的规律，分三步思考：第一步，先推导正方形数的特征：观察可知1=1²，4=2²，9=3²，即正方形数都是正整数的平方，先排除左边不是平方数的选项；第二步，推导三角形数的特征：1，3，6，10……是从1开始连续正整数的和，我们可以先列出部分三角形数；第三步，验证剩余选项，看右边的两个数是不是相邻的三角形数，且相加等于左边的正方形数即可。
【解析】
1. 先筛选左边为正方形数的选项：
正方形数是正整数的平方，选项A中13不是任何正整数的平方，直接排除A；B中25=5²，C中36=6²，D中49=7²，暂时保留B、C、D。
2. 列出部分三角形数：
三角形数依次为：第1个1，第2个1+2=3，第3个1+2+3=6，第4个1+2+3+4=10，第5个1+2+3+4+5=15，第6个1+2+3+4+5+6=21，第7个1+2+…+7=28，第8个1+2+…+8=36……
3. 验证剩余选项：
B选项：右边9和16都不在上述三角形数中，不符合规律，排除；
C选项：右边15是第5个三角形数，21是第6个三角形数，二者是相邻的三角形数，且15+21=36，等于左边的正方形数，符合规律；
D选项：右边18和31都不在上述三角形数中，不符合规律，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，平方数的特征，有理数加法
【点评】
本题结合古希腊数学文化考查规律探索能力，解题核心是先归纳出两类数的排列特征，再逐一验证选项，只要细心列举就不容易出错。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两类数的规律，分三步思考：第一步，先推导正方形数的特征：观察可知1=1²，4=2²，9=3²，即正方形数都是正整数的平方，先排除左边不是平方数的选项；第二步，推导三角形数的特征：1，3，6，10……是从1开始连续正整数的和，我们可以先列出部分三角形数；第三步，验证剩余选项，看右边的两个数是不是相邻的三角形数，且相加等于左边的正方形数即可。
【解析】
1. 先筛选左边为正方形数的选项：
正方形数是正整数的平方，选项A中13不是任何正整数的平方，直接排除A；B中25=5²，C中36=6²，D中49=7²，暂时保留B、C、D。
2. 列出部分三角形数：
三角形数依次为：第1个1，第2个1+2=3，第3个1+2+3=6，第4个1+2+3+4=10，第5个1+2+3+4+5=15，第6个1+2+3+4+5+6=21，第7个1+2+…+7=28，第8个1+2+…+8=36……
3. 验证剩余选项：
B选项：右边9和16都不在上述三角形数中，不符合规律，排除；
C选项：右边15是第5个三角形数，21是第6个三角形数，二者是相邻的三角形数，且15+21=36，等于左边的正方形数，符合规律；
D选项：右边18和31都不在上述三角形数中，不符合规律，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，平方数的特征，有理数加法
【点评】
本题结合古希腊数学文化考查规律探索能力，解题核心是先归纳出两类数的排列特征，再逐一验证选项，只要细心列举就不容易出错。
【难度系数】
0.7
