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13. 已知直角三角形的两直角边的长分别是9 cm和5 cm，斜边的长是x cm。
(1)估计x在哪两个整数之间。
(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值；如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估值。
(1)估计x在哪两个整数之间。
(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值；如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估值。
答案
13.解:根据条件,得 $x^2=106$。
(1)因为 $100＜106＜121$,所以 $10^2＜x^2＜11^2$,所以 x 在整数 10 和 11 之间。
(2)因为 $10.29^2=105.884 1,10.30^2=106.09$,
所以 $105.884 1＜106＜106.09$,
即 $10.29^2＜x^2＜10.30^2$,所以当把 x 的结果精确到十分位时,$x≈10.3$。
又因为 $10.295^2=105.987 025,10.296^2=106.007 616$,
所以 $105.987 025＜106＜106.007 616$,
所以 $10.295^2＜x^2＜10.296^2$,
所以当把 x 的结果精确到百分位时,$x≈10.30$。用计算器验证略。
(1)因为 $100＜106＜121$,所以 $10^2＜x^2＜11^2$,所以 x 在整数 10 和 11 之间。
(2)因为 $10.29^2=105.884 1,10.30^2=106.09$,
所以 $105.884 1＜106＜106.09$,
即 $10.29^2＜x^2＜10.30^2$,所以当把 x 的结果精确到十分位时,$x≈10.3$。
又因为 $10.295^2=105.987 025,10.296^2=106.007 616$,
所以 $105.987 025＜106＜106.007 616$,
所以 $10.295^2＜x^2＜10.296^2$,
所以当把 x 的结果精确到百分位时,$x≈10.30$。用计算器验证略。
解析
【分析】
解题首先利用直角三角形的勾股定理计算出斜边的平方值，再通过比较平方数的大小来估算无理数的范围：
1. 解决第(1)问时，找出与斜边平方值相邻的两个完全平方数，对应的整数就是x所在的整数区间；
2. 解决第(2)问时，按照近似数的精度要求，计算相邻的对应位数小数的平方，确定x的取值范围后，再用四舍五入规则得到近似值，注意精确到哪一位就要计算到后一位的数值来判断取舍。
【解析】
根据勾股定理可得：$x^2 = 9^2 + 5^2 = 81 + 25 = 106$
(1) 因为$10^2 = 100$，$11^2 = 121$，且$100 ＜ 106 ＜ 121$，所以$10^2 ＜ x^2 ＜ 11^2$，结合x为正数，可得x在整数10和11之间。
(2) ① 精确到十分位：
计算得$10.29^2 = 105.8841$，$10.30^2 = 106.09$，
因为$105.8841 ＜ 106 ＜ 106.09$，即$10.29^2 ＜ x^2 ＜ 10.30^2$，
所以$10.29 ＜ x ＜ 10.30$，根据四舍五入，精确到十分位时$x≈10.3$。
② 精确到百分位：
计算得$10.295^2 = 105.987025$，$10.296^2 = 106.007616$，
因为$105.987025 ＜ 106 ＜ 106.007616$，即$10.295^2 ＜ x^2 ＜ 10.296^2$，
所以$10.295 ＜ x ＜ 10.296$，根据四舍五入，精确到百分位时$x≈10.30$。
可用计算器验证上述估值正确。
【答案】
(1) x在整数10和11之间；
(2) 精确到十分位时$x≈10.3$，精确到百分位时$x≈10.30$。
【知识点】
勾股定理；无理数估算；近似数取值
【点评】
本题侧重考察基础运算和估算能力，核心是通过平方运算反向确定无理数的取值范围，解题时要注意近似数的精度要求，精确到百分位时末尾的0代表精度，不能随意省略。
【难度系数】
0.8
解题首先利用直角三角形的勾股定理计算出斜边的平方值，再通过比较平方数的大小来估算无理数的范围：
1. 解决第(1)问时，找出与斜边平方值相邻的两个完全平方数，对应的整数就是x所在的整数区间；
2. 解决第(2)问时，按照近似数的精度要求，计算相邻的对应位数小数的平方，确定x的取值范围后，再用四舍五入规则得到近似值，注意精确到哪一位就要计算到后一位的数值来判断取舍。
【解析】
根据勾股定理可得：$x^2 = 9^2 + 5^2 = 81 + 25 = 106$
(1) 因为$10^2 = 100$，$11^2 = 121$，且$100 ＜ 106 ＜ 121$，所以$10^2 ＜ x^2 ＜ 11^2$，结合x为正数，可得x在整数10和11之间。
(2) ① 精确到十分位：
计算得$10.29^2 = 105.8841$，$10.30^2 = 106.09$，
因为$105.8841 ＜ 106 ＜ 106.09$，即$10.29^2 ＜ x^2 ＜ 10.30^2$，
所以$10.29 ＜ x ＜ 10.30$，根据四舍五入，精确到十分位时$x≈10.3$。
② 精确到百分位：
计算得$10.295^2 = 105.987025$，$10.296^2 = 106.007616$，
因为$105.987025 ＜ 106 ＜ 106.007616$，即$10.295^2 ＜ x^2 ＜ 10.296^2$，
所以$10.295 ＜ x ＜ 10.296$，根据四舍五入，精确到百分位时$x≈10.30$。
可用计算器验证上述估值正确。
【答案】
(1) x在整数10和11之间；
(2) 精确到十分位时$x≈10.3$，精确到百分位时$x≈10.30$。
【知识点】
勾股定理；无理数估算；近似数取值
【点评】
本题侧重考察基础运算和估算能力，核心是通过平方运算反向确定无理数的取值范围，解题时要注意近似数的精度要求，精确到百分位时末尾的0代表精度，不能随意省略。
【难度系数】
0.8
14.【数学应用】在以前的学习中，我们已经知道，整数和分数统称有理数。整数看作分母为1的分数或者是小数点后是0的小数，分数都可以化为有限小数或者无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数和无限循环小数也都可以写成分数的形式。因此，有理数都能化成分数。比如：
(1)5可以看作$\frac{5}{1}$。
(2)$2.4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$。
(3)要把$0.\dot{3}$转化成分数形式，可以采用下面的方法：
设$x=0.\dot{3}=0.333\ 3···$①，则$10x=3.333\ 3···$②，
由②－①，得$9x=3$，解得$x=\frac{1}{3}$。
因此$0.\dot{3}=0.333\ 3···=\frac{1}{3}$。
通过阅读以上材料，请你解答下列问题：
(1)
(2)把$0.\dot{7}$化成分数。
(1)5可以看作$\frac{5}{1}$。
(2)$2.4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$。
(3)要把$0.\dot{3}$转化成分数形式，可以采用下面的方法：
设$x=0.\dot{3}=0.333\ 3···$①，则$10x=3.333\ 3···$②，
由②－①，得$9x=3$，解得$x=\frac{1}{3}$。
因此$0.\dot{3}=0.333\ 3···=\frac{1}{3}$。
通过阅读以上材料，请你解答下列问题：
(1)
整数
和分数
统称有理数。有理数的表现形式有整数、分数、有限小数、无限循环小数
，它们都能化成分数
的形式；(2)把$0.\dot{7}$化成分数。
答案
14.解:(1)整数 分数 整数、分数、有限小数、无限循环小数 分数
(2)设 $x=0.\dot{7}=0.777 7···$①,
则 $10x=7.777 7···$②,
由②－①,得 $9x=7$,
解得 $x=\frac{7}{9}$。
因此 $0.\dot{7}=0.777 7···=\frac{7}{9}$。
(2)设 $x=0.\dot{7}=0.777 7···$①,
则 $10x=7.777 7···$②,
由②－①,得 $9x=7$,
解得 $x=\frac{7}{9}$。
因此 $0.\dot{7}=0.777 7···=\frac{7}{9}$。
解析
【分析】
本题分为两个小问，第(1)问是基础概念填空题，题干材料已明确给出有理数的相关定义和性质，直接对照材料提取对应内容即可填写；第(2)问是方法应用题，可直接套用材料中提供的无限循环小数化分数的思路：先设待转化的无限循环小数$0.\dot{7}$为x，由于其循环节为1位，因此将x乘10得到新的等式，两式相减即可消去无限循环的小数部分，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应的分数。
【解析】
(1) 根据材料开篇给出的定义，整数和分数统称有理数；结合材料中对有理数表现形式的说明，可知有理数的表现形式有整数、分数、有限小数、无限循环小数，它们都能化成分数的形式。
(2) 设 $x=0.\dot{7}=0.777 7···$①，
等式两边同时乘10，得 $10x=7.777 7···$②，
用②式减去①式，得 $10x - x = 7.777··· - 0.777···$，即$9x=7$，
解得 $x=\frac{7}{9}$。
因此 $0.\dot{7}=0.777 7···=\frac{7}{9}$。
【答案】
(1) 整数；分数；整数、分数、有限小数、无限循环小数；分数
(2) $\frac{7}{9}$
【知识点】
有理数的定义；无限循环小数化分数；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类题目，既考查了有理数的核心概念，也考查了学生从材料中提取方法、迁移应用的能力，只要认真阅读材料，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问，第(1)问是基础概念填空题，题干材料已明确给出有理数的相关定义和性质，直接对照材料提取对应内容即可填写；第(2)问是方法应用题，可直接套用材料中提供的无限循环小数化分数的思路：先设待转化的无限循环小数$0.\dot{7}$为x，由于其循环节为1位，因此将x乘10得到新的等式，两式相减即可消去无限循环的小数部分，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到对应的分数。
【解析】
(1) 根据材料开篇给出的定义，整数和分数统称有理数；结合材料中对有理数表现形式的说明，可知有理数的表现形式有整数、分数、有限小数、无限循环小数，它们都能化成分数的形式。
(2) 设 $x=0.\dot{7}=0.777 7···$①，
等式两边同时乘10，得 $10x=7.777 7···$②，
用②式减去①式，得 $10x - x = 7.777··· - 0.777···$，即$9x=7$，
解得 $x=\frac{7}{9}$。
因此 $0.\dot{7}=0.777 7···=\frac{7}{9}$。
【答案】
(1) 整数；分数；整数、分数、有限小数、无限循环小数；分数
(2) $\frac{7}{9}$
【知识点】
有理数的定义；无限循环小数化分数；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类题目，既考查了有理数的核心概念，也考查了学生从材料中提取方法、迁移应用的能力，只要认真阅读材料，掌握一元一次方程的基本解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
