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8. 一个正方形的面积是15，估计它的边长在(
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
B
)。A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
答案
8.B
解析
【分析】
首先根据正方形面积与边长的关系，可知边长是面积的算术平方根，即边长为√15；接下来要估算√15的大小，只需找到和15相邻的两个正完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，即可得到√15的取值范围，进而确定边长所在的区间。
【解析】
设正方形的边长为$ a $，根据正方形面积公式可得：
$ a^2 = 15 $
因为边长为正数，所以$ a = \sqrt{15} $（算术平方根的定义）。
已知相邻正整数的平方：$ 3^2 = 9 $，$ 4^2 = 16 $，可得$ 9 ＜ 15 ＜ 16 $。
对不等式各项同时取算术平方根，不等号方向不变，因此：
$ \sqrt{9} ＜ \sqrt{15} ＜ \sqrt{16} $，即$ 3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4 $。
所以正方形的边长在3和4之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 算术平方根
3. 无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，掌握该方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先根据正方形面积与边长的关系，可知边长是面积的算术平方根，即边长为√15；接下来要估算√15的大小，只需找到和15相邻的两个正完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，即可得到√15的取值范围，进而确定边长所在的区间。
【解析】
设正方形的边长为$ a $，根据正方形面积公式可得：
$ a^2 = 15 $
因为边长为正数，所以$ a = \sqrt{15} $（算术平方根的定义）。
已知相邻正整数的平方：$ 3^2 = 9 $，$ 4^2 = 16 $，可得$ 9 ＜ 15 ＜ 16 $。
对不等式各项同时取算术平方根，不等号方向不变，因此：
$ \sqrt{9} ＜ \sqrt{15} ＜ \sqrt{16} $，即$ 3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4 $。
所以正方形的边长在3和4之间。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 算术平方根
3. 无理数估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，掌握该方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9. 如图，网格中小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，四条边中长度是有理数的有（
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
B
）。A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
9.B
解析
【分析】
要判断四边形ABCD四条边的长度是否为有理数，可借助勾股定理计算每条边的长度：将格点上的线段看作直角三角形的斜边，取线段两端点的横向格数差、纵向格数差作为两条直角边的长度，计算得到斜边长度后，再根据有理数的定义判断即可。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1，分别计算四条边的长度：
1. 计算AB的长度：A、B两点的横向格数差为3，纵向格数差为4，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，5是有理数；
2. 计算BC的长度：B、C两点的横向格数差为3，纵向格数差为1，由勾股定理得$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$不是有理数；
3. 计算CD的长度：C、D两点的横向格数差为3，纵向格数差为0，因此$CD=3$，3是有理数；
4. 计算AD的长度：A、D两点的横向格数差为3，纵向格数差为5，由勾股定理得$AD=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，$\sqrt{34}$不是有理数。
综上，长度为有理数的边有AB、CD，共2条。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，有理数的概念
【点评】
本题结合格点图形考查线段长度计算和有理数的判断，解题关键是准确计数线段对应的横、纵向格数差，再运用勾股定理计算即可，属于基础类题型，注意计算时不要出现平方运算的错误。
【难度系数】
0.7
要判断四边形ABCD四条边的长度是否为有理数，可借助勾股定理计算每条边的长度：将格点上的线段看作直角三角形的斜边，取线段两端点的横向格数差、纵向格数差作为两条直角边的长度，计算得到斜边长度后，再根据有理数的定义判断即可。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1，分别计算四条边的长度：
1. 计算AB的长度：A、B两点的横向格数差为3，纵向格数差为4，由勾股定理得$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，5是有理数；
2. 计算BC的长度：B、C两点的横向格数差为3，纵向格数差为1，由勾股定理得$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$不是有理数；
3. 计算CD的长度：C、D两点的横向格数差为3，纵向格数差为0，因此$CD=3$，3是有理数；
4. 计算AD的长度：A、D两点的横向格数差为3，纵向格数差为5，由勾股定理得$AD=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，$\sqrt{34}$不是有理数。
综上，长度为有理数的边有AB、CD，共2条。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，有理数的概念
【点评】
本题结合格点图形考查线段长度计算和有理数的判断，解题关键是准确计数线段对应的横、纵向格数差，再运用勾股定理计算即可，属于基础类题型，注意计算时不要出现平方运算的错误。
【难度系数】
0.7
10. 若一个边长为a的正方形的面积为30，则a的取值范围是(
A.$5.0 ＜ a ＜ 5.2$
B.$5.2 ＜ a ＜ 5.5$
C.$5.5 ＜ a ＜ 5.7$
D.$5.7 ＜ a ＜ 6.0$
B
)。A.$5.0 ＜ a ＜ 5.2$
B.$5.2 ＜ a ＜ 5.5$
C.$5.5 ＜ a ＜ 5.7$
D.$5.7 ＜ a ＜ 6.0$
答案
10.B
解析
【分析】
首先根据正方形面积公式，可得边长a是面积30的算术平方根，即$a=\sqrt{30}$。要确定a的取值范围，我们可以用平方法估算$\sqrt{30}$的大小：计算选项区间端点的平方，找到30位于哪两个相邻数的平方之间，即可得到a的范围。
【解析】
解：由正方形面积公式得$a^2=30$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{30}$。
分别计算区间端点的平方：
$5.2^2=5.2×5.2=27.04$，
$5.5^2=5.5×5.5=30.25$，
因为$27.04＜30＜30.25$，
所以$\sqrt{27.04}＜\sqrt{30}＜\sqrt{30.25}$，
即$5.2＜a＜5.5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题考查利用平方法估算无理数的大小，将无理数的取值范围转化为有理数平方的比较是解题的关键，平方法是估算无理数大小的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积公式，可得边长a是面积30的算术平方根，即$a=\sqrt{30}$。要确定a的取值范围，我们可以用平方法估算$\sqrt{30}$的大小：计算选项区间端点的平方，找到30位于哪两个相邻数的平方之间，即可得到a的范围。
【解析】
解：由正方形面积公式得$a^2=30$，因为边长为正数，所以$a=\sqrt{30}$。
分别计算区间端点的平方：
$5.2^2=5.2×5.2=27.04$，
$5.5^2=5.5×5.5=30.25$，
因为$27.04＜30＜30.25$，
所以$\sqrt{27.04}＜\sqrt{30}＜\sqrt{30.25}$，
即$5.2＜a＜5.5$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题考查利用平方法估算无理数的大小，将无理数的取值范围转化为有理数平方的比较是解题的关键，平方法是估算无理数大小的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
11. 大家知道，当$x^2=2(x＞0)$时，$x$的值不可能是有理数，而$1^2＜x^2＜2^2$，所以$x$的整数部分是1。根据以上内容，解答下面的问题：
(1)若$x^2=10(x＞0)$，则$x$的整数部分$m=$
(2)若$y^2=17(y＞0)$，则$y$的整数部分$n=$
(3)若$m,n$分别是一个三角形的两条边的长，第三条边的长是5，则这个三角形是
(1)若$x^2=10(x＞0)$，则$x$的整数部分$m=$
3
；(2)若$y^2=17(y＞0)$，则$y$的整数部分$n=$
4
；(3)若$m,n$分别是一个三角形的两条边的长，第三条边的长是5，则这个三角形是
直角
三角形。答案
11.(1)3 (2)4 (3)直角
解析
【分析】
解决本题的思路分三步：①对于（1）（2）问，要估算正无理数的整数部分，只需找到两个连续正整数，使得它们的平方分别小于、大于被开方数，较小的正整数就是该无理数的整数部分；②得到m、n的取值后，明确三角形的三条边长分别为m、n、5；③利用勾股定理的逆定理，判断三条边长的平方关系，即可确定三角形的类型。
【解析】
(1) 已知$x＞0$且$x^2=10$，因为$3^2=9$，$4^2=16$，可得$3^2＜x^2＜4^2$，即$3＜x＜4$，所以$x$的整数部分$m=3$。
(2) 已知$y＞0$且$y^2=17$，因为$4^2=16$，$5^2=25$，可得$4^2＜y^2＜5^2$，即$4＜y＜5$，所以$y$的整数部分$n=4$。
(3) 由前两问得三角形的三边长分别为3、4、5，计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，根据勾股定理的逆定理，可知这个三角形是直角三角形。
【答案】
(1)3 (2)4 (3)直角
【知识点】
无理数的估算、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将无理数估算和三角形类型判定的知识点结合考查，只要掌握估算无理数的方法和勾股定理逆定理的应用规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路分三步：①对于（1）（2）问，要估算正无理数的整数部分，只需找到两个连续正整数，使得它们的平方分别小于、大于被开方数，较小的正整数就是该无理数的整数部分；②得到m、n的取值后，明确三角形的三条边长分别为m、n、5；③利用勾股定理的逆定理，判断三条边长的平方关系，即可确定三角形的类型。
【解析】
(1) 已知$x＞0$且$x^2=10$，因为$3^2=9$，$4^2=16$，可得$3^2＜x^2＜4^2$，即$3＜x＜4$，所以$x$的整数部分$m=3$。
(2) 已知$y＞0$且$y^2=17$，因为$4^2=16$，$5^2=25$，可得$4^2＜y^2＜5^2$，即$4＜y＜5$，所以$y$的整数部分$n=4$。
(3) 由前两问得三角形的三边长分别为3、4、5，计算得$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，根据勾股定理的逆定理，可知这个三角形是直角三角形。
【答案】
(1)3 (2)4 (3)直角
【知识点】
无理数的估算、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将无理数估算和三角形类型判定的知识点结合考查，只要掌握估算无理数的方法和勾股定理逆定理的应用规则，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$3×3$的网格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长都是1。请
解决下面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少？
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
解决下面的问题：
(1)阴影正方形的面积是多少？
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
答案
12.解:(1)通过割补法,可知阴影部分的面积是 5 个小正方形的面积和,所以阴影正方形的面积是 5。
(2)设阴影正方形的边长为 x,则 $x^2=5$。
因为 $4＜x^2＜9$,所以 $2＜x＜3$,
即阴影正方形的边长介于 2 和 3 之间。
(2)设阴影正方形的边长为 x,则 $x^2=5$。
因为 $4＜x^2＜9$,所以 $2＜x＜3$,
即阴影正方形的边长介于 2 和 3 之间。
解析
【分析】
(1)求网格中阴影正方形的面积时，直接计算边长暂时有难度，因此优先选用割补法：既可以用3×3大正方形的总面积减去周围4个空白直角三角形的面积，也可以将阴影部分拼接为5个面积为1的小正方形，两种方法都能快速求得面积。
(2)求边长范围时，先根据正方形面积和边长的关系，得到边长的平方等于面积，再找到和面积数值相邻的两个完全平方数，对其开平方即可得到边长的整数范围。
【解析】
(1)方法1：3×3网格对应的大正方形面积为$3×3=9$。
阴影周围有4个完全相同的直角三角形，每个三角形的两条直角边长分别为1和2，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，4个三角形的总面积为$4×1=4$。
因此阴影正方形的面积为$9-4=5$。
方法2：通过割补拼接，阴影部分可转化为5个边长为1的小正方形，总面积为$5×1×1=5$。
(2)设阴影正方形的边长为$x$，根据正方形面积公式可得$x^2=5$，即$x=\sqrt{5}$。
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜x＜3$。
【答案】
(1)阴影正方形的面积是$\boxed{5}$；
(2)阴影正方形的边长介于$\boxed{2}$和$\boxed{3}$两个整数之间。
【知识点】
割补法求面积；算术平方根；无理数估算
【点评】
本题是基础应用型题目，结合网格背景考查了不规则图形面积的计算和无理数大小的估算，解题核心是熟练运用割补法简化面积计算，再通过平方运算完成无理数的范围估计，能有效巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
(1)求网格中阴影正方形的面积时，直接计算边长暂时有难度，因此优先选用割补法：既可以用3×3大正方形的总面积减去周围4个空白直角三角形的面积，也可以将阴影部分拼接为5个面积为1的小正方形，两种方法都能快速求得面积。
(2)求边长范围时，先根据正方形面积和边长的关系，得到边长的平方等于面积，再找到和面积数值相邻的两个完全平方数，对其开平方即可得到边长的整数范围。
【解析】
(1)方法1：3×3网格对应的大正方形面积为$3×3=9$。
阴影周围有4个完全相同的直角三角形，每个三角形的两条直角边长分别为1和2，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，4个三角形的总面积为$4×1=4$。
因此阴影正方形的面积为$9-4=5$。
方法2：通过割补拼接，阴影部分可转化为5个边长为1的小正方形，总面积为$5×1×1=5$。
(2)设阴影正方形的边长为$x$，根据正方形面积公式可得$x^2=5$，即$x=\sqrt{5}$。
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜x＜3$。
【答案】
(1)阴影正方形的面积是$\boxed{5}$；
(2)阴影正方形的边长介于$\boxed{2}$和$\boxed{3}$两个整数之间。
【知识点】
割补法求面积；算术平方根；无理数估算
【点评】
本题是基础应用型题目，结合网格背景考查了不规则图形面积的计算和无理数大小的估算，解题核心是熟练运用割补法简化面积计算，再通过平方运算完成无理数的范围估计，能有效巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
