2 认识实数(第2课时)
课堂精要·梳理内容
1. 是无理数。整数和分数统称，有理数都可以写成小数或者小数。
2. 常见的无理数有以下几种：
①一般的无限不循环小数；②化简后含有π的数；③开方开不尽的数(下节内容)，如$\sqrt{5}$；④有特定结构但不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
3. 实数的分类
实数$\begin{cases} 有理数\begin{cases} 正有理数 \\ \_\_\_\_\_\_ \\ \_\_\_\_\_\_ \end{cases} \_\_\_\_\_\_小数或无限循环小数 \\ 无理数\begin{cases} 正无理数 \\ \_\_\_\_\_\_ \end{cases} \_\_\_\_\_\_小数 \end{cases}$
或
实数$\begin{cases} 正实数\begin{cases} 正有理数 \\ \_\_\_\_\_\_ \end{cases} \\ 0 \\ 负实数\begin{cases} 负有理数 \\ \_\_\_\_\_\_ \end{cases} \end{cases}$
4. 实数的性质
(1)任何实数$a$，都有一个相反数。
(2)任何非0实数$a$，都有倒数。
(3)正实数的绝对值等于，负实数的绝对值等于，0的绝对值是。
(4)正实数0，0负实数(均填“＞”或“＜”)；两个负实数中绝对值大的数。
(5)实数和数轴上的点对应。

1. 无限不循环小数 有理数 有限 无限循环
3. 0 负有理数 有限 负无理数 无限不循环 正无理数 负无理数
4.(1)$-a$ (2)$\frac{1}{a}$ (3)它本身 它的相反数 0 (4)＞ ＞ 反而小 (5)一一

【分析】
本题主要考查实数相关的基础概念，解题时结合课本识记的定义、分类规则、性质逐一对应填空即可：①先回忆无理数、有理数的定义及有理数的小数特征完成第1题；②按照有理数、无理数的分类，以及实数按正负的分类规则完成第3题的填空；③结合相反数、倒数、绝对值的定义，实数大小比较规则、实数与数轴的对应关系完成第4题的填空。
【解析】
1. 根据定义：无限不循环小数是无理数；整数和分数统称为有理数；有理数都可以化为有限小数或者无限循环小数的形式。
3. 实数第一种分类：有理数按正负可分为正有理数、0、负有理数，所有有理数都是有限小数或无限循环小数；无理数按正负可分为正无理数、负无理数，所有无理数都是无限不循环小数。
实数第二种分类：正实数包括正有理数和正无理数；负实数包括负有理数和负无理数。
4. 实数的性质：
(1) 任意实数$a$的相反数为$-a$；
(2) 非0实数$a$的倒数为$\frac{1}{a}$；
(3) 绝对值的性质：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；
(4) 实数大小比较规则：正实数大于0，0大于负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小；
(5) 实数和数轴上的点是一一对应的。
【答案】
1. 无限不循环小数 有理数 有限 无限循环
3. 0 负有理数 有限 负无理数 无限不循环 正无理数 负无理数
4.(1)$-a$ (2)$\frac{1}{a}$ (3)它本身 它的相反数 0 (4)＞ ＞ 反而小 (5)一一
【知识点】
无理数与有理数的定义、实数的分类、实数的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，内容均为实数模块的核心基础知识点，是后续学习实数运算、实数相关应用的前提，需要准确识记，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

1. 下列说法正确的是()。

A.除不尽的分数是无理数
B.无限小数是无理数
C.无理数是无限循环小数
D.无限不循环小数是无理数

1.D

【分析】
本题考查无理数与有理数的概念辨析，解题时先明确两类数的核心定义：有理数包含整数和分数，所有分数都可化为有限小数或无限循环小数；无理数的本质是无限不循环小数。接下来逐一比对每个选项和定义是否匹配即可判断正误。
【解析】
结合概念逐一分析选项：
选项A：分数属于有理数，除不尽的分数是无限循环小数，仍属于有理数，不是无理数，该选项错误。
选项B：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不都是无理数，该选项错误。
选项C：无理数是无限不循环小数，不是无限循环小数，该选项错误。
选项D：无限不循环小数是无理数，符合无理数的定义，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对实数分类中有理数、无理数概念的掌握，解题关键是牢记无理数的本质是无限不循环小数，所有分数均属于有理数，避免混淆无限小数与无理数的包含关系。
【难度系数】
0.9

2. 下列实数，属于无理数的是()。

A.0
B.$\frac{π}{3}$
C.3.142
D.$-\frac{20}{7}$

2.B

【分析】
要解这道题，首先需明确无理数和有理数的定义，再逐一判断每个选项的类别，最终选出符合要求的选项。第一步先回忆基础定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型包括含π的数、开方开不尽的数、纯无限不循环小数三类。第二步逐个排查选项，先排除所有有理数选项，剩下的就是无理数。
【解析】
解：根据有理数、无理数的定义逐一判断：
1. 选项A：0是整数，属于有理数，不符合题意；
2. 选项B：π本身是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{3}$仍然是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
3. 选项C：3.142是有限小数，属于有理数，不符合题意；
4. 选项D：$-\frac{20}{7}$是分数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分有理数和无理数的范畴，需要注意不要把π和它的近似值（如3.14、3.142）混淆，只要代数式中含π且无法将π消去，该代数式就属于无理数，另外所有整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。
【难度系数】
0.8

3. 在$\frac{π}{2}$,3.14,0,0.131 331 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次加1),$\frac{3}{7}$中,无理数的个数是()。

A.1
B.2
C.3
D.4

3.B

【分析】
解题的核心是掌握无理数的定义，首先回忆无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包含三类：含π的数、开方开不尽的数、有固定规律但不循环的无限小数。接下来我们逐个判断题干给出的数是否属于无理数，最后统计无理数的总个数即可选出正确选项。
【解析】
我们对题干中的5个数逐一分析：
1. $\frac{π}{2}$：π本身是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也为无理数；
2. 3.14：是有限小数，属于有理数；
3. 0：是整数，属于有理数；
4. 0.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\frac{3}{7}$：是分数，属于有理数。
综上，无理数一共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题是基础概念题，需要注意不要把有固定书写规律的无限不循环小数错当成有理数，同时明确有限小数、整数、分数都属于有理数，含π的数通常为无理数。
【难度系数】
0.8

4. 下列说法正确的是()。

A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数就是有限小数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论有理数还是无理数都是实数

4.D

【分析】
本题考查实数、有理数、无理数的相关概念，解题时需先回忆三类数的定义与分类标准，再逐一判断每个选项的正误，最终选出正确答案。首先明确核心定义：实数是有理数和无理数的统称；有理数包含整数、分数，可化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，据此对四个选项依次排查即可。
【解析】
首先明确相关概念：实数分为有理数和无理数两类；有理数包括整数和分数，可表示为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A. 零属于有理数，实数仅分为有理数和无理数两类，该选项分类重复，错误；
B. 有理数除了有限小数外，还包括无限循环小数、整数、分数，错误；
C. 无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数是无理数，错误；
D. 实数是有理数和无理数的统称，因此有理数和无理数都属于实数，正确。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易混淆有理数、无理数的边界，或出现分类重复的问题，解题的核心是牢记各类数的定义，明确实数的分类标准。
【难度系数】
0.8

5. 和数轴上的点一一对应的是（）。

A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数

5.D

【分析】
解题时先明确“一一对应”的含义：一是该集合内的每一个数都能在数轴上找到唯一的点与之对应，二是数轴上的每一个点都唯一对应该集合内的一个数。接下来我们逐一分析各选项对应数集的范围，结合数轴的性质排除不符合的选项即可。首先回忆：数轴不仅可以表示整数、有理数，还可以表示π、√2这类无理数，因此范围更小的整数、有理数、无理数都无法和数轴上的所有点一一对应，只有包含了有理数和无理数的实数集才符合要求。
【解析】
我们先明确一一对应的判定规则：两个集合一一对应，需要两个集合的元素都能互相唯一匹配：
1. 分析A选项：整数仅包含正整数、0、负整数，数轴上的点还可以表示分数、无理数，因此整数无法和数轴上的点一一对应，排除A；
2. 分析B选项：有理数是整数和分数的统称，但数轴上的点还可以表示√2、π这类无理数，因此有理数无法和数轴上的点一一对应，排除B；
3. 分析C选项：无理数是无限不循环小数，数轴上的点也可以表示有理数，因此无理数无法和数轴上的点一一对应，排除C；
4. 分析D选项：实数是有理数和无理数的统称，所有实数都可以用数轴上的点表示，同时数轴上的任意一个点都唯一对应一个实数，二者是一一对应的关系，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数和数轴一一对应关系的识记，只要清晰掌握各类数集的覆盖范围，就能快速做出正确选择。
【难度系数】
0.9

6. 在－4,0,π,3,1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),3.141 592 6,－$\frac{22}{7}$,1.$\dot{3}$这八个数中,无理数有个,它们分别是。

6. 2 π,1.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)

【分析】
解决本题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数。解题时先回忆有理数的范围：整数、分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数。接下来逐个判断给出的8个数，排除所有有理数后，剩下的就是无理数，最后统计无理数的个数并写出对应的数即可。
【解析】
首先明确相关概念：无理数是无限不循环小数；整数、分数（包含有限小数、无限循环小数）都属于有理数。
逐个判断8个数的类型：
1. $-4$是整数，属于有理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3$是整数，属于有理数；
5. $1.010010001\dots$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
6. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
7. $-\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
8. $1.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，分别是$π$和$1.010010001\dots$（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。
【答案】
2；$π$，$1.010 010 001\dots$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 实数的分类
【点评】
本题重点考查对无理数概念的理解，解题时要牢记无理数的常见特征：含$π$的数、有规律但不循环的无限小数、开方开不尽的数，注意不要把有限小数、无限循环小数、分数错判为无理数，也不要将$π$的有限近似值误认为是$π$本身。
【难度系数】
0.8