5. 甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60 min，气球所在位置距离地面的高度 y(m)与气球上升的时间 x(min)之间的函数关系如图所示。给出下列说法：①甲气球上升过程中 y 与 x 之间的关系式为 $y=2x+5$；②10 min 时，甲气球在乙气球上方；③当两只气球的高度差为 15 m 时，上升时间为50 min；④上升60 min，乙气球距离地面高度为 40 m。其中错误的有。（填序号）

5.①②④

【分析】
要判断四个说法的正误，首先需要根据图像给出的已知点，用待定系数法分别求出甲、乙两只气球高度y与上升时间x的一次函数解析式，再将对应x值代入解析式计算高度，最后逐一验证每个结论即可。
【解析】
1. 求甲气球的函数解析式：
设甲的解析式为$y=k_1x+b_1$，由图可知甲过点$(0,5)$、$(20,25)$，代入得：
$\begin{cases}b_1=5\\20k_1+5=25\end{cases}$，解得$k_1=1$，$b_1=5$，故甲的解析式为$y=x+5$，因此①中$y=2x+5$的说法错误。
2. 求乙气球的函数解析式：
设乙的解析式为$y=k_2x+b_2$，由图可知乙过点$(0,15)$、$(20,25)$，代入得：
$\begin{cases}b_2=15\\20k_2+15=25\end{cases}$，解得$k_2=0.5$，$b_2=15$，故乙的解析式为$y=0.5x+15$。
3. 验证②：当$x=10$时，甲的高度$y_甲=10+5=15\ \mathrm{m}$，乙的高度$y_乙=0.5×10+15=20\ \mathrm{m}$，$y_甲＜y_乙$，此时乙气球在上方，故②说法错误。
4. 验证③：高度差为15m时，20min后甲高度高于乙，故列方程：
$(x+5)-(0.5x+15)=15$，解得$0.5x=25$，$x=50$，故③说法正确。
5. 验证④：当$x=60$时，乙的高度$y_乙=0.5×60+15=45\ \mathrm{m}$，不是40m，故④说法错误。
综上，错误的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的图像与应用，解题核心是先从图像中提取有效点求出函数解析式，再结合解析式计算对应数值判断结论，注意高度差问题要结合函数大小关系排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.6

6.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉。当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点。用$s_1,s_2$分别表示乌龟和兔子所行的路程,$t$表示时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是()。

6.D

【分析】
首先回忆龟兔赛跑的完整情节，结合路程-时间（s-t）图像的意义分析两个运动对象的路程变化规律：①乌龟全程匀速爬行，路程随时间持续均匀增加，对应图像是过原点的倾斜直线，无停顿；②兔子的运动分为三个阶段：初始快速奔跑（路程增长比乌龟快，图像斜率更大）、中途睡觉（时间增加，路程不变，对应水平线段）、醒来后快速追赶（路程再次快速增长，斜率再次大于乌龟的斜率）。最终结局是乌龟先到达终点，即相同终点路程下，乌龟的用时更短，其图像先到达最大路程值，按照这个规律逐一排查选项即可。
【解析】
我们结合运动过程逐一分析选项：
1. 乌龟的运动特征：全程匀速，$s_1$始终随时间均匀增大，是过原点的倾斜直线，四个选项均满足该特征。
2. 兔子的运动特征：分三个阶段：
阶段1：初始奔跑，速度大于乌龟，$s_2$斜率大于$s_1$；
阶段2：睡觉，路程不变，图像为水平线段，四个选项均满足该特征；
阶段3：醒来追赶，速度再次大于乌龟，$s_2$斜率再次大于$s_1$，B选项中兔子睡觉后$s_2$一直水平，没有追赶过程，排除B。
3. 最终结局：乌龟先到达终点，即$s_1$先达到最大路程值：
A选项最终$s_2$在$s_1$上方，说明兔子先到终点，不符合，排除；
C选项中$s_1$和$s_2$同时到达最大路程，即同时到终点，不符合，排除；
D选项完全符合乌龟匀速、兔子三段运动、乌龟先到终点的所有情节。
【答案】
D
【知识点】
s-t图像分析，匀速运动图像特征，分段函数应用
【点评】
本题结合经典故事考查函数图像的实际应用，解题的核心是准确梳理不同阶段路程随时间的变化规律，抓住“乌龟先到终点”这一关键结局，就能快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7

7.“龟兔赛跑”后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思之后，和乌龟约定再赛一场。下图即“龟兔再次赛跑”时所行路程$y$(m)与时间$x$(min)之间的关系，$y_1$表示兔子所行路程，$y_2$表示乌龟所行路程，给出下列说法：①乌龟在途中休息了10 min；②兔子和乌龟同时从起点出发；③兔子在乌龟出发40～50 min期间追上乌龟；④乌龟和兔子再次赛跑的全程为1 000 m。其中正确的是。（填序号）

7.①③④

【分析】
解题时先明确函数图像的横、纵坐标意义：横坐标x代表比赛时间（单位：min），纵坐标y代表行走的路程（单位：m）。我们可以先分别梳理乌龟、兔子的行程过程，再逐一验证4个说法的正确性：首先看乌龟的行程：0~30min匀速走了600m，30~40min路程不变，说明在休息，40min后继续匀速前进，60min走完全程；再看兔子的行程：40min才从起点出发，50min就走完全程。再结合行程的数量关系计算追上的时间，即可判断各个结论。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
1. 判断①：观察乌龟的路程折线，30min时路程为600m，40min时路程仍为600m，说明这段时间乌龟没有移动，休息时长为$40-30=10\mathrm{min}$，故①正确。
2. 判断②：乌龟在$x=0$时就从起点出发，而兔子的路程折线从$x=40\mathrm{min}$才开始从0增长，说明兔子比乌龟晚40min出发，二者不是同时出发，故②错误。
3. 判断③：先计算两者40min后的运动速度：
乌龟40min后的速度：$v_\mathrm{乌}=\frac{1000-600}{60-40}=20\mathrm{m/min}$
兔子的运动速度：$v_\mathrm{兔}=\frac{1000}{50-40}=100\mathrm{m/min}$
设兔子出发$t\mathrm{min}$后追上乌龟，此时两者路程相等，可列方程：
$100t = 600 + 20t$
解得$t=7.5$，即乌龟出发后$40+7.5=47.5\mathrm{min}$时被兔子追上，属于40~50min期间，故③正确。
4. 判断④：图像中纵坐标最大值为1000m，乌龟和兔子最终都到达1000m处，说明本次赛跑全程为1000m，故④正确。
综上，正确的说法为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
s-t图像分析，一次函数的应用，行程问题计算
【点评】
本题以“龟兔赛跑”的趣味故事为背景，考查对路程-时间图像的解读能力，解题核心是抓住图像中拐点的实际意义，结合速度、路程、时间的关系进行简单计算即可得出结论，属于一次函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7

8. A,B两地相距 300 km,甲、乙两车同时从 A 地出发前往 B 地,如图所示的是甲、乙两车的行驶路程 y(km)随行驶时间 t(h)变化的图象,结合图象信息,回答下列问题:
(1)甲车的速度为 km/h;
(2)当甲、乙两车相距 10 km 时,乙车行驶的时间为 h。

8.(1)90 (2)$1或\frac{13}{7}或\frac{77}{20}$

【分析】
(1)求甲车速度时，从图象可直接获取甲车行驶300km的总用时为$\frac{10}{3}$h，根据速度=路程÷时间的公式直接计算即可。
(2)先分别推导甲、乙两车行驶路程y关于时间t的函数解析式：乙车的图象分为两段，0~1h为第一段匀速行驶，1h后为第二段匀速行驶；甲车全程匀速行驶，到达终点后路程保持不变。再分三类情况讨论两车相距10km的情况：①0≤t≤1时，两车均处于第一段行驶阶段；②$1＜t≤\frac{10}{3}$时，两车均未到达终点，处于行驶状态；③$\frac{10}{3}＜t≤4$时，甲车已到达B地静止，仅乙车仍在行驶，根据$\vert y_甲-y_乙\vert=10$分别列方程求解，舍去不符合区间的解即可。
【解析】
(1) 由图象可知，甲车行驶300km用时$\frac{10}{3}$h，
则甲车速度 $v_甲=300÷\frac{10}{3}=90$（km/h）。
(2) 先推导两车的函数解析式：
① 甲车：全程匀速阶段解析式为$y_甲=90t$（$0≤ t≤\frac{10}{3}$）；当$t＞\frac{10}{3}$时，甲车到达终点，$y_甲=300$。
② 乙车：
当$0≤ t≤1$时，1h行驶100km，速度为100km/h，解析式为$y_乙=100t$；
当$1＜t≤4$时，行驶速度为$(300-100)÷(4-1)=\frac{200}{3}$km/h，解析式为$y_乙=100+\frac{200}{3}(t-1)=\frac{200}{3}t+\frac{100}{3}$。
分情况讨论$\vert y_甲-y_乙\vert=10$：
情况1：$0≤ t≤1$时，$\vert90t-100t\vert=10$，即$10t=10$，解得$t=1$，符合区间要求。
情况2：$1＜t≤\frac{10}{3}$时，$\vert90t - (\frac{200}{3}t+\frac{100}{3})\vert=10$，
化简得$\vert70t-100\vert=30$，
若$70t-100=30$，解得$t=\frac{13}{7}$，符合区间要求；
若$70t-100=-30$，解得$t=1$，为区间端点，已在情况1中求得。
情况3：$\frac{10}{3}＜t≤4$时，甲车已到达终点，$y_甲=300$，则$300-y_乙=10$，
代入解析式得$300-(\frac{200}{3}t+\frac{100}{3})=10$，解得$t=\frac{77}{20}$，符合区间要求。
综上，乙车行驶时间为$1$或$\frac{13}{7}$或$\frac{77}{20}$h。
【答案】
(1)90 (2)$1或\frac{13}{7}或\frac{77}{20}$
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题关键是准确读取图象信息，正确写出分段函数的解析式，结合行驶阶段分类讨论求解，注意不要遗漏车辆到达终点后静止的特殊情况。
【难度系数】
0.6

9.【数学应用】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种“CNG”改烧汽油为天然气的装置，每辆车的改装费为$b$元，据市场调查知：每辆车改装前、
后的燃料费(含改装费)$y_0$(元),$y_1$(元)与正常运营时间$x$(天)之间分别满足关系式:$y_0=ax$,$y_1=b+50x$,其图象如图所示。
(1)每辆车改装前每天的燃料费$a=$元,每辆车的改装费$b=$元,正常运营天后,就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
(2)某出租汽车公司一次性改装了100辆出租车,那么正常运营多少天后,共节省燃料费40万元？

9.解:(1)90 4 000 100
(2)依题意及题图,得
100×(90−50)x=400 000+100×4 000,
解得x=200。
故正常运营200天后共节省燃料费40万元。

【分析】
(1) 求a的值时，可利用函数$y_0=ax$过图象交点$(100,9000)$，将x、y的数值代入解析式即可算出a；改装费b是改装的初始费用，对应$y_1$图象在y轴的截距，也可将交点$(100,9000)$代入$y_1=b+50x$求出b；收回改装成本的含义是改装前后总费用相等，对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取图象即可得到对应天数。
(2) 求100辆车运营多少天共节省40万元时，首先明确每辆车每天节省的燃料费为$(a-50)$元，总节省燃料费=100辆车x天总共省下的燃料费 - 100辆车的总改装费，按照这个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 把$x=100$，$y=9000$代入$y_0=ax$，得$9000=100a$，解得$a=90$；
将$x=100$，$y=9000$代入$y_1=b+50x$，得$9000=b+50×100$，解得$b=4000$；
两个函数图象交点的横坐标为100，说明运营100天时，改装前后总费用相等，即100天后可收回改装成本。
(2) 40万元=400000元，设正常运营x天后共节省燃料费40万元。
每辆车每天节省燃料费：$90-50=40$元
根据总节省费用的等量关系列方程：
$100×(90-50)x=400000+100×4000$
化简得：$4000x=800000$
解得：$x=200$
【答案】
(1)90；4000；100
(2)正常运营200天后共节省燃料费40万元。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合节能减排的实际背景，考查一次函数图象的实际意义与一元一次方程的结合应用，解题核心是理解函数图象中点、截距、交点对应的实际含义，准确找到等量关系列方程求解，能有效提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7