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11 一次函数的应用(第3课时)
课堂精要·梳理内容
利用一次函数解决实际问题
1.要弄清横坐标和纵坐标各自表示的
2.要注意自变量的
3.要理解两个一次函数图象的交点的含义:两个一次函数图象的交点,表示此点在两条直线上的横坐标
4.准确理解一次函数关系式中k,b所表示的
课堂精要·梳理内容
利用一次函数解决实际问题
1.要弄清横坐标和纵坐标各自表示的
实际意义
。2.要注意自变量的
取值范围
，必须使实际问题有意义。3.要理解两个一次函数图象的交点的含义:两个一次函数图象的交点,表示此点在两条直线上的横坐标
相同
，纵坐标也相同
。4.准确理解一次函数关系式中k,b所表示的
实际意义
。答案
1. 实际意义
2. 取值范围
3. 相同 相同
4. 实际意义
2. 取值范围
3. 相同 相同
4. 实际意义
解析
【分析】
本题考查利用一次函数解决实际问题的基础识记要点，解题时可结合一次函数实际应用的相关概念逐一分析：1. 用函数图象解决实际问题时，首先要明确横、纵坐标对应的量的实际含义，才能正确读取图象信息；2. 实际问题中的自变量不能脱离现实情况，所以必须明确其取值范围，保证问题有意义；3. 一次函数图象的交点是两条直线的公共点，因此该点的坐标同时满足两个函数解析式，即横、纵坐标均对应相等；4. 一次函数解析式y=kx+b中，k和b在不同实际问题中对应不同的实际含义，需要准确理解才能正确列式解题。
【解析】
根据一次函数解决实际问题的相关要点逐一填写：
1. 要弄清横坐标和纵坐标各自表示的实际意义，才能正确解读图象传递的信息。
2. 自变量的取值必须符合实际情况，因此要注意自变量的取值范围，使实际问题有意义。
3. 两个一次函数图象的交点是两条直线的公共点，因此此点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同。
4. 一次函数关系式中的k、b在不同实际场景下有对应的实际含义，需要准确理解。
【答案】
1. 实际意义
2. 取值范围
3. 相同 相同
4. 实际意义
【知识点】
一次函数的实际应用、一次函数的图象、自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查的是利用一次函数解决实际问题的核心基础要点，熟练掌握这些内容是正确分析、解决各类一次函数实际应用题的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查利用一次函数解决实际问题的基础识记要点，解题时可结合一次函数实际应用的相关概念逐一分析：1. 用函数图象解决实际问题时，首先要明确横、纵坐标对应的量的实际含义，才能正确读取图象信息；2. 实际问题中的自变量不能脱离现实情况，所以必须明确其取值范围，保证问题有意义；3. 一次函数图象的交点是两条直线的公共点，因此该点的坐标同时满足两个函数解析式，即横、纵坐标均对应相等；4. 一次函数解析式y=kx+b中，k和b在不同实际问题中对应不同的实际含义，需要准确理解才能正确列式解题。
【解析】
根据一次函数解决实际问题的相关要点逐一填写：
1. 要弄清横坐标和纵坐标各自表示的实际意义，才能正确解读图象传递的信息。
2. 自变量的取值必须符合实际情况，因此要注意自变量的取值范围，使实际问题有意义。
3. 两个一次函数图象的交点是两条直线的公共点，因此此点在两条直线上的横坐标相同，纵坐标也相同。
4. 一次函数关系式中的k、b在不同实际场景下有对应的实际含义，需要准确理解。
【答案】
1. 实际意义
2. 取值范围
3. 相同 相同
4. 实际意义
【知识点】
一次函数的实际应用、一次函数的图象、自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念识记题，考查的是利用一次函数解决实际问题的核心基础要点，熟练掌握这些内容是正确分析、解决各类一次函数实际应用题的前提。
【难度系数】
0.9
1. 如图，线段OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的路程s(m)与时间t(s)之间关系的图象，根据图象可判断甲、乙两名学生中，速度更快的是(
A.乙
B.甲
C.一样
D.无法判断
B
)。A.乙
B.甲
C.一样
D.无法判断
答案
1.B
解析
【分析】
要判断甲、乙谁的速度更快，首先明确路程-时间（s-t）图像的意义：匀速运动的s-t图像是倾斜直线，直线的倾斜程度对应速度大小，倾斜程度越大速度越大；也可以用相同时间比较路程变化量的方法判断，相同时间内走过的路程越多，速度越大。观察图像可知，OA是甲的运动图像、从原点出发，BA是乙的运动图像、初始时乙已经有一段路程。当两人运动到交点A时，所用时间相同，甲的路程变化量是A点的总路程，乙的路程变化量是A点路程减去初始的B点路程，甲的路程变化量更大，由此可判断速度大小。
【解析】
在s-t图像中，速度公式为$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$，其中$\Delta s$是路程变化量，$\Delta t$是时间变化量。
取交点A对应的时刻为$t_A$：
甲的路程变化量$\Delta s_甲 = s_A$，速度$v_甲=\frac{s_A}{t_A}$；
乙的路程变化量$\Delta s_乙 = s_A - s_B$（$s_B$是B点纵坐标，即乙的初始路程），速度$v_乙=\frac{s_A - s_B}{t_A}$。
因为$s_A ＞ s_A - s_B$，所以$v_甲 ＞ v_乙$，即甲的速度更快。
也可直接观察直线倾斜程度：OA的倾斜程度大于BA，说明甲的速度更大，故选B。
【答案】
B
【知识点】
s-t图像解读，速度计算，一次函数的应用
【点评】
本题考查路程时间图像的实际应用，解题关键是理解s-t图像中倾斜程度代表速度、交点代表同一时刻路程相同，也可结合速度公式对比判断，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断甲、乙谁的速度更快，首先明确路程-时间（s-t）图像的意义：匀速运动的s-t图像是倾斜直线，直线的倾斜程度对应速度大小，倾斜程度越大速度越大；也可以用相同时间比较路程变化量的方法判断，相同时间内走过的路程越多，速度越大。观察图像可知，OA是甲的运动图像、从原点出发，BA是乙的运动图像、初始时乙已经有一段路程。当两人运动到交点A时，所用时间相同，甲的路程变化量是A点的总路程，乙的路程变化量是A点路程减去初始的B点路程，甲的路程变化量更大，由此可判断速度大小。
【解析】
在s-t图像中，速度公式为$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$，其中$\Delta s$是路程变化量，$\Delta t$是时间变化量。
取交点A对应的时刻为$t_A$：
甲的路程变化量$\Delta s_甲 = s_A$，速度$v_甲=\frac{s_A}{t_A}$；
乙的路程变化量$\Delta s_乙 = s_A - s_B$（$s_B$是B点纵坐标，即乙的初始路程），速度$v_乙=\frac{s_A - s_B}{t_A}$。
因为$s_A ＞ s_A - s_B$，所以$v_甲 ＞ v_乙$，即甲的速度更快。
也可直接观察直线倾斜程度：OA的倾斜程度大于BA，说明甲的速度更大，故选B。
【答案】
B
【知识点】
s-t图像解读，速度计算，一次函数的应用
【点评】
本题考查路程时间图像的实际应用，解题关键是理解s-t图像中倾斜程度代表速度、交点代表同一时刻路程相同，也可结合速度公式对比判断，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 在一次 800 m 的跑步比赛中,甲、乙两人所跑的路程$s(\mathrm{m})$与各自所用时间$t(\mathrm{s})$之间的函数图象分别为线段$OA$和折线$OBCD$,则下列说法正确的是(
A.甲的速度随时间的增加而增大
B.乙的平均速度比甲的平均速度大
C.在起跑后第$180\ \mathrm{s}$时,两人相遇
D.在起跑后第$50\ \mathrm{s}$时,乙在甲的前面
D
)。A.甲的速度随时间的增加而增大
B.乙的平均速度比甲的平均速度大
C.在起跑后第$180\ \mathrm{s}$时,两人相遇
D.在起跑后第$50\ \mathrm{s}$时,乙在甲的前面
答案
2.D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确路程-时间（s-t）图像的含义：倾斜直线代表匀速运动，斜率越大速度越快，图像交点代表同一时间两人路程相同即相遇，平均速度等于总路程除以总时间。我们逐个分析四个选项，结合图像数据计算验证即可判断对错。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
1. 选项A：甲的路程-时间图像是线段OA，说明甲的路程与时间成正比，甲做匀速直线运动，速度不随时间变化，故A错误。
2. 选项B：平均速度计算公式为$v=\frac{s}{t}$，两人总路程都是800m，甲跑完全程用时180s，乙跑完全程用时220s，甲用时更短，因此甲的平均速度更大，故B错误。
3. 选项C：两人相遇时路程相同，对应图像中两条线的交点，交点处路程为400m，不是180s对应的位置；180s时甲已跑完800m，乙仅跑了600m，两人未相遇，故C错误。
4. 选项D：甲的速度$v_甲=\frac{800m}{180s}=\frac{40}{9}m/s$，起跑50s时甲的路程$s_甲=v_甲t=\frac{40}{9}m/s×50s\approx222m$；由图像可知50s时乙的路程为300m，300m＞222m，因此乙在甲前面，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
s-t图像解读、平均速度计算、一次函数的应用
【点评】
本题是典型的行程类图像题，核心是理解s-t图像中线段、交点的物理意义，结合速度公式计算即可快速排除错误选项，解题时注意结合图像读取关键数据。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确路程-时间（s-t）图像的含义：倾斜直线代表匀速运动，斜率越大速度越快，图像交点代表同一时间两人路程相同即相遇，平均速度等于总路程除以总时间。我们逐个分析四个选项，结合图像数据计算验证即可判断对错。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
1. 选项A：甲的路程-时间图像是线段OA，说明甲的路程与时间成正比，甲做匀速直线运动，速度不随时间变化，故A错误。
2. 选项B：平均速度计算公式为$v=\frac{s}{t}$，两人总路程都是800m，甲跑完全程用时180s，乙跑完全程用时220s，甲用时更短，因此甲的平均速度更大，故B错误。
3. 选项C：两人相遇时路程相同，对应图像中两条线的交点，交点处路程为400m，不是180s对应的位置；180s时甲已跑完800m，乙仅跑了600m，两人未相遇，故C错误。
4. 选项D：甲的速度$v_甲=\frac{800m}{180s}=\frac{40}{9}m/s$，起跑50s时甲的路程$s_甲=v_甲t=\frac{40}{9}m/s×50s\approx222m$；由图像可知50s时乙的路程为300m，300m＞222m，因此乙在甲前面，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
s-t图像解读、平均速度计算、一次函数的应用
【点评】
本题是典型的行程类图像题，核心是理解s-t图像中线段、交点的物理意义，结合速度公式计算即可快速排除错误选项，解题时注意结合图像读取关键数据。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两名同学骑自行车从A地沿同一条路线到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，给出下列说法：
①他们都骑行了20 km；
②乙在途中停留了0.5 h；
③甲、乙两人同时到达目的地；
④相遇后，甲的速度小于乙的速度。
其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①他们都骑行了20 km；
②乙在途中停留了0.5 h；
③甲、乙两人同时到达目的地；
④相遇后，甲的速度小于乙的速度。
其中正确的有(
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先明确路程-时间（s-t）图像的横、纵坐标含义：横坐标表示骑行时间t，纵坐标表示离出发地的距离s，再逐个分析四个说法：①看两人最终行驶的路程最大值判断；②看乙的图像中路程不变的时间段，计算停留时长；③看两人到达20km对应的时间判断是否同时到达；④相遇后比较两人走相同路程的用时，结合速度公式判断速度大小。
【解析】
1. 分析说法①：由图像可知，甲、乙离出发地的最大距离都是20km，即两人都骑行了20km，①正确；
2. 分析说法②：乙在0.5h~1h期间，路程s没有变化，说明乙在途中停留，停留时长为$1h - 0.5h = 0.5h$，②正确；
3. 分析说法③：甲到达20km处的时间是$t=2h$，乙到达20km处的时间是$t=2.5h$，甲比乙早到0.5h，并非同时到达，③错误；
4. 分析说法④：相遇后，两人都要走剩余的相同路程，甲用时更短，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可知甲的速度大于乙的速度，④错误。
综上，正确的说法是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
s-t图象识别，速度计算，函数图象应用
【点评】
本题重点考查对路程时间图像的解读能力，解题关键是明确图像中水平线段代表物体静止，倾斜线段的倾斜程度对应速度大小，终点的横坐标对应走完全程的时间，结合相关概念逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时先明确路程-时间（s-t）图像的横、纵坐标含义：横坐标表示骑行时间t，纵坐标表示离出发地的距离s，再逐个分析四个说法：①看两人最终行驶的路程最大值判断；②看乙的图像中路程不变的时间段，计算停留时长；③看两人到达20km对应的时间判断是否同时到达；④相遇后比较两人走相同路程的用时，结合速度公式判断速度大小。
【解析】
1. 分析说法①：由图像可知，甲、乙离出发地的最大距离都是20km，即两人都骑行了20km，①正确；
2. 分析说法②：乙在0.5h~1h期间，路程s没有变化，说明乙在途中停留，停留时长为$1h - 0.5h = 0.5h$，②正确；
3. 分析说法③：甲到达20km处的时间是$t=2h$，乙到达20km处的时间是$t=2.5h$，甲比乙早到0.5h，并非同时到达，③错误；
4. 分析说法④：相遇后，两人都要走剩余的相同路程，甲用时更短，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可知甲的速度大于乙的速度，④错误。
综上，正确的说法是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
s-t图象识别，速度计算，函数图象应用
【点评】
本题重点考查对路程时间图像的解读能力，解题关键是明确图像中水平线段代表物体静止，倾斜线段的倾斜程度对应速度大小，终点的横坐标对应走完全程的时间，结合相关概念逐一判断即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图，直线 $ l_1 $ 反映了某商品的销售收入与销售量之间的关系，直线 $ l_2 $ 反映了该商品的成本与销售量之间的关系，当销售收入大于成本时，该商品开始盈利，即当销售量 $ x $
＞100
t时，该商品开始盈利。答案
4.＞100
解析
【分析】
首先明确两条直线的实际意义：$l_1$的纵坐标代表对应销售量下的销售收入，$l_2$的纵坐标代表对应销售量下的成本。盈利的条件是销售收入大于成本，对应到函数图象上，就是相同销售量$x$时，$l_1$的纵坐标大于$l_2$的纵坐标。先找到两直线的交点，交点处销售收入等于成本，是盈亏平衡点；再观察交点两侧直线的位置：交点左侧$l_2$在$l_1$上方，成本大于收入，处于亏损状态；交点右侧$l_1$在$l_2$上方，收入大于成本，满足盈利条件，即可得到对应的销售量范围。
【解析】
1. 图象含义：直线$l_1$反映销售收入与销售量的关系，直线$l_2$反映成本与销售量的关系。
2. 盈利条件：当销售收入＞成本时，商品盈利，即相同$x$取值下，$l_1$对应的函数值大于$l_2$对应的函数值。
3. 观察图象可得，两直线交点的横坐标为$x=100$，即$x=100$时，销售收入等于成本。当$x＞100$时，$l_1$位于$l_2$上方，此时销售收入大于成本，商品开始盈利。
【答案】
＞100
【知识点】
一次函数的应用；函数图象的实际意义
【点评】
本题结合实际盈利场景考查一次函数图象的应用，解题关键是理解两条直线和交点的实际含义，通过观察图象的上下位置关系判断函数值的大小，侧重考查读图分析的能力。
【难度系数】
0.8
首先明确两条直线的实际意义：$l_1$的纵坐标代表对应销售量下的销售收入，$l_2$的纵坐标代表对应销售量下的成本。盈利的条件是销售收入大于成本，对应到函数图象上，就是相同销售量$x$时，$l_1$的纵坐标大于$l_2$的纵坐标。先找到两直线的交点，交点处销售收入等于成本，是盈亏平衡点；再观察交点两侧直线的位置：交点左侧$l_2$在$l_1$上方，成本大于收入，处于亏损状态；交点右侧$l_1$在$l_2$上方，收入大于成本，满足盈利条件，即可得到对应的销售量范围。
【解析】
1. 图象含义：直线$l_1$反映销售收入与销售量的关系，直线$l_2$反映成本与销售量的关系。
2. 盈利条件：当销售收入＞成本时，商品盈利，即相同$x$取值下，$l_1$对应的函数值大于$l_2$对应的函数值。
3. 观察图象可得，两直线交点的横坐标为$x=100$，即$x=100$时，销售收入等于成本。当$x＞100$时，$l_1$位于$l_2$上方，此时销售收入大于成本，商品开始盈利。
【答案】
＞100
【知识点】
一次函数的应用；函数图象的实际意义
【点评】
本题结合实际盈利场景考查一次函数图象的应用，解题关键是理解两条直线和交点的实际含义，通过观察图象的上下位置关系判断函数值的大小，侧重考查读图分析的能力。
【难度系数】
0.8
