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采用“逐步确定”解决问题的一般过程：
(1)根据题意找出问题的解需要满足的
(2)按照某个顺序，逐步满足这些条件，
最终确定
(1)根据题意找出问题的解需要满足的
各个条件
；(2)按照某个顺序，逐步满足这些条件，
最终确定
问题的解
。答案
(1)各个条件 (2)问题的解
解析
【分析】
这道题考查“逐步确定”问题解决策略的基本流程，解题时可结合该策略的核心逻辑思考：要得到正确的解，首先得明确解需要符合的所有要求，才能确定后续推导的判断标准，再按照合理顺序逐个满足这些要求，最终就能得到正确结果。第一空对应解需要符合的要求，第二空对应所有要求都满足后得到的最终结果。
【解析】
根据“逐步确定”解决问题的一般过程：
(1) 解决问题首先要梳理清楚问题的解需要满足的所有条件，明确推导的方向和判断依据，因此第一空填“各个条件”；
(2) 按照合理顺序逐步满足所有条件后，得到的符合全部要求的结果就是问题的解，因此第二空填“问题的解”。
【答案】
(1)各个条件；(2)问题的解
【知识点】
逐步确定策略；问题解决步骤
【点评】
本题属于识记类基础题，考查对逐步确定法基本流程的掌握，该方法是后续解决枚举、逻辑推理等各类复杂问题的常用基础策略。
【难度系数】
0.9
这道题考查“逐步确定”问题解决策略的基本流程，解题时可结合该策略的核心逻辑思考：要得到正确的解，首先得明确解需要符合的所有要求，才能确定后续推导的判断标准，再按照合理顺序逐个满足这些要求，最终就能得到正确结果。第一空对应解需要符合的要求，第二空对应所有要求都满足后得到的最终结果。
【解析】
根据“逐步确定”解决问题的一般过程：
(1) 解决问题首先要梳理清楚问题的解需要满足的所有条件，明确推导的方向和判断依据，因此第一空填“各个条件”；
(2) 按照合理顺序逐步满足所有条件后，得到的符合全部要求的结果就是问题的解，因此第二空填“问题的解”。
【答案】
(1)各个条件；(2)问题的解
【知识点】
逐步确定策略；问题解决步骤
【点评】
本题属于识记类基础题，考查对逐步确定法基本流程的掌握，该方法是后续解决枚举、逻辑推理等各类复杂问题的常用基础策略。
【难度系数】
0.9
1. 若$(4x-3y-5)^0$无意义，且$3x+2y=8$，则$x=$
2
，$y=$1
。答案
1. $x=2$，$y=1$
解析
【分析】
解题时先回忆零指数幂的相关规则：若$a^0$无意义，则底数$a=0$。据此可先根据$(4x-3y-5)^0$无意义的条件，得到关于$x$、$y$的方程$4x-3y-5=0$，再结合已知的$3x+2y=8$，联立得到二元一次方程组，解方程组即可求出$x$、$y$的值。
【解析】
解：
∵ 零指数幂的底数为0时，零指数幂无意义，且$(4x-3y-5)^0$无意义，
∴ $4x-3y-5=0$，整理得：$4x-3y=5$ ①，
又已知$3x+2y=8$ ②，
联立①②组成二元一次方程组，用加减消元法求解：
①$×2$，得：$8x-6y=10$ ③，
②$×3$，得：$9x+6y=24$ ④，
③+④消去$y$，得：$17x=34$，解得$x=2$，
把$x=2$代入②，得：$3×2+2y=8$，解得$y=1$。
【答案】
$x=2$，$y=1$
【知识点】
零指数幂的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础运算类题目，解题关键是根据零指数幂无意义的条件得到对应方程，将问题转化为二元一次方程组求解，主要考察对基础概念的掌握和基本计算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆零指数幂的相关规则：若$a^0$无意义，则底数$a=0$。据此可先根据$(4x-3y-5)^0$无意义的条件，得到关于$x$、$y$的方程$4x-3y-5=0$，再结合已知的$3x+2y=8$，联立得到二元一次方程组，解方程组即可求出$x$、$y$的值。
【解析】
解：
∵ 零指数幂的底数为0时，零指数幂无意义，且$(4x-3y-5)^0$无意义，
∴ $4x-3y-5=0$，整理得：$4x-3y=5$ ①，
又已知$3x+2y=8$ ②，
联立①②组成二元一次方程组，用加减消元法求解：
①$×2$，得：$8x-6y=10$ ③，
②$×3$，得：$9x+6y=24$ ④，
③+④消去$y$，得：$17x=34$，解得$x=2$，
把$x=2$代入②，得：$3×2+2y=8$，解得$y=1$。
【答案】
$x=2$，$y=1$
【知识点】
零指数幂的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是基础运算类题目，解题关键是根据零指数幂无意义的条件得到对应方程，将问题转化为二元一次方程组求解，主要考察对基础概念的掌握和基本计算能力。
【难度系数】
0.8
2.已知方程组$\begin{cases}ax - by = 4, \\ 2x + 3y = 4\end{cases}$与$\begin{cases}ax + by = 2, \\ 4x - 3y = 2\end{cases}$的解相同，则$a + b$的值为 ______ 。
答案
2. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
因为两个方程组的解相同，所以这个解是四个方程的公共解。解题时第一步先把不含参数a、b的两个二元一次方程联立，求解得到x和y的值；第二步将求出的x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；最后计算a+b即可。
【解析】
已知两个方程组的解相同，先联立不含a、b的方程：
$\begin{cases}2x + 3y = 4 \quad \mathrm{①} \\ 4x - 3y = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得：$6x = 6$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①得：$2×1 + 3y =4$，解得$y=\frac{2}{3}$。
将$x=1$，$y=\frac{2}{3}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}a - \frac{2}{3}b =4 \quad \mathrm{③} \\ a + \frac{2}{3}b =2 \quad \mathrm{④}\end{cases}$
③+④得：$2a=6$，解得$a=3$。
把$a=3$代入④得：$3 + \frac{2}{3}b =2$，解得$b=-\frac{3}{2}$。
所以$a + b = 3 + (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；加减消元法
【点评】
本题的核心突破口是利用“同解”的性质，先求出公共解x、y，再求解未知参数，是二元一次方程组章节的典型考法，需要熟练掌握加减消元法的运算技巧。
【难度系数】
0.7
因为两个方程组的解相同，所以这个解是四个方程的公共解。解题时第一步先把不含参数a、b的两个二元一次方程联立，求解得到x和y的值；第二步将求出的x、y代入含有a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；最后计算a+b即可。
【解析】
已知两个方程组的解相同，先联立不含a、b的方程：
$\begin{cases}2x + 3y = 4 \quad \mathrm{①} \\ 4x - 3y = 2 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得：$6x = 6$，解得$x=1$。
把$x=1$代入①得：$2×1 + 3y =4$，解得$y=\frac{2}{3}$。
将$x=1$，$y=\frac{2}{3}$代入含a、b的方程，得：
$\begin{cases}a - \frac{2}{3}b =4 \quad \mathrm{③} \\ a + \frac{2}{3}b =2 \quad \mathrm{④}\end{cases}$
③+④得：$2a=6$，解得$a=3$。
把$a=3$代入④得：$3 + \frac{2}{3}b =2$，解得$b=-\frac{3}{2}$。
所以$a + b = 3 + (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；加减消元法
【点评】
本题的核心突破口是利用“同解”的性质，先求出公共解x、y，再求解未知参数，是二元一次方程组章节的典型考法，需要熟练掌握加减消元法的运算技巧。
【难度系数】
0.7
3. 173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四位数依次可被9，11，6整除。”则数学老师先后填入的3个数字的和是
19
。答案
3. 19
解析
【分析】
我们需要分别求出能让四位数173依次被9、11、6整除时，方框中填入的数字，再将三个数字相加得到结果。解题思路如下：1. 根据能被9整除的数的特征，计算第一个填入的数字；2. 根据能被11整除的数的特征，计算第二个填入的数字；3. 根据能被6整除的数需同时满足被2和3整除的特征，计算第三个填入的数字；最后求和即可。
【解析】
1. 求能被9整除时填入的数字：
能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数。已知前三位数字和为$1+7+3=11$，设方框数字为$x$，则$11+x$是9的倍数。由于$x$是0~9的一位整数，因此$11+x=18$，解得$x=7$。
2. 求能被11整除时填入的数字：
能被11整除的数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。该数奇数位（从左数第1、3位）数字和为$1+3=4$，偶数位（第2、4位）数字和为$7+x$，则$(7+x)-4=x+3$是11的倍数。$x$是0~9的一位整数，因此$x+3=11$，解得$x=8$。
3. 求能被6整除时填入的数字：
能被6整除的数需同时满足被2和3整除：首先末位是偶数，即$x$可取0、2、4、6、8；其次各位数字和$11+x$是3的倍数，仅当$x=4$时，$11+4=15$是3的倍数，因此$x=4$。
三个数字的和为$7+8+4=19$。
【答案】
19
【知识点】
数的整除特征，2和3的倍数判定，9和11的倍数判定
【点评】
本题重点考查不同数的整除特征的应用，解题时要结合数字的取值范围（0~9的一位数）快速筛选符合条件的结果，注意能被6整除的数需要同时满足被2和3整除的两个条件，避免遗漏规则导致计算错误。
【难度系数】
0.6
我们需要分别求出能让四位数173依次被9、11、6整除时，方框中填入的数字，再将三个数字相加得到结果。解题思路如下：1. 根据能被9整除的数的特征，计算第一个填入的数字；2. 根据能被11整除的数的特征，计算第二个填入的数字；3. 根据能被6整除的数需同时满足被2和3整除的特征，计算第三个填入的数字；最后求和即可。
【解析】
1. 求能被9整除时填入的数字：
能被9整除的数，各位数字之和是9的倍数。已知前三位数字和为$1+7+3=11$，设方框数字为$x$，则$11+x$是9的倍数。由于$x$是0~9的一位整数，因此$11+x=18$，解得$x=7$。
2. 求能被11整除时填入的数字：
能被11整除的数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。该数奇数位（从左数第1、3位）数字和为$1+3=4$，偶数位（第2、4位）数字和为$7+x$，则$(7+x)-4=x+3$是11的倍数。$x$是0~9的一位整数，因此$x+3=11$，解得$x=8$。
3. 求能被6整除时填入的数字：
能被6整除的数需同时满足被2和3整除：首先末位是偶数，即$x$可取0、2、4、6、8；其次各位数字和$11+x$是3的倍数，仅当$x=4$时，$11+4=15$是3的倍数，因此$x=4$。
三个数字的和为$7+8+4=19$。
【答案】
19
【知识点】
数的整除特征，2和3的倍数判定，9和11的倍数判定
【点评】
本题重点考查不同数的整除特征的应用，解题时要结合数字的取值范围（0~9的一位数）快速筛选符合条件的结果，注意能被6整除的数需要同时满足被2和3整除的两个条件，避免遗漏规则导致计算错误。
【难度系数】
0.6
4.《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十；乙得甲太半而亦钱五十。问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙所有钱数的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱数的$\frac{2}{3}$，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为$x,y$，则可列方程组为。
答案
4.$\begin{cases} x+\frac{1}{2}y=50, \\ y+\frac{2}{3}x=50 \end{cases}$
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是从题干中提取两个独立的等量关系。题目已经给出设甲持钱$x$、乙持钱$y$，我们只需将文字描述转化为数学表达式即可：第一个等量关系为“甲原有的钱 + 乙钱数的一半 = 50”，第二个等量关系为“乙原有的钱 + 甲钱数的$\frac{2}{3}$ = 50”，将两个等量关系转化为方程后联立，就能得到所求方程组。
【解析】
第一步，根据“甲得到乙所有钱数的一半后共有钱50”列方程：
甲原有钱$x$，乙钱数的一半为$\frac{1}{2}y$，可列方程：$x+\frac{1}{2}y=50$；
第二步，根据“乙得到甲所有钱数的$\frac{2}{3}$后共有钱50”列方程：
乙原有钱$y$，甲钱数的$\frac{2}{3}$为$\frac{2}{3}x$，可列方程：$y+\frac{2}{3}x=50$；
第三步，联立两个方程得到最终方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+\frac{1}{2}y=50, \\ y+\frac{2}{3}x=50 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组、实际问题建模
【点评】
本题以古代数学名著《九章算术》的经典问题为载体，考查从文字材料中提取等量关系列方程组的能力，解题关键是准确理解题意，梳理出两个独立的等量关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是从题干中提取两个独立的等量关系。题目已经给出设甲持钱$x$、乙持钱$y$，我们只需将文字描述转化为数学表达式即可：第一个等量关系为“甲原有的钱 + 乙钱数的一半 = 50”，第二个等量关系为“乙原有的钱 + 甲钱数的$\frac{2}{3}$ = 50”，将两个等量关系转化为方程后联立，就能得到所求方程组。
【解析】
第一步，根据“甲得到乙所有钱数的一半后共有钱50”列方程：
甲原有钱$x$，乙钱数的一半为$\frac{1}{2}y$，可列方程：$x+\frac{1}{2}y=50$；
第二步，根据“乙得到甲所有钱数的$\frac{2}{3}$后共有钱50”列方程：
乙原有钱$y$，甲钱数的$\frac{2}{3}$为$\frac{2}{3}x$，可列方程：$y+\frac{2}{3}x=50$；
第三步，联立两个方程得到最终方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+\frac{1}{2}y=50, \\ y+\frac{2}{3}x=50 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组、实际问题建模
【点评】
本题以古代数学名著《九章算术》的经典问题为载体，考查从文字材料中提取等量关系列方程组的能力，解题关键是准确理解题意，梳理出两个独立的等量关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
5.【【数学应用】】某中学八(1)、八(2)班两班同学积极参加全民健身活动，为此两班同学到同一商店购买体育用品。已知八(1)班购买了3个篮球和8副羽毛球拍，共用了442元；八(2)班购买了同样的5个篮球和6副羽毛球拍，共用了480元，则每个篮球和每副羽毛球拍的价格各为多少元？
答案
5. 解:设每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别为 $x$ 元和 $y$ 元,依题意得，
$\begin{cases} 3x+8y=442, \\ 5x+6y=480, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=54, \\ y=35, \end{cases}$
所以每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别为 54 元和 35 元。
$\begin{cases} 3x+8y=442, \\ 5x+6y=480, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=54, \\ y=35, \end{cases}$
所以每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别为 54 元和 35 元。
解析
【分析】
这是一道购物场景的二元一次方程组应用题，解题时首先明确需要求解的两个未知量：每个篮球的单价、每副羽毛球拍的单价，可设两个未知数对应这两个未知量；接着从题干提取两组等量关系：①3个篮球的总费用+8副羽毛球拍的总费用=442元，②5个篮球的总费用+6副羽毛球拍的总费用=480元；再根据等量关系列出二元一次方程组，最后用消元法解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设每个篮球的价格为$x$元，每副羽毛球拍的价格为$y$元，依题意得：
$\begin{cases} 3x+8y=442 \quad \mathrm{①} \\ 5x+6y=480 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
用加减消元法求解：
①×5得：$15x+40y=2210 \quad \mathrm{③}$
②×3得：$15x+18y=1440 \quad \mathrm{④}$
③-④得：$22y=770$，解得$y=35$
将$y=35$代入①得：$3x+8×35=442$，解得$x=54$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=54 \\ y=35 \end{cases}$
【答案】
每个篮球的价格为54元，每副羽毛球拍的价格为35元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的实际问题转化为数学方程求解的基础题，解题关键是准确梳理题干中的等量关系，熟练掌握二元一次方程组的消元解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道购物场景的二元一次方程组应用题，解题时首先明确需要求解的两个未知量：每个篮球的单价、每副羽毛球拍的单价，可设两个未知数对应这两个未知量；接着从题干提取两组等量关系：①3个篮球的总费用+8副羽毛球拍的总费用=442元，②5个篮球的总费用+6副羽毛球拍的总费用=480元；再根据等量关系列出二元一次方程组，最后用消元法解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设每个篮球的价格为$x$元，每副羽毛球拍的价格为$y$元，依题意得：
$\begin{cases} 3x+8y=442 \quad \mathrm{①} \\ 5x+6y=480 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
用加减消元法求解：
①×5得：$15x+40y=2210 \quad \mathrm{③}$
②×3得：$15x+18y=1440 \quad \mathrm{④}$
③-④得：$22y=770$，解得$y=35$
将$y=35$代入①得：$3x+8×35=442$，解得$x=54$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=54 \\ y=35 \end{cases}$
【答案】
每个篮球的价格为54元，每副羽毛球拍的价格为35元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的实际问题转化为数学方程求解的基础题，解题关键是准确梳理题干中的等量关系，熟练掌握二元一次方程组的消元解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 今有物不知其数，三三数之余一；五五数之余三。则物品最少有
13
个。答案
6. 13
解析
【分析】
解题时首先将题干的文字描述转化为数学条件：设物品总数为x，则x满足除以3余1、除以5余3，要找最小的正整数x。我们可以观察余数的特征：两个式子中除数减余数的差都是2（3-1=2，5-3=2），说明x加上2之后刚好能同时被3和5整除，因此可以先求3和5的最小公倍数，再减去2就能得到最小的x；也可以通过分别列举符合两个余数条件的数，找到第一个公共的数即可。
【解析】
方法一：利用公倍数性质求解
设物品数量为x，根据题意：
x除以3余1，即x + 2 能被3整除；
x除以5余3，即x + 2 能被5整除；
因此x + 2是3和5的公倍数，要使x最小，x + 2应为3和5的最小公倍数。
因为3和5互质，所以3和5的最小公倍数为$3×5=15$，
则$x = 15 - 2 = 13$。
方法二：列举法验证
列出除以3余1的正整数：1、4、7、10、13、16、19……
列出除以5余3的正整数：3、8、13、18、23……
两组数中第一个相同的数为13，即物品最少有13个。
【答案】
13
【知识点】
有余数的除法、最小公倍数、公倍数应用
【点评】
本题是典型的余数应用问题，核心是通过观察余数与除数的关系，将余数问题转化为公倍数问题简化计算，也可通过列举法直观求解，考查对余数性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先将题干的文字描述转化为数学条件：设物品总数为x，则x满足除以3余1、除以5余3，要找最小的正整数x。我们可以观察余数的特征：两个式子中除数减余数的差都是2（3-1=2，5-3=2），说明x加上2之后刚好能同时被3和5整除，因此可以先求3和5的最小公倍数，再减去2就能得到最小的x；也可以通过分别列举符合两个余数条件的数，找到第一个公共的数即可。
【解析】
方法一：利用公倍数性质求解
设物品数量为x，根据题意：
x除以3余1，即x + 2 能被3整除；
x除以5余3，即x + 2 能被5整除；
因此x + 2是3和5的公倍数，要使x最小，x + 2应为3和5的最小公倍数。
因为3和5互质，所以3和5的最小公倍数为$3×5=15$，
则$x = 15 - 2 = 13$。
方法二：列举法验证
列出除以3余1的正整数：1、4、7、10、13、16、19……
列出除以5余3的正整数：3、8、13、18、23……
两组数中第一个相同的数为13，即物品最少有13个。
【答案】
13
【知识点】
有余数的除法、最小公倍数、公倍数应用
【点评】
本题是典型的余数应用问题，核心是通过观察余数与除数的关系，将余数问题转化为公倍数问题简化计算，也可通过列举法直观求解，考查对余数性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6 cm和15 cm的两部分，则这个三角形的腰和底边的长度分别为
10 cm，1 cm
。答案
7. 10 cm，1 cm
解析
【分析】
解题时先结合等腰三角形两腰相等、中线平分线段的性质设未知数，再根据周长被分成6cm和15cm两部分的条件分两种情况讨论，最后必须用三角形三边关系验证计算结果，排除不符合三角形构成条件的情况，即可得到正确的边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x$ cm，底边长为$y$ cm，腰上的中线将腰分为两段长度均为$x$ cm的线段，分两种情况讨论：
情况1：$\begin{cases}x+2x=6 \\x+y=15\end{cases}$
解得$x=2$，$y=13$，此时三角形三边长为4cm、4cm、13cm，$\because4+4=8＜13$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
情况2：$\begin{cases}x+2x=15 \\x+y=6\end{cases}$
解得$x=5$，$y=1$，此时三角形三边长为10cm、10cm、1cm，$\because10+1＞10$，$10+10＞1$，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，腰长为10cm，底边长为1cm。
【答案】
10 cm，1 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题容易遗漏分类讨论或者忘记验证三边关系导致出错，解题时要注意周长的两部分对应的边长组合，最后必须验证三边是否能构成三角形，才能得到正确结果。
【难度系数】
0.6
解题时先结合等腰三角形两腰相等、中线平分线段的性质设未知数，再根据周长被分成6cm和15cm两部分的条件分两种情况讨论，最后必须用三角形三边关系验证计算结果，排除不符合三角形构成条件的情况，即可得到正确的边长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$2x$ cm，底边长为$y$ cm，腰上的中线将腰分为两段长度均为$x$ cm的线段，分两种情况讨论：
情况1：$\begin{cases}x+2x=6 \\x+y=15\end{cases}$
解得$x=2$，$y=13$，此时三角形三边长为4cm、4cm、13cm，$\because4+4=8＜13$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
情况2：$\begin{cases}x+2x=15 \\x+y=6\end{cases}$
解得$x=5$，$y=1$，此时三角形三边长为10cm、10cm、1cm，$\because10+1＞10$，$10+10＞1$，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，腰长为10cm，底边长为1cm。
【答案】
10 cm，1 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题容易遗漏分类讨论或者忘记验证三边关系导致出错，解题时要注意周长的两部分对应的边长组合，最后必须验证三边是否能构成三角形，才能得到正确结果。
【难度系数】
0.6
8. a是一个三位数。它的百位上的数字是4，$a+9$能被7整除，$a-7$能被9整除，则a是
439
。答案
8. 439
解析
【分析】
解题时先对题目给出的两个整除条件进行转化：因为a+9能被7整除，那么(a+9)减去7的倍数（此处减7）后仍能被7整除，可得a+2能被7整除；同理，a-7能被9整除，(a-7)加上9的倍数（此处加9）后仍能被9整除，可得a+2能被9整除。由此可知a+2是7和9的公倍数，再结合a是百位为4的三位数，范围在400~499之间，即可求出a的数值。
【解析】
1. 转化整除条件：
已知a+9能被7整除，根据整除的性质，$(a+9)-7=a+2$也能被7整除；
已知a-7能被9整除，根据整除的性质，$(a-7)+9=a+2$也能被9整除；
2. 确定a与公倍数的关系：
7和9互质，二者的最小公倍数为$7×9=63$，因此a+2是63的整数倍，可设$a+2=63n$（n为正整数），即$a=63n-2$。
3. 结合a的范围求n：
a是百位为4的三位数，因此$400≤ a≤499$，代入得不等式：
$400≤63n-2≤499$
不等式三边同时加2，得$402≤63n≤501$
三边同时除以63，得$\approx6.38≤ n≤\approx7.95$
n为正整数，因此$n=7$。
4. 计算a的值：
将$n=7$代入$a=63n-2$，得$a=63×7-2=441-2=439$。
【答案】
439
【知识点】
整除的性质，公倍数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题的核心突破点是对整除条件进行合理变形，推导出a+2是7和9的公倍数，避免了分别枚举符合两个整除条件的数的繁琐步骤，能有效考查学生对整除性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时先对题目给出的两个整除条件进行转化：因为a+9能被7整除，那么(a+9)减去7的倍数（此处减7）后仍能被7整除，可得a+2能被7整除；同理，a-7能被9整除，(a-7)加上9的倍数（此处加9）后仍能被9整除，可得a+2能被9整除。由此可知a+2是7和9的公倍数，再结合a是百位为4的三位数，范围在400~499之间，即可求出a的数值。
【解析】
1. 转化整除条件：
已知a+9能被7整除，根据整除的性质，$(a+9)-7=a+2$也能被7整除；
已知a-7能被9整除，根据整除的性质，$(a-7)+9=a+2$也能被9整除；
2. 确定a与公倍数的关系：
7和9互质，二者的最小公倍数为$7×9=63$，因此a+2是63的整数倍，可设$a+2=63n$（n为正整数），即$a=63n-2$。
3. 结合a的范围求n：
a是百位为4的三位数，因此$400≤ a≤499$，代入得不等式：
$400≤63n-2≤499$
不等式三边同时加2，得$402≤63n≤501$
三边同时除以63，得$\approx6.38≤ n≤\approx7.95$
n为正整数，因此$n=7$。
4. 计算a的值：
将$n=7$代入$a=63n-2$，得$a=63×7-2=441-2=439$。
【答案】
439
【知识点】
整除的性质，公倍数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题的核心突破点是对整除条件进行合理变形，推导出a+2是7和9的公倍数，避免了分别枚举符合两个整除条件的数的繁琐步骤，能有效考查学生对整除性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
