14.【问题探究】如果将直线$y=-6x$向右平移5个单位长度，那么得到的直线对应的函数表达式是什么呢？
我们可以这样思考:在直线$y=-6x$上任意取两点$A(0,0)$和$B(1,-6)$，将点$A(0,0)$和$B(1,-6)$向右平移5个单位长度得到点$C(5,0)$和$D(6,-6)$。设直线$CD$对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$(5,0)$和$(6,-6)$分别代入得到$\begin{cases}5k+b=0, \\6k+b=-6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-6, \\b=30,\end{cases}$所以直线$CD$对应的函数表达式为$y=-6x+30$。
(1)【类比思考】将直线$y=-6x$先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到直线$l$，求直线$l$对应的函数表达式；
(2)【拓展应用】已知直线$m:y=2x+3$与直线$m'$关于$x$轴对称，求直线$m'$对应的函数表达式。

14.解:(1)在直线 $y=-6x$ 上任意取两点 $A(0,0)$ 和 $B(1,-6)$,将点 $A(0,0)$ 和点 $B(1,-6)$ 先向左平移 4 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度,得到点 $C(-4,5)$ 和 $D(-3,-1)$,所以直线 $CD$ 为直线 $l$。设直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=kx+b$,将 $(-4,5)$ 和 $(-3,-1)$ 分别代入,得$\begin{cases}-4k+b=5, \\-3k+b=-1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-6, \\b=-19,\end{cases}$
所以直线 $l$ 对应的函数表达式为 $y=-6x-19$；
(2)在直线 $y=2x+3$ 上任意取两点 $A(0,3)$ 和 $B(1,5)$,则点 $A(0,3)$ 和 $B(1,5)$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $C(0,-3)$ 和 $D(1,-5)$。所以直线 $CD$ 为直线 $m'$。设直线 $m'$ 对应的函数表达式为 $y=mx+n$,将 $(0,-3)$ 和 $(1,-5)$ 分别代入得,$\begin{cases}n=-3, \\m+n=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-2, \\n=-3,\end{cases}$
所以直线 $m'$ 对应的函数表达式为 $y=-2x-3$。

【分析】
(1) 类比题中给出的平移解题思路，先在原直线$y=-6x$上取两个计算方便的点，根据“向左平移横坐标减4，向上平移纵坐标加5”的坐标平移规则，得到平移后对应点的坐标，再利用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，解方程组求出$k$和$b$，即可得到直线$l$的解析式。
(2) 关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此先在直线$m$上取两个易算的点，求出它们关于x轴的对称点坐标，再用待定系数法代入求解，就能得到直线$m'$的解析式。
【解析】
(1) 在直线$y=-6x$上任意取两点$A(0,0)$和$B(1,-6)$，将点$A(0,0)$和点$B(1,-6)$先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到点 $C(-4,5)$ 和 $D(-3,-1)$，所以直线$CD$为直线$l$。
设直线$l$对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$(-4,5)$ 和 $(-3,-1)$ 分别代入，得$\begin{cases}-4k+b=5, \\-3k+b=-1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-6, \\b=-19,\end{cases}$
所以直线$l$对应的函数表达式为$y=-6x-19$。
(2) 在直线$y=2x+3$上任意取两点$A(0,3)$ 和 $B(1,5)$，则点 $A(0,3)$ 和 $B(1,5)$ 关于$x$轴的对称点为点$C(0,-3)$ 和 $D(1,-5)$，所以直线$CD$为直线$m'$。
设直线$m'$对应的函数表达式为$y=mx+n$，将$(0,-3)$ 和 $(1,-5)$ 分别代入得，$\begin{cases}n=-3, \\m+n=-5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-2, \\n=-3,\end{cases}$
所以直线$m'$对应的函数表达式为$y=-2x-3$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-6x-19}$；(2)$\boldsymbol{y=-2x-3}$
【知识点】
一次函数图象变换，待定系数法求解析式，关于x轴对称的坐标特征
【点评】
本题通过给出平移解题的示例，引导学生用取特殊点的方法解决一次函数的平移、轴对称变换问题，将图象变换转化为点的坐标变化，化抽象为具体，解题的核心是熟练掌握坐标变换规则和待定系数法的应用。
【难度系数】
0.7

15. 已知直线 $ l_1: y = kx + b $ 与直线 $ l_2: y = -\frac{1}{2}x + m $ 都经过点 $ E(-\frac{4}{5}, \frac{12}{5}) $，直线 $ l_1 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，与 $ y $ 轴相交于点 $ B(0,4) $；直线 $ l_2 $ 与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，与 $ x $ 轴相交于点 $ D $；$ l_3 // l_1 $ 且经过原点，直线 $ l_3 $ 与直线 $ l_2 $ 相交于点 $ F $。
（第15题）
（1）方程组 $ \begin{cases}y = kx + b, \\ y = -\frac{1}{2}x + m\end{cases}$ 的解为 ______ ；
（2）①求 $ △ OFD $ 的面积；②判断 $ △ AED $ 的形状，并说明理由；
（3）点 $ P $ 为 $ x $ 轴上任意一点，连接 $ PC $，$ PF $，当 $ PF + PC $ 的值最小时，请直接写出点 $ P $ 的坐标。

15.解:(1)$\begin{cases}x=-\frac{4}{5}, \\y=\frac{12}{5};\end{cases}$
(2) ① 把 $(-\frac{4}{5},\frac{12}{5}),(0,4)$ 分别代入 $y=kx+b$,得
$\begin{cases}-\frac{4}{5}k+b=\frac{12}{5}, \\b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2, \\b=4,\end{cases}$
所以直线 $l_1$ 对应的函数表达式为 $y=2x+4$。
因为 $l_3 // l_1$ 且经过原点，
所以直线 $l_3$ 对应的函数表达式为 $y=2x$。
把 $(-\frac{4}{5},\frac{12}{5})$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x+m$ 得，
$\frac{12}{5}=-\frac{1}{2} × (-\frac{4}{5})+m$，
解得 $m=2$，
所以直线 $l_2$ 对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$，
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2, \\y=2x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=\frac{4}{5}, \\y=\frac{8}{5},\end{cases}$
所以点 $F$ 的坐标为 $(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$。
在 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 中,令 $y=0$,则 $-\frac{1}{2}x+2=0$，
解得 $x=4$，
所以点 $D$ 的坐标为 $(4,0)$，
所以 $S_{△ OFD}=\frac{1}{2} × 4 × \frac{8}{5}=\frac{16}{5}$。
②$△ AED$ 为直角三角形。理由如下：
在 $y=2x+4$ 中,令 $y=0$,则 $2x+4=0$,解得 $x=-2$,
所以点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$,
所以 $AE^2=\frac{36}{5},DE^2=\frac{144}{5},AD^2=36$,
所以 $AE^2+DE^2=AD^2$,
所以 $∠ AED=90°$,所以 $△ AED$ 为直角三角形。
(3)$(\frac{4}{9},0)$。

【分析】
（1）根据二元一次方程组的解与对应一次函数图象交点的关系，两个直线的交点坐标就是方程组的解，已知两直线均过点E，直接提取E点坐标即可。
（2）①先用待定系数法，代入已知点坐标分别求出$l_1$、$l_3$、$l_2$的函数解析式；再联立$l_2$和$l_3$的解析式求交点F的坐标，求$l_2$与x轴交点D的坐标，最后用三角形面积公式计算$△ OFD$的面积。
②先求$l_1$与x轴交点A的坐标，再用勾股定理计算$AE^2$、$DE^2$、$AD^2$，根据勾股定理逆定理判断三角形形状。
（3）属于将军饮马最短路径问题，作点C关于x轴的对称点$C'$，直线$C'F$与x轴的交点即为所求P点，求出直线$C'F$的解析式后计算其与x轴的交点坐标即可。
【解析】
(1) 因为直线$l_1$与$l_2$的交点为$E(-\frac{4}{5},\frac{12}{5})$，所以方程组的解为交点坐标：$\begin{cases}x=-\frac{4}{5} \\ y=\frac{12}{5}\end{cases}$。
(2) ① 将$(-\frac{4}{5},\frac{12}{5})$、$(0,4)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-\frac{4}{5}k + b = \frac{12}{5} \\ b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2 \\ b=4\end{cases}$，即$l_1$解析式为$y=2x+4$。
因为$l_3 // l_1$且过原点，所以$l_3$解析式为$y=2x$。
将$E(-\frac{4}{5},\frac{12}{5})$代入$y=-\frac{1}{2}x+m$得：$\frac{12}{5}=-\frac{1}{2}×(-\frac{4}{5})+m$，解得$m=2$，即$l_2$解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2 \\ y=2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{4}{5} \\ y=\frac{8}{5}\end{cases}$，即$F(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$。
在$y=-\frac{1}{2}x+2$中令$y=0$，解得$x=4$，即$D(4,0)$，$OD=4$。
所以$S_{△ OFD}=\frac{1}{2}×OD×y_F=\frac{1}{2}×4×\frac{8}{5}=\frac{16}{5}$。
② $△ AED$为直角三角形，理由如下：
在$y=2x+4$中令$y=0$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
计算各边平方：
$AE^2=(-\frac{4}{5}+2)^2+(\frac{12}{5}-0)^2=\frac{36}{5}$，
$DE^2=(4+\frac{4}{5})^2+(0-\frac{12}{5})^2=\frac{144}{5}$，
$AD^2=(4+2)^2=36$，
可得$AE^2+DE^2=AD^2$，根据勾股定理逆定理得$∠ AED=90°$，故$△ AED$为直角三角形。
(3) 在$y=-\frac{1}{2}x+2$中令$x=0$得$C(0,2)$，其关于x轴的对称点为$C'(0,-2)$。
设直线$C'F$解析式为$y=ax+c$，代入$C'(0,-2)$、$F(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$得$c=-2$，$\frac{4}{5}a-2=\frac{8}{5}$，解得$a=\frac{9}{2}$，即解析式为$y=\frac{9}{2}x-2$。
令$y=0$，解得$x=\frac{4}{9}$，即$P(\frac{4}{9},0)$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=-\frac{4}{5} \\ y=\frac{12}{5}\end{cases}$
(2) ① $\frac{16}{5}$；② $△ AED$是直角三角形
(3) $(\frac{4}{9},0)$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；勾股定理逆定理；最短路径问题
【点评】
本题是一次函数综合题型，融合了一次函数解析式求解、函数与方程组的联系、几何图形面积计算、直角三角形判定和最短路径等多个考点，侧重考查数形结合的解题思想，是初中数学的常考综合类题型。
【难度系数】
0.65