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9. 某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为12元/辆,小型汽车的停车费为5元/辆,现在停车场内停有中、小型汽车共50辆,这些车共缴纳停车费390元,则中、小型汽车各有多少辆？
答案
9. 解:设中型汽车有 $x$ 辆,小型汽车有 $y$ 辆。
根据题意,得
$\begin{cases} x+y=50, \\ 12x+5y=390, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=20, \\ y=30, \end{cases}$
所以中型汽车有 20 辆,小型汽车有 30 辆。
根据题意,得
$\begin{cases} x+y=50, \\ 12x+5y=390, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=20, \\ y=30, \end{cases}$
所以中型汽车有 20 辆,小型汽车有 30 辆。
解析
【分析】
这是一道典型的含两个未知量的实际应用题，解题时首先提取题目中的等量关系：①中型汽车数量+小型汽车数量=总车辆数50辆；②中型汽车总停车费+小型汽车总停车费=总缴费390元。我们可以针对两个未知量分别设未知数，结合上述两个等量关系列出二元一次方程组，再通过消元法求解方程组，即可得到两种汽车的数量。
【解析】
解：设中型汽车有$x$辆，小型汽车有$y$辆。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases} x+y=50 \quad \mathrm{①} \\ 12x+5y=390 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①式变形得：$y=50-x$ ③
将③代入②式得：
$12x+5(50-x)=390$
展开计算得：$12x+250-5x=390$
合并同类项得：$7x=140$
解得：$x=20$
将$x=20$代入③式得：$y=50-20=30$
经检验，结果符合题意。
【答案】
中型汽车有20辆，小型汽车有30辆。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.二元一次方程组的求解
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是准确找准题目中的等量关系，依据等量关系列方程求解即可，是方程应用模块的常考基础题型，需要熟练掌握这类题型的解题思路。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的含两个未知量的实际应用题，解题时首先提取题目中的等量关系：①中型汽车数量+小型汽车数量=总车辆数50辆；②中型汽车总停车费+小型汽车总停车费=总缴费390元。我们可以针对两个未知量分别设未知数，结合上述两个等量关系列出二元一次方程组，再通过消元法求解方程组，即可得到两种汽车的数量。
【解析】
解：设中型汽车有$x$辆，小型汽车有$y$辆。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases} x+y=50 \quad \mathrm{①} \\ 12x+5y=390 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①式变形得：$y=50-x$ ③
将③代入②式得：
$12x+5(50-x)=390$
展开计算得：$12x+250-5x=390$
合并同类项得：$7x=140$
解得：$x=20$
将$x=20$代入③式得：$y=50-20=30$
经检验，结果符合题意。
【答案】
中型汽车有20辆，小型汽车有30辆。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.二元一次方程组的求解
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是准确找准题目中的等量关系，依据等量关系列方程求解即可，是方程应用模块的常考基础题型，需要熟练掌握这类题型的解题思路。
【难度系数】
0.8
10. 李大伯家养鸡、鸭、鹅三种家禽，所养的鸡和鸭的只数和比鹅的只数多19，养鸭和鹅共20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算李大伯家养鸡、鸭、鹅各多少只。
答案
10. 解:设李大伯家养鸡 $x$ 只、鸭 $y$ 只、鹅 $z$ 只,根据题意,得
$\begin{cases} x+y=z+19, \\ y+z=20, \\ x+z=23, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=15, \\ y=12, \\ z=8, \end{cases}$
所以李大伯家养鸡 15 只、鸭 12 只、鹅 8 只。
$\begin{cases} x+y=z+19, \\ y+z=20, \\ x+z=23, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=15, \\ y=12, \\ z=8, \end{cases}$
所以李大伯家养鸡 15 只、鸭 12 只、鹅 8 只。
解析
【分析】
这是一道利用方程组求解的实际应用题，解题思路如下：首先明确有鸡、鸭、鹅的只数3个未知量，因此可以设3个未知数；其次从题干中提取3组对应的等量关系：①鸡的只数+鸭的只数=鹅的只数+19，②鸭的只数+鹅的只数=20，③鸡的只数+鹅的只数=23；再根据等量关系列出三元一次方程组，最后用代入消元法，将后两个方程变形为用鹅的只数表示鸡、鸭只数的形式，代入第一个方程先求出鹅的数量，再依次计算鸡和鸭的数量即可。
【解析】
解：设李大伯家养鸡$x$只、鸭$y$只、鹅$z$只，根据题意列方程组得：
$\begin{cases} x+y=z+19 \quad \mathrm{(1)} \\ y+z=20 \quad \quad \mathrm{(2)} \\ x+z=23 \quad \quad \mathrm{(3)} \end{cases}$
由方程(2)变形得：$y=20-z$ $\quad$ (4)
由方程(3)变形得：$x=23-z$ $\quad$ (5)
将(4)(5)代入方程(1)得：
$(23-z)+(20-z)=z+19$
整理得：$43-2z=z+19$
移项合并同类项得：$3z=24$，解得$z=8$
把$z=8$代入(5)得：$x=23-8=15$
把$z=8$代入(4)得：$y=20-8=12$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=15 \\ y=12 \\ z=8 \end{cases}$
【答案】
李大伯家养鸡15只、鸭12只、鹅8只。
【知识点】
三元一次方程组的应用，代入消元法
【点评】
本题是基础的方程类实际应用题，解题核心是准确将文字描述的数量关系转化为数学方程，再通过消元法求解即可，主要考察学生的信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
这是一道利用方程组求解的实际应用题，解题思路如下：首先明确有鸡、鸭、鹅的只数3个未知量，因此可以设3个未知数；其次从题干中提取3组对应的等量关系：①鸡的只数+鸭的只数=鹅的只数+19，②鸭的只数+鹅的只数=20，③鸡的只数+鹅的只数=23；再根据等量关系列出三元一次方程组，最后用代入消元法，将后两个方程变形为用鹅的只数表示鸡、鸭只数的形式，代入第一个方程先求出鹅的数量，再依次计算鸡和鸭的数量即可。
【解析】
解：设李大伯家养鸡$x$只、鸭$y$只、鹅$z$只，根据题意列方程组得：
$\begin{cases} x+y=z+19 \quad \mathrm{(1)} \\ y+z=20 \quad \quad \mathrm{(2)} \\ x+z=23 \quad \quad \mathrm{(3)} \end{cases}$
由方程(2)变形得：$y=20-z$ $\quad$ (4)
由方程(3)变形得：$x=23-z$ $\quad$ (5)
将(4)(5)代入方程(1)得：
$(23-z)+(20-z)=z+19$
整理得：$43-2z=z+19$
移项合并同类项得：$3z=24$，解得$z=8$
把$z=8$代入(5)得：$x=23-8=15$
把$z=8$代入(4)得：$y=20-8=12$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=15 \\ y=12 \\ z=8 \end{cases}$
【答案】
李大伯家养鸡15只、鸭12只、鹅8只。
【知识点】
三元一次方程组的应用，代入消元法
【点评】
本题是基础的方程类实际应用题，解题核心是准确将文字描述的数量关系转化为数学方程，再通过消元法求解即可，主要考察学生的信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
11.【数学应用】为进一步打造宜居城市，某区拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉P到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间的距离的一半，A，B，C的位置如图所示。请利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，并说明理由。
答案
11. 解:如图,连接 $AB$,作 $AB$ 的垂直平分线,以点 $C$ 为圆心,以 $AB$ 长的一半为半径画弧交 $AB$ 的垂直平分线于点 $M$ 即可。
易得点 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上,且到点 $C$ 的距离等于 $AB$ 的一半。
解析
【分析】
解题时可将题目要求拆分为两个独立的条件逐步分析：①要求点M到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的所有点都在线段AB的垂直平分线上，因此首先需要作出AB的垂直平分线；②要求点M到C的距离等于AB长度的一半，根据圆的定义，满足该条件的所有点都在以C为圆心、AB长的一半为半径的圆上。两个条件的公共交点即为符合要求的音乐喷泉M的位置。
【解析】
作图步骤：
1. 用直尺连接A、B两点；
2. 用尺规作出线段AB的垂直平分线；
3. 以点C为圆心，以$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，该弧与AB的垂直平分线的交点即为点M。
理由：
因为点M在AB的垂直平分线上，所以$MA=MB$；又因为所作弧的半径为$\frac{1}{2}AB$，所以$MC=\frac{1}{2}AB$，完全满足题目的要求。
【答案】
如图,连接 $AB$,作 $AB$ 的垂直平分线,以点 $C$ 为圆心,以 $AB$ 长的一半为半径画弧交 $AB$ 的垂直平分线于点 $M$ 即可。
易得点 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上,且到点 $C$ 的距离等于 $AB$ 的一半。
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 圆的定义
3. 尺规作图
【点评】
本题属于几何作图的典型应用，核心解题思路是将多个约束条件转化为对应的几何轨迹，通过轨迹的交点确定所求点的位置，能够有效考查学生对几何性质的应用能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
解题时可将题目要求拆分为两个独立的条件逐步分析：①要求点M到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的所有点都在线段AB的垂直平分线上，因此首先需要作出AB的垂直平分线；②要求点M到C的距离等于AB长度的一半，根据圆的定义，满足该条件的所有点都在以C为圆心、AB长的一半为半径的圆上。两个条件的公共交点即为符合要求的音乐喷泉M的位置。
【解析】
作图步骤：
1. 用直尺连接A、B两点；
2. 用尺规作出线段AB的垂直平分线；
3. 以点C为圆心，以$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，该弧与AB的垂直平分线的交点即为点M。
理由：
因为点M在AB的垂直平分线上，所以$MA=MB$；又因为所作弧的半径为$\frac{1}{2}AB$，所以$MC=\frac{1}{2}AB$，完全满足题目的要求。
【答案】
如图,连接 $AB$,作 $AB$ 的垂直平分线,以点 $C$ 为圆心,以 $AB$ 长的一半为半径画弧交 $AB$ 的垂直平分线于点 $M$ 即可。
易得点 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上,且到点 $C$ 的距离等于 $AB$ 的一半。
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 圆的定义
3. 尺规作图
【点评】
本题属于几何作图的典型应用，核心解题思路是将多个约束条件转化为对应的几何轨迹，通过轨迹的交点确定所求点的位置，能够有效考查学生对几何性质的应用能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
