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4.如图,一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东$30°$的方向,轮船沿着北偏东$60°$的方向航行16 km后到达B处,这时灯塔P在船的北偏西$75°$的方向。则灯塔P与B之间的距离为
$(8\sqrt{6}-8\sqrt{2})$
km(结果保留根号)。答案
4. $(8\sqrt{6}-8\sqrt{2})$
解析
【分析】
解题时先结合方向角的定义求出△ABP的两个内角∠PAB、∠ABP的度数，考虑到斜三角形无法直接用解直角三角形的知识计算边长，我们通过过点P作AB的垂线，将原三角形分割为两个含特殊角的直角三角形，设公共高为未知量，用含未知量的代数式分别表示出AB被垂足分成的两条线段长，结合AB的总长度列方程求出高，最后根据直角三角形的边角关系求出PB的长度即可。
【解析】
过点P作$PH ⊥ AB$于点H，
由题意得：$∠ PAB = 60° - 30° = 30°$，
因为A、B两点的正北方向互相平行，同旁内角互补，因此$∠ ABP = 180° - 60° - 75° = 45°$，
设$PH = x \mathrm{ km}$：
1. 在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PBH=45°$，因此$△ PHB$为等腰直角三角形，可得$BH=PH=x$，$PB=\sqrt{2}x$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ PHA$中，$∠ PAH=30°$，由$\tan 30° = \frac{PH}{AH}$，可得$AH=\frac{PH}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$；
由$AB=AH+BH=16\mathrm{ km}$，列方程：
$\sqrt{3}x + x = 16$
解得$x=\frac{16}{\sqrt{3}+1}=\frac{16(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=8(\sqrt{3}-1)$，
因此$PB=\sqrt{2}x=\sqrt{2} × 8(\sqrt{3}-1)=8\sqrt{6}-8\sqrt{2}$。
【答案】
$8\sqrt{6}-8\sqrt{2}$
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，二次根式的化简
【点评】
本题是解直角三角形在航海方向问题中的典型应用，解题核心是通过作高将斜三角形转化为熟悉的特殊直角三角形，结合方程思想求解未知量，易错点是对方向角的概念理解错误、特殊角三角函数值记错以及二次根式化简时计算出错。
【难度系数】
0.6
解题时先结合方向角的定义求出△ABP的两个内角∠PAB、∠ABP的度数，考虑到斜三角形无法直接用解直角三角形的知识计算边长，我们通过过点P作AB的垂线，将原三角形分割为两个含特殊角的直角三角形，设公共高为未知量，用含未知量的代数式分别表示出AB被垂足分成的两条线段长，结合AB的总长度列方程求出高，最后根据直角三角形的边角关系求出PB的长度即可。
【解析】
过点P作$PH ⊥ AB$于点H，
由题意得：$∠ PAB = 60° - 30° = 30°$，
因为A、B两点的正北方向互相平行，同旁内角互补，因此$∠ ABP = 180° - 60° - 75° = 45°$，
设$PH = x \mathrm{ km}$：
1. 在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PBH=45°$，因此$△ PHB$为等腰直角三角形，可得$BH=PH=x$，$PB=\sqrt{2}x$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ PHA$中，$∠ PAH=30°$，由$\tan 30° = \frac{PH}{AH}$，可得$AH=\frac{PH}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$；
由$AB=AH+BH=16\mathrm{ km}$，列方程：
$\sqrt{3}x + x = 16$
解得$x=\frac{16}{\sqrt{3}+1}=\frac{16(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=8(\sqrt{3}-1)$，
因此$PB=\sqrt{2}x=\sqrt{2} × 8(\sqrt{3}-1)=8\sqrt{6}-8\sqrt{2}$。
【答案】
$8\sqrt{6}-8\sqrt{2}$
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，二次根式的化简
【点评】
本题是解直角三角形在航海方向问题中的典型应用，解题核心是通过作高将斜三角形转化为熟悉的特殊直角三角形，结合方程思想求解未知量，易错点是对方向角的概念理解错误、特殊角三角函数值记错以及二次根式化简时计算出错。
【难度系数】
0.6
1. 如图,在一次夏令营活动中,小莹同学从营地A点出发,要到距离A点10 km的C地去,先沿北偏东$70°$方向走了8 km到达B地,然后再从B地走了6 km到达目的地C,此时小莹在B地的(
A.北偏东$20°$方向上
B.北偏西$20°$方向上
C.北偏西$30°$方向上
D.西偏北$30°$方向上
B
)。A.北偏东$20°$方向上
B.北偏西$20°$方向上
C.北偏西$30°$方向上
D.西偏北$30°$方向上
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先整理题干的边长条件：AB=8km，BC=6km，AC=10km，首先观察三边长度符合勾股数特征，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，确定直角的位置。再结合方向角的定义，先明确AB对应的方向角度，利用平行线的性质和直角的角度关系，最终推算出C点相对于B点的方向角即可。
【解析】
1. 判定△ABC的形状
已知$AB=8\mathrm{km}$，$BC=6\mathrm{km}$，$AC=10\mathrm{km}$，计算得：
$AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AC^2$
根据勾股定理逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 分析AB的方向角关系
已知从A沿北偏东$70°$方向走到B，说明A点的正北方向与射线AB的夹角为$70°$。
由于所有正北方向的直线互相平行，过B点作正北方向的直线，根据平行线的性质可得：从B点看A点的方向为南偏西$70°$，即射线BA与B点正南方向的夹角为$70°$。
3. 计算C相对于B的方向角
因为$∠ ABC=90°$，即射线BC与射线BA的夹角为$90°$，因此射线BC与B点正北方向的夹角为$90°-70°=20°$，结合位置关系可知C在B的北偏西$20°$方向上。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，方向角，平行线的性质
【点评】
本题结合实际场景考查直角三角形的判定和方向角的计算，解题的关键是先通过边长特征确定直角，再结合方向角的定义推导角度，解题时要注意方向角的描述规则，避免搞反偏角的方向。
【难度系数】
0.7
解题时先整理题干的边长条件：AB=8km，BC=6km，AC=10km，首先观察三边长度符合勾股数特征，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，确定直角的位置。再结合方向角的定义，先明确AB对应的方向角度，利用平行线的性质和直角的角度关系，最终推算出C点相对于B点的方向角即可。
【解析】
1. 判定△ABC的形状
已知$AB=8\mathrm{km}$，$BC=6\mathrm{km}$，$AC=10\mathrm{km}$，计算得：
$AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AC^2$
根据勾股定理逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 分析AB的方向角关系
已知从A沿北偏东$70°$方向走到B，说明A点的正北方向与射线AB的夹角为$70°$。
由于所有正北方向的直线互相平行，过B点作正北方向的直线，根据平行线的性质可得：从B点看A点的方向为南偏西$70°$，即射线BA与B点正南方向的夹角为$70°$。
3. 计算C相对于B的方向角
因为$∠ ABC=90°$，即射线BC与射线BA的夹角为$90°$，因此射线BC与B点正北方向的夹角为$90°-70°=20°$，结合位置关系可知C在B的北偏西$20°$方向上。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理，方向角，平行线的性质
【点评】
本题结合实际场景考查直角三角形的判定和方向角的计算，解题的关键是先通过边长特征确定直角，再结合方向角的定义推导角度，解题时要注意方向角的描述规则，避免搞反偏角的方向。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知楼房AB高为100 m，铁塔塔基距楼房的水平距离BD为$100\sqrt{3}$ m，塔
高CD为$(100 + 100\sqrt{3})$ m，则下面结论中正确的是(
A.由楼顶望塔顶仰角为$45°$
B.由楼顶望塔基俯角为$45°$
C.由楼顶望塔顶仰角为$30°$
D.由楼顶望塔基俯角为$60°$
高CD为$(100 + 100\sqrt{3})$ m，则下面结论中正确的是(
A
)。A.由楼顶望塔顶仰角为$45°$
B.由楼顶望塔基俯角为$45°$
C.由楼顶望塔顶仰角为$30°$
D.由楼顶望塔基俯角为$60°$
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道解直角三角形中仰角、俯角的实际应用问题，解题思路如下：第一步，过点A作AE⊥CD于E，构造出两个直角三角形Rt△ACE和Rt△ADE，其中AE的长度等于水平距离BD，DE的长度等于楼房AB的高度；第二步，先计算出CE的长度，再通过正切函数计算楼顶望塔顶的仰角大小；第三步，同理计算楼顶望塔基的俯角大小，逐一对比选项得出正确答案。
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E，易得四边形ABDE是矩形。
∴AE=BD=$100\sqrt{3}$ m，DE=AB=100 m
CE = CD - DE = $(100+100\sqrt{3}) - 100 = 100\sqrt{3}$ m
① 求楼顶望塔顶的仰角∠CAE：
在Rt△ACE中，$\tan∠ CAE = \frac{CE}{AE} = \frac{100\sqrt{3}}{100\sqrt{3}} = 1$
∵$\tan45°=1$，且∠CAE为锐角，
∴$∠ CAE=45°$，即仰角为$45°$，故A正确，C错误。
② 求楼顶望塔基的俯角：
俯角等于∠DAE，在Rt△ADE中，$\tan∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{100}{100\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且∠DAE为锐角，
∴$∠ DAE=30°$，即俯角为$30°$，故B、D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用；仰角俯角概念；特殊角三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，解题关键是通过作垂直辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度、角度转化为直角三角形的边角关系计算，只要掌握仰角俯角定义和特殊角的三角函数值即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形中仰角、俯角的实际应用问题，解题思路如下：第一步，过点A作AE⊥CD于E，构造出两个直角三角形Rt△ACE和Rt△ADE，其中AE的长度等于水平距离BD，DE的长度等于楼房AB的高度；第二步，先计算出CE的长度，再通过正切函数计算楼顶望塔顶的仰角大小；第三步，同理计算楼顶望塔基的俯角大小，逐一对比选项得出正确答案。
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为E，易得四边形ABDE是矩形。
∴AE=BD=$100\sqrt{3}$ m，DE=AB=100 m
CE = CD - DE = $(100+100\sqrt{3}) - 100 = 100\sqrt{3}$ m
① 求楼顶望塔顶的仰角∠CAE：
在Rt△ACE中，$\tan∠ CAE = \frac{CE}{AE} = \frac{100\sqrt{3}}{100\sqrt{3}} = 1$
∵$\tan45°=1$，且∠CAE为锐角，
∴$∠ CAE=45°$，即仰角为$45°$，故A正确，C错误。
② 求楼顶望塔基的俯角：
俯角等于∠DAE，在Rt△ADE中，$\tan∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{100}{100\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且∠DAE为锐角，
∴$∠ DAE=30°$，即俯角为$30°$，故B、D错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用；仰角俯角概念；特殊角三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，解题关键是通过作垂直辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度、角度转化为直角三角形的边角关系计算，只要掌握仰角俯角定义和特殊角的三角函数值即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3.一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行30 km到达点C处，然后沿北偏西$60°$方向航行20 km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东$60°$方向，则小岛A与出发点B之间的距离为(
A.$20\sqrt{3}$ km
B.$(10\sqrt{3}+20)$ km
C.$(10\sqrt{3}+10)$ km
D.$(20\sqrt{3}+10)$ km
B
)。A.$20\sqrt{3}$ km
B.$(10\sqrt{3}+20)$ km
C.$(10\sqrt{3}+10)$ km
D.$(20\sqrt{3}+10)$ km
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道方位角背景下解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先利用AB与BC垂直的位置关系，作辅助线构造矩形和直角三角形，将所求AB的长度拆分为两段分别计算；先根据CD的长度和北偏西60°的方位角，用三角函数求出D点相对于C点的水平、竖直位移；结合BC的长度得到D点到AB的水平距离，再利用A在D北偏东60°的方位角，在直角三角形中求出A点相对于D点的竖直高度；最后将两段竖直长度相加即可得到AB的总长度。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ BC$于点F，
$\because AB⊥ BC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形DEBF是矩形，
$\therefore DE=BF$，$DF=BE$。
在$Rt△ CDF$中，$CD=20\ \mathrm{km}$，CD为北偏西$60°$方向，即$∠ CDF=60°$，
$\therefore CF=CD·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$，
$DF=CD·\cos60°=20×\frac{1}{2}=10\ \mathrm{km}$，
$\therefore BE=DF=10\ \mathrm{km}$，$DE=BF=BC+CF=30+10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
在$Rt△ ADE$中，A在D北偏东$60°$方向，即$∠ ADE=60°$，
$\because \tan∠ ADE=\frac{DE}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{DE}{\tan60°}=\frac{30+10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}+10\ \mathrm{km}$。
$\therefore AB=AE+BE=10\sqrt{3}+10+10=(10\sqrt{3}+20)\ \mathrm{km}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题核心是结合方位角构造直角三角形求解边长，解题的关键是找准直角三角形中角和边的对应关系，将不规则图形的边长转化为直角三角形的可求边长，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道方位角背景下解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先利用AB与BC垂直的位置关系，作辅助线构造矩形和直角三角形，将所求AB的长度拆分为两段分别计算；先根据CD的长度和北偏西60°的方位角，用三角函数求出D点相对于C点的水平、竖直位移；结合BC的长度得到D点到AB的水平距离，再利用A在D北偏东60°的方位角，在直角三角形中求出A点相对于D点的竖直高度；最后将两段竖直长度相加即可得到AB的总长度。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ BC$于点F，
$\because AB⊥ BC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
$\therefore$ 四边形DEBF是矩形，
$\therefore DE=BF$，$DF=BE$。
在$Rt△ CDF$中，$CD=20\ \mathrm{km}$，CD为北偏西$60°$方向，即$∠ CDF=60°$，
$\therefore CF=CD·\sin60°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$，
$DF=CD·\cos60°=20×\frac{1}{2}=10\ \mathrm{km}$，
$\therefore BE=DF=10\ \mathrm{km}$，$DE=BF=BC+CF=30+10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$。
在$Rt△ ADE$中，A在D北偏东$60°$方向，即$∠ ADE=60°$，
$\because \tan∠ ADE=\frac{DE}{AE}$，
$\therefore AE=\frac{DE}{\tan60°}=\frac{30+10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}+10\ \mathrm{km}$。
$\therefore AB=AE+BE=10\sqrt{3}+10+10=(10\sqrt{3}+20)\ \mathrm{km}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题核心是结合方位角构造直角三角形求解边长，解题的关键是找准直角三角形中角和边的对应关系，将不规则图形的边长转化为直角三角形的可求边长，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4.某数学小组的三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100 m的点A处。如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5 s。经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上。此时BC=
$100\sqrt{3}-100$
m，这段公路最高限速60 km/h，此车没有超速
（填“超速”或“没有超速”）。（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$）答案
4. $(100\sqrt{3}-100)$，没有超速
解析
【分析】
这是一道解直角三角形在实际问题中的应用题，解题思路如下：1. 过点A作公路l的垂线，构造两个直角三角形，垂线段长度就是A到公路的距离100m；2. 根据方位角得到两个直角三角形的锐角分别为45°和60°，利用特殊角的三角函数值分别求出B、C两点到垂足的距离，两者作差即可得到BC的长度；3. 根据路程和行驶时间计算车速，注意统一单位后与限速比较，判断是否超速。
【解析】
过点A作$AD⊥$直线$l$，垂足为$D$，由题意可知$AD=100\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=45°$：
$BD=AD·\tan45°=100×1=100\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=60°$：
$CD=AD·\tan60°=100×\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
因此$BC=CD-BD=(100\sqrt{3}-100)\ \mathrm{m}\approx100×1.732-100=73.2\ \mathrm{m}$。
小汽车行驶速度$v=\frac{s}{t}=\frac{73.2\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}}=14.64\ \mathrm{m/s}$，转换单位得：
$14.64\ \mathrm{m/s}=14.64×3.6\ \mathrm{km/h}\approx52.7\ \mathrm{km/h}＜60\ \mathrm{km/h}$，因此此车没有超速。
【答案】
$100\sqrt{3}-100$；没有超速
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；单位换算
【点评】
本题结合实际测速场景考查解直角三角形的应用，解题关键是正确作辅助线构造直角三角形，熟练运用特殊角的三角函数值计算边长，同时要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形在实际问题中的应用题，解题思路如下：1. 过点A作公路l的垂线，构造两个直角三角形，垂线段长度就是A到公路的距离100m；2. 根据方位角得到两个直角三角形的锐角分别为45°和60°，利用特殊角的三角函数值分别求出B、C两点到垂足的距离，两者作差即可得到BC的长度；3. 根据路程和行驶时间计算车速，注意统一单位后与限速比较，判断是否超速。
【解析】
过点A作$AD⊥$直线$l$，垂足为$D$，由题意可知$AD=100\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD=45°$：
$BD=AD·\tan45°=100×1=100\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ CAD=60°$：
$CD=AD·\tan60°=100×\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
因此$BC=CD-BD=(100\sqrt{3}-100)\ \mathrm{m}\approx100×1.732-100=73.2\ \mathrm{m}$。
小汽车行驶速度$v=\frac{s}{t}=\frac{73.2\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}}=14.64\ \mathrm{m/s}$，转换单位得：
$14.64\ \mathrm{m/s}=14.64×3.6\ \mathrm{km/h}\approx52.7\ \mathrm{km/h}＜60\ \mathrm{km/h}$，因此此车没有超速。
【答案】
$100\sqrt{3}-100$；没有超速
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；单位换算
【点评】
本题结合实际测速场景考查解直角三角形的应用，解题关键是正确作辅助线构造直角三角形，熟练运用特殊角的三角函数值计算边长，同时要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
