5.某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路。甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得$AC=840\ \mathrm{m},BC=500\ \mathrm{m}$,则点O到BC的距离为 m。(参考数据:$\sin 73.7°\approx\frac{24}{26},\cos 73.7°\approx\frac{7}{25},\tan 73.7°\approx\frac{24}{7}$)

5. 480

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解决这类问题的通用思路是通过作垂线构造直角三角形，将已知方向角转化为直角三角形的内角，再结合矩形的性质找到边的等量关系，最后利用三角函数列方程求解。具体步骤为：首先过点O向两条互相垂直的公路作垂线，得到矩形和两个直角三角形；设所求距离为未知数，用含未知数的式子表示出相关边的长度；结合45°角的等腰直角三角形性质和73.7°角的正切值找到等量关系，列方程求解即可。
【解析】
过点O作$OM ⊥ BC$于点M，$ON ⊥ AC$于点N，
$\because ∠ C=90°$，$\therefore$ 四边形ONCM是矩形，$\therefore ON=MC$，$OM=NC$。
设点O到BC的距离$OM=x\ \mathrm{m}$，则$NC=OM=x$，
$\therefore AN=AC-NC=840-x$。
$\because$ 在A处测得点O位于北偏东$45°$，$\therefore ∠ OAN=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ANO$中，$∠ ANO=90°$，$\therefore ON=AN=840-x$。
$\because$ 在B处测得点O位于南偏西$73.7°$，$\therefore ∠ OBM=73.7°$，
在$\mathrm{Rt}△ BMO$中，$∠ OMB=90°$，$\tan∠ OBM=\frac{OM}{BM}$，
$\therefore BM=\frac{OM}{\tan73.7°}\approx \frac{x}{\frac{24}{7}}=\frac{7x}{24}$。
又$\because BC=BM+MC=500\ \mathrm{m}$，$MC=ON=840-x$，
$\therefore \frac{7x}{24} + (840 - x) = 500$，
解方程得：
$\frac{7x}{24} + 840 - x = 500$
$x - \frac{7x}{24} = 840 - 500$
$\frac{17x}{24} = 340$
$x=480$
【答案】
480
【知识点】
解直角三角形的应用，方向角问题，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，将几何性质和三角函数、方程思想结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，准确识别方向角对应的直角三角形内角，找到边之间的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6

6.如图,港口B位于港口A的北偏西$37°$方向,港口C位于港口A的北偏东$21°$方向,港口C位于港口B的北偏东$76°$方向。一艘海轮从港口A出发,沿正北方向航行。已知港口B到航线的距离为24 km,求港口C到航线的距离。
(参考数据:$\tan 21° \approx \frac{8}{21}$,$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$,$\tan 76° \approx 4$)

6. 港口 C 到航线的距离为 16 km。

【分析】
要解决本题，首先明确航线是港口A出发的正北方向，港口C到航线的距离就是C到这条正北直线的垂线段长度。解题思路如下：
1. 构造辅助线：分别过B、C作正北航线的垂线，得到两个直角三角形Rt△ABE和Rt△AFC；
2. 先利用港口B到航线的距离24km，结合∠BAE=37°的正切值，求出B点到A点的竖直距离AE；
3. 设港口C到航线的距离为x，结合∠CAF=21°的正切值，用x表示出C点到A点的竖直距离AF；
4. 根据“港口C位于港口B的北偏东76°”的方位角条件，得到BC的水平位移和竖直位移的比值等于tan76°，列方程求解即可。
【解析】
解：设港口A出发的正北方向（航线）为直线AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，由题意得BE=24km，设CF=x km，即为所求的港口C到航线的距离。
1. 在$Rt△ ABE$中，$∠ BAE=37°$，$∠ AEB=90°$：
$\tan37°=\frac{BE}{AE}$，代入$\tan37°\approx\frac{3}{4}$，$BE=24km$，
得$AE=\frac{BE}{\tan37°}\approx\frac{24}{\frac{3}{4}}=32km$。
2. 在$Rt△ AFC$中，$∠ CAF=21°$，$∠ AFC=90°$：
$\tan21°=\frac{CF}{AF}$，代入$\tan21°\approx\frac{8}{21}$，$CF=x km$，
得$AF=\frac{CF}{\tan21°}\approx\frac{x}{\frac{8}{21}}=\frac{21x}{8}km$。
3. 由港口C位于港口B的北偏东$76°$可知，BC的水平向东位移为$x+24$km，竖直向北位移为$\frac{21x}{8}-32$km：
$\tan76°=\frac{\mathrm{水平向东位移}}{\mathrm{竖直向北位移}}=\frac{x+24}{\frac{21x}{8}-32}$，代入$\tan76°\approx4$，
得方程：$\frac{x+24}{\frac{21x}{8}-32}=4$，
解方程：
$x+24=4×(\frac{21x}{8}-32)$
$x+24=\frac{21x}{2}-128$
$\frac{19x}{2}=152$
$x=16$
【答案】
港口C到航线的距离为16 km。
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；直角三角形边角关系
【点评】
本题结合方位角考查解直角三角形的实际应用，解题关键是准确理解方位角的含义，合理构造直角三角形，利用三角函数建立等量关系求解，对识图能力和方程思想有一定要求。
【难度系数】
0.65

7.如图,一棵大树 HB 由于风力所致,在 A处断裂,断裂后大树的顶端落在地面上的G处,大树 AB 段在地面上的影长 BC 为2.8 m,此时站在地面上的小莹身高 DE为 1.7 m,同一时刻落在地面上的影长EF 为 0.85 m,小莹用测倾仪测得∠AGB=53.3°,已知 AB ⊥ GF,DE ⊥GF,G,B,C,E,F 在同一直线上,请根据以上数据估算大树 HB 的高度(结果保留一位小数)。(参考数据:sin 53.3°≈0.80,cos 53.3°≈0.60,tan 53.3°≈1.34)

7. 解：根据题意可得 $∠ ABG = 90°$，$△ ABC ∽ △ DEF$。
所以 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
所以 $AB=\frac{BC · DE}{EF}=\frac{2.8 × 1.7}{0.85}=5.6(\mathrm{m})$。
在 $△ ABG$ 中，$AG=\frac{AB}{\sin ∠ AGB} \approx \frac{5.6}{0.8}=7\ \mathrm{m}$，
所以 $HB=HA+AB=AG+AB \approx 7+5.6=12.6(\mathrm{m})$。
即大树 HB 的高度约为 12.6 m。

【分析】
解题时先利用“同一时刻，物体高度与影长成正比”的原理，判定△ABC与△DEF相似，通过相似三角形的性质先求出竖直段AB的长度；再结合大树断裂后AG=AH的关系，将求HB的高度转化为求AG+AB的长度，在Rt△ABG中，已知∠AGB的度数和AB的长度，选择合适的锐角三角函数求出AG的长度，最后相加即可得到大树的总高度。
【解析】
解：由题意可知AB⊥GF，DE⊥GF，因此∠ABC=∠DEF=90°，同一时刻光线照射角度相同，故△ABC∽△DEF。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
代入数据计算AB：$AB=\frac{BC · DE}{EF}=\frac{2.8 × 1.7}{0.85}=5.6\ \mathrm{m}$
在Rt△ABG中，∠ABG=90°，∠AGB=53.3°，由正弦函数的定义$\sin∠ AGB=\frac{AB}{AG}$可得：
$AG=\frac{AB}{\sin∠ AGB}\approx\frac{5.6}{0.80}=7\ \mathrm{m}$
因为大树断裂后AH与AG长度相等，所以大树总高度$HB=HA+AB=AG+AB\approx7+5.6=12.6\ \mathrm{m}$
【答案】
大树HB的高度约为12.6 m
【知识点】
相似三角形的应用，锐角三角函数，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题将相似三角形与解直角三角形结合，考查实际问题中高度的计算，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，先通过相似求出AB的长度，再利用三角函数求出断裂部分的长度，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7

8.我们在物理学科中有过这样一个概念:光线从空气射入水中会发生折射现象(如图①),我们把 $ n = \frac{\sin α}{\sin β} $ 称为折射率(其中α代表入射角,β代表折射角)。
观察实验
为了观察光线的折射现象,设计了图②所示的实验,即通过细管MN可以看见水底的物块C,但不在细管MN所在直线上,图③是实验的示意图,四边形ABFE为矩形,点A,C,B在同一直线上,测得BF=12 cm,DF=16 cm。
(1)入射角α的度数为;
(2)若BC=7 cm,则光线从空气射入水中的折射率n=。
(参考数据:$\sin 53° \approx \frac{4}{5}$,$\cos 53° \approx \frac{3}{5}$,$\tan 53° \approx \frac{4}{3}$)

8. (1)$53°$ (2)$\frac{4}{3}$

【分析】
(1) 要求入射角α的度数，首先明确入射角是入射光线与法线的夹角，法线与水面垂直，因此△BFD为直角三角形，已知两条直角边BF=12cm、DF=16cm，可先计算α的正切值，再结合参考数据即可得到α的度数。
(2) 要求折射率n，需先分别求出sinα和sinβ的值：sinα可由第一问得到的α直接计算；再结合矩形的性质和锐角三角函数的定义求出折射角β的正弦值，最后代入折射率公式$n=\frac{\sinα}{\sinβ}$计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，法线垂直于水面，故$∠ BFD=90°$，在$Rt△ BFD$中，$BF=12\mathrm{cm}$，$DF=16\mathrm{cm}$，
$\therefore \tanα = \frac{DF}{BF} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$，
又$\because \tan53°\approx \frac{4}{3}$，
$\therefore α=53°$。
(2) 由(1)得$α=53°$，故$\sinα=\sin53°\approx \frac{4}{5}$。
因为四边形ABFE为矩形，AB与BF垂直，法线与BF共线，折射光线BC与AB共线，因此折射角β的正弦值为$\sinβ=\cos53°\approx \frac{3}{5}$。
将$\sinα=\frac{4}{5}$、$\sinβ=\frac{3}{5}$代入折射率公式得：
$n=\frac{\sinα}{\sinβ}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)$53°$；(2)$\frac{4}{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合物理中的光的折射现象考查解直角三角形的应用，解题关键是明确入射角、折射角的定义，灵活运用锐角三角函数的定义计算对应角的三角函数值，体现了跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.7