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9.公元前二世纪我国就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:"取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣"。如图①所示,其工作方法主要是利用了光的反射原理。
(1)如图②,AB呈水平状态,若入射角$∠ BCD=41°$,$∠ CAE=37°$(已知入射角等于反射角,图中$CD$,$AE$均为法线,即$CD ⊥$镜面,$AE ⊥ AB$),求$∠ ABC$的度数;
(2)在(1)的条件下,若$AB=11.2\ \mathrm{m}$,求点$C$到$AB$的距离(精确到$0.1\ \mathrm{m}$)。(参考数据:$\sin 37° \approx 0.60$,$\cos 37° \approx 0.80$,$\tan 37° \approx 0.75$)
(1)如图②,AB呈水平状态,若入射角$∠ BCD=41°$,$∠ CAE=37°$(已知入射角等于反射角,图中$CD$,$AE$均为法线,即$CD ⊥$镜面,$AE ⊥ AB$),求$∠ ABC$的度数;
(2)在(1)的条件下,若$AB=11.2\ \mathrm{m}$,求点$C$到$AB$的距离(精确到$0.1\ \mathrm{m}$)。(参考数据:$\sin 37° \approx 0.60$,$\cos 37° \approx 0.80$,$\tan 37° \approx 0.75$)
答案
9. 解:(1)由题意可得，$∠ BCD = ∠ ACD = 41°$，
所以 $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 82°$。
因为 $AE ⊥ AB$，
所以 $∠ BAE = 90°$。
所以 $∠ BAC = ∠ BAE - ∠ CAE = 53°$。
所以 $∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 45°$。
(2)如图,过点 C 作 $CH ⊥ AB$ 于点 H,设 $CH = x\ \mathrm{m}$，
因为 $CH ⊥ AB$，
所以 $∠ AHC = ∠ BHC = 90°$。
由(1)可知，$∠ ABC = 45°$，$∠ BAC = 53°$，
所以 $△ BCH$ 为等腰直角三角形。
所以 $BH = CH = x\ \mathrm{m}$，
$∠ ACH = 180° - ∠ AHC - ∠ BAC = 37°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中，$AH = CH · \tan ∠ ACH = x · \tan 37° \approx 0.75x\ \mathrm{m}$，
因为 $AB = AH + BH$，
所以 $0.75x + x = 11.2$，
解得 $x = 6.4$，
所以点 C 到 AB 的距离为 6.4 m。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据光的反射定律“入射角等于反射角”得到$∠ ACD=∠ BCD$，即可求出$∠ ACB$的度数；再由法线$AE$垂直水平线段$AB$可得$∠ BAE=90°$，结合已知$∠ CAE$的度数求出$∠ BAC$；最后利用三角形内角和为$180°$，就能计算出$∠ ABC$的度数。
(2) 解题思路：求点$C$到$AB$的距离，过点$C$作$AB$的垂线$CH$，将$△ ABC$分为两个直角三角形；设$CH$的长度为$x$，利用$∠ ABC=45°$可得等腰直角$△ BCH$中$BH=CH=x$；再在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，根据$∠ ACH=37°$，用正切函数表示出$AH$的长度；最后结合$AB=AH+BH$列方程求解，即可得到$CH$的长度，也就是点$C$到$AB$的距离。
【解析】
(1) 由题意可知入射角等于反射角，因此$∠ BCD = ∠ ACD = 41°$，
所以$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 41° + 41° = 82°$。
因为$AE ⊥ AB$，所以$∠ BAE = 90°$，
因此$∠ BAC = ∠ BAE - ∠ CAE = 90° - 37° = 53°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 53° - 82° = 45°$。
(2) 如图，过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$，设$CH = x\ \mathrm{m}$，
因为$CH ⊥ AB$，所以$∠ AHC = ∠ BHC = 90°$。
由(1)可知$∠ ABC = 45°$，$∠ BAC = 53°$，
所以$△ BCH$为等腰直角三角形，因此$BH = CH = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ ACH = 180° - ∠ AHC - ∠ BAC = 180° - 90° - 53° = 37°$，
所以$AH = CH · \tan ∠ ACH = x · \tan 37° \approx 0.75x\ \mathrm{m}$。
因为$AB = AH + BH$，代入已知$AB=11.2\ \mathrm{m}$可得：
$0.75x + x = 11.2$，
合并同类项得$1.75x = 11.2$，解得$x = 6.4$。
【答案】
(1) $∠ ABC$的度数为$45°$；
(2) 点$C$到$AB$的距离为$6.4\ \mathrm{m}$。
【知识点】
三角形内角和定理，解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以我国古代潜望镜的发明为背景，融合了物理光的反射知识与数学几何运算，既考查了基础的角度计算能力，又考查了解直角三角形解决实际问题的能力，体现了跨学科知识融合运用的特点。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据光的反射定律“入射角等于反射角”得到$∠ ACD=∠ BCD$，即可求出$∠ ACB$的度数；再由法线$AE$垂直水平线段$AB$可得$∠ BAE=90°$，结合已知$∠ CAE$的度数求出$∠ BAC$；最后利用三角形内角和为$180°$，就能计算出$∠ ABC$的度数。
(2) 解题思路：求点$C$到$AB$的距离，过点$C$作$AB$的垂线$CH$，将$△ ABC$分为两个直角三角形；设$CH$的长度为$x$，利用$∠ ABC=45°$可得等腰直角$△ BCH$中$BH=CH=x$；再在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，根据$∠ ACH=37°$，用正切函数表示出$AH$的长度；最后结合$AB=AH+BH$列方程求解，即可得到$CH$的长度，也就是点$C$到$AB$的距离。
【解析】
(1) 由题意可知入射角等于反射角，因此$∠ BCD = ∠ ACD = 41°$，
所以$∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = 41° + 41° = 82°$。
因为$AE ⊥ AB$，所以$∠ BAE = 90°$，
因此$∠ BAC = ∠ BAE - ∠ CAE = 90° - 37° = 53°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ ACB = 180° - 53° - 82° = 45°$。
(2) 如图，过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$，设$CH = x\ \mathrm{m}$，
因为$CH ⊥ AB$，所以$∠ AHC = ∠ BHC = 90°$。
由(1)可知$∠ ABC = 45°$，$∠ BAC = 53°$，
所以$△ BCH$为等腰直角三角形，因此$BH = CH = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$∠ ACH = 180° - ∠ AHC - ∠ BAC = 180° - 90° - 53° = 37°$，
所以$AH = CH · \tan ∠ ACH = x · \tan 37° \approx 0.75x\ \mathrm{m}$。
因为$AB = AH + BH$，代入已知$AB=11.2\ \mathrm{m}$可得：
$0.75x + x = 11.2$，
合并同类项得$1.75x = 11.2$，解得$x = 6.4$。
【答案】
(1) $∠ ABC$的度数为$45°$；
(2) 点$C$到$AB$的距离为$6.4\ \mathrm{m}$。
【知识点】
三角形内角和定理，解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以我国古代潜望镜的发明为背景，融合了物理光的反射知识与数学几何运算，既考查了基础的角度计算能力，又考查了解直角三角形解决实际问题的能力，体现了跨学科知识融合运用的特点。
【难度系数】
0.7
10.为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定校园内的标志性古树“国槐”，开展树高的测量与树形特征探究活动，因古树周围设置围栏无法直达根部，活动报告如下：
|项目主题|校园内“国槐”古树的高度测量与树形特征探究。|
|----|----|
|数学抽象|MN 表示水平地面，线段 AB 表示“国槐”古树（
为树梢，B 为树根中心），项目学习小组的同学采用“双仰角法”测量树高，又将树冠投影近似成椭圆，通过计算高冠比判断树形特征。|
|测量工具|激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等。|
|----|----|
|项目方案|【树高测量】
1.在地面上选取测点 E，测得树梢 A 的仰角∠AEB＝35°；
2.在地面上选取测点 F，测得树梢 A 的仰角∠AFB＝55°；
3.测得 E，F 两点间的距离 EF＝40 m。（如图①）
【树冠投影数据】
1.测量树冠投影东西向最大宽度 EW＝16 m；
2.测量树冠投影南北向最大宽度 SN＝14 m。（如图②）|
|参考数据|高冠比结果精确到0.1；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°＝0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°＝1.43；高冠比 $ R = \frac{AB}{平均冠幅 D} $，其中平均冠幅 $ D = \frac{EW + SN}{2} $。当1.5≤R＜3.0时，树形舒展、冠大荫浓。|
|……|……|
试判断该校园内“国槐”古树是否树形舒展、冠大荫浓，并说明理由。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
|项目主题|校园内“国槐”古树的高度测量与树形特征探究。|
|----|----|
|数学抽象|MN 表示水平地面，线段 AB 表示“国槐”古树（
为树梢，B 为树根中心），项目学习小组的同学采用“双仰角法”测量树高，又将树冠投影近似成椭圆，通过计算高冠比判断树形特征。||测量工具|激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等。|
|----|----|
|项目方案|【树高测量】
1.在地面上选取测点 E，测得树梢 A 的仰角∠AEB＝35°；
2.在地面上选取测点 F，测得树梢 A 的仰角∠AFB＝55°；
3.测得 E，F 两点间的距离 EF＝40 m。（如图①）
【树冠投影数据】
1.测量树冠投影东西向最大宽度 EW＝16 m；
2.测量树冠投影南北向最大宽度 SN＝14 m。（如图②）|
|参考数据|高冠比结果精确到0.1；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°＝0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°＝1.43；高冠比 $ R = \frac{AB}{平均冠幅 D} $，其中平均冠幅 $ D = \frac{EW + SN}{2} $。当1.5≤R＜3.0时，树形舒展、冠大荫浓。|
|……|……|
试判断该校园内“国槐”古树是否树形舒展、冠大荫浓，并说明理由。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10. 解:该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓.理由如下：
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中，$∠ AFB = 55°$，$\tan ∠ AFB = \frac{AB}{BF}$，所以 $AB = BF · \tan 55° \approx 1.43BF$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ AEB = 35°$，$\tan ∠ AEB = \frac{AB}{BE}$，所以 $AB = BE · \tan 35° \approx 0.70BE$。
设 $BE = x\ \mathrm{m}$，则 $BF = EF - BE = (40 - x)\ \mathrm{m}$，
所以 $1.43(40 - x) = 0.70x$，
解得 $x \approx 26.85$，
所以 $AB = 0.70x \approx 18.80\ \mathrm{m}$。
根据题意，得高冠比 $R = \frac{18.80}{\frac{14 + 16}{2}} \approx 1.3$。
因为 $1.3 ＜ 1.5$，
所以该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓。
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中，$∠ AFB = 55°$，$\tan ∠ AFB = \frac{AB}{BF}$，所以 $AB = BF · \tan 55° \approx 1.43BF$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ AEB = 35°$，$\tan ∠ AEB = \frac{AB}{BE}$，所以 $AB = BE · \tan 35° \approx 0.70BE$。
设 $BE = x\ \mathrm{m}$，则 $BF = EF - BE = (40 - x)\ \mathrm{m}$，
所以 $1.43(40 - x) = 0.70x$，
解得 $x \approx 26.85$，
所以 $AB = 0.70x \approx 18.80\ \mathrm{m}$。
根据题意，得高冠比 $R = \frac{18.80}{\frac{14 + 16}{2}} \approx 1.3$。
因为 $1.3 ＜ 1.5$，
所以该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓。
解析
【分析】
要判断国槐是否树形舒展、冠大荫浓，需先计算高冠比R，再将R与1.5比较即可。首先平均冠幅D可直接用题目给出的EW、SN代入公式计算，核心是求树高AB：AB垂直水平地面，因此△ABE和△ABF均为直角三角形，可分别在两个三角形中利用仰角的正切值将AB用BE、BF表示，再结合E、F间距EF=40m的条件，设未知数列方程求解得到AB的长度，最后代入高冠比公式计算判断即可。
【解析】
解：该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，$∠ AFB=55°$，由$\tan∠ AFB=\frac{AB}{BF}$，得$AB=BF·\tan55°\approx1.43BF$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ AEB=35°$，由$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}$，得$AB=BE·\tan35°\approx0.70BE$。
设$BE=x\ \mathrm{m}$，则$BF=EF-BE=(40-x)\ \mathrm{m}$，
因此有$1.43(40-x)=0.70x$，
解得$x\approx26.85$，
所以$AB=0.70x\approx18.80\ \mathrm{m}$。
根据题意计算平均冠幅$D=\frac{EW+SN}{2}=\frac{16+14}{2}=15\ \mathrm{m}$，
高冠比$R=\frac{AB}{D}=\frac{18.80}{15}\approx1.3$。
因为$1.3＜1.5$，不符合$1.5≤ R＜3.0$的标准，所以该古树不是树形舒展、冠大荫浓。
*课后反思（开放性答案示例）：
存在的问题：未确保E、F、B三点共线，仅测量东西、南北两个方向的冠幅代表性不足，仰角测量存在读数误差。
改进的措施：测量前先标定E、F、B三点在过树根B的同一直线上，多测量几个不同方向的冠幅取平均值计算平均冠幅，多次测量仰角取平均值减小误差。
【答案】
该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓。
【知识点】
解直角三角形的应用；仰角俯角问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合校园测量的实际实践场景，考查了解直角三角形在实际测量中的应用，既要求学生熟练掌握锐角三角函数的定义建立等量关系，也要求学生能提取题目给出的新定义公式进行计算判断，很好的体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要判断国槐是否树形舒展、冠大荫浓，需先计算高冠比R，再将R与1.5比较即可。首先平均冠幅D可直接用题目给出的EW、SN代入公式计算，核心是求树高AB：AB垂直水平地面，因此△ABE和△ABF均为直角三角形，可分别在两个三角形中利用仰角的正切值将AB用BE、BF表示，再结合E、F间距EF=40m的条件，设未知数列方程求解得到AB的长度，最后代入高冠比公式计算判断即可。
【解析】
解：该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ABF$中，$∠ AFB=55°$，由$\tan∠ AFB=\frac{AB}{BF}$，得$AB=BF·\tan55°\approx1.43BF$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$∠ AEB=35°$，由$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}$，得$AB=BE·\tan35°\approx0.70BE$。
设$BE=x\ \mathrm{m}$，则$BF=EF-BE=(40-x)\ \mathrm{m}$，
因此有$1.43(40-x)=0.70x$，
解得$x\approx26.85$，
所以$AB=0.70x\approx18.80\ \mathrm{m}$。
根据题意计算平均冠幅$D=\frac{EW+SN}{2}=\frac{16+14}{2}=15\ \mathrm{m}$，
高冠比$R=\frac{AB}{D}=\frac{18.80}{15}\approx1.3$。
因为$1.3＜1.5$，不符合$1.5≤ R＜3.0$的标准，所以该古树不是树形舒展、冠大荫浓。
*课后反思（开放性答案示例）：
存在的问题：未确保E、F、B三点共线，仅测量东西、南北两个方向的冠幅代表性不足，仰角测量存在读数误差。
改进的措施：测量前先标定E、F、B三点在过树根B的同一直线上，多测量几个不同方向的冠幅取平均值计算平均冠幅，多次测量仰角取平均值减小误差。
【答案】
该校园内“国槐”古树不是树形舒展、冠大荫浓。
【知识点】
解直角三角形的应用；仰角俯角问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合校园测量的实际实践场景，考查了解直角三角形在实际测量中的应用，既要求学生熟练掌握锐角三角函数的定义建立等量关系，也要求学生能提取题目给出的新定义公式进行计算判断，很好的体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
