登录
思考1.(1) 在实际问题中，怎样确定视线与水平线？怎么判断是仰角或俯角？
(2)怎样将实际问题转化成数学问题？问题中的哪些量可以看成几何图形中的点与线？然后利用所学的哪些知识怎样解决它？
(2)怎样将实际问题转化成数学问题？问题中的哪些量可以看成几何图形中的点与线？然后利用所学的哪些知识怎样解决它？
答案
(1)水平线有无数条，观测者眼睛所在的那一条水平线是所需要的；视线可以看成是眼睛与被观测物体的连线，视线在水平线上方为仰角，在水平线下方为俯角。
(2)问题中的某些物体，可以抽象地看成一个点，一些实物如塔、树等看成线，根据实际情况的位置关系，画出图形，找出条件与问题，分析其解决途径。
(2)问题中的某些物体，可以抽象地看成一个点，一些实物如塔、树等看成线，根据实际情况的位置关系，画出图形，找出条件与问题，分析其解决途径。
解析
【分析】
本题是解直角三角形实际应用的基础概念类问题，可分两小问逐步思考：
(1) 确定视线与水平线时，首先以观测者为核心，水平线选取过观测者眼睛位置的那条即可；视线是观测者眼睛到被观测物体的连线，判断仰角、俯角只需对比视线和对应水平线的位置关系即可。
(2) 实际问题转化为数学问题的核心是几何抽象建模：先将问题中的观测点、被观测物体端点等位置标识抽象为几何中的点，将塔、树、建筑物等有固定高度的实物抽象为线段，再根据实际位置关系画出对应的几何图形，梳理已知条件和待求量，最后用解直角三角形的相关知识求解即可。
【解析】
(1) 水平线有无数条，观测者眼睛所在的那一条水平线是所需要的；视线可以看成是眼睛与被观测物体的连线，视线在水平线上方为仰角，在水平线下方为俯角。
(2) 问题中的某些物体，可以抽象地看成一个点，一些实物如塔、树等看成线，根据实际情况的位置关系，画出图形，找出条件与问题，分析其解决途径。
【答案】
(1)水平线有无数条，观测者眼睛所在的那一条水平线是所需要的；视线可以看成是眼睛与被观测物体的连线，视线在水平线上方为仰角，在水平线下方为俯角。
(2)问题中的某些物体，可以抽象地看成一个点，一些实物如塔、树等看成线，根据实际情况的位置关系，画出图形，找出条件与问题，分析其解决途径。
【知识点】
仰角俯角的定义，解直角三角形的应用，实际问题建模
【点评】
本题属于基础概念理解题，重点考查解直角三角形实际应用的前置知识，帮助建立从实际问题到几何问题的转化思维，熟练掌握仰角俯角的判别方法，是解决高度、距离测量类实际问题的核心基础。
【难度系数】
0.8
本题是解直角三角形实际应用的基础概念类问题，可分两小问逐步思考：
(1) 确定视线与水平线时，首先以观测者为核心，水平线选取过观测者眼睛位置的那条即可；视线是观测者眼睛到被观测物体的连线，判断仰角、俯角只需对比视线和对应水平线的位置关系即可。
(2) 实际问题转化为数学问题的核心是几何抽象建模：先将问题中的观测点、被观测物体端点等位置标识抽象为几何中的点，将塔、树、建筑物等有固定高度的实物抽象为线段，再根据实际位置关系画出对应的几何图形，梳理已知条件和待求量，最后用解直角三角形的相关知识求解即可。
【解析】
(1) 水平线有无数条，观测者眼睛所在的那一条水平线是所需要的；视线可以看成是眼睛与被观测物体的连线，视线在水平线上方为仰角，在水平线下方为俯角。
(2) 问题中的某些物体，可以抽象地看成一个点，一些实物如塔、树等看成线，根据实际情况的位置关系，画出图形，找出条件与问题，分析其解决途径。
【答案】
(1)水平线有无数条，观测者眼睛所在的那一条水平线是所需要的；视线可以看成是眼睛与被观测物体的连线，视线在水平线上方为仰角，在水平线下方为俯角。
(2)问题中的某些物体，可以抽象地看成一个点，一些实物如塔、树等看成线，根据实际情况的位置关系，画出图形，找出条件与问题，分析其解决途径。
【知识点】
仰角俯角的定义，解直角三角形的应用，实际问题建模
【点评】
本题属于基础概念理解题，重点考查解直角三角形实际应用的前置知识，帮助建立从实际问题到几何问题的转化思维，熟练掌握仰角俯角的判别方法，是解决高度、距离测量类实际问题的核心基础。
【难度系数】
0.8
1. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为$36°$，那么从低处乙看高处甲的仰角是
36
。答案
1. 36
解析
【分析】
解题时首先回忆仰角、俯角的定义：俯角是高处观测点的水平线与向下观测目标的视线的夹角，仰角是低处观测点的水平线与向上观测目标的视线的夹角。其次画辅助示意图：连接甲乙两点作为公共视线，分别过甲、乙作水平线，两条水平线互相平行（均平行于水平面），此时俯角和仰角是两条平行线被视线所截形成的内错角，根据平行线内错角相等的性质，即可得出仰角与俯角度数相等，进而求出结果。
【解析】
设甲位置为点A，乙位置为点B，过A作水平线AC，过B作水平线BD。
∵ 水平线均平行于水平面，
∴ AC//BD。
由题意得，从甲看乙的俯角∠CAB=36°，从乙看甲的仰角为∠DBA。
∵ AC//BD，AB为截线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DBA=∠CAB=36°。
即从低处乙看高处甲的仰角为36°。
【答案】
36
【知识点】
仰角俯角的概念、平行线的性质、解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题，主要考查仰角、俯角的概念理解，结合平行线的性质即可快速求解，是这类实际问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆仰角、俯角的定义：俯角是高处观测点的水平线与向下观测目标的视线的夹角，仰角是低处观测点的水平线与向上观测目标的视线的夹角。其次画辅助示意图：连接甲乙两点作为公共视线，分别过甲、乙作水平线，两条水平线互相平行（均平行于水平面），此时俯角和仰角是两条平行线被视线所截形成的内错角，根据平行线内错角相等的性质，即可得出仰角与俯角度数相等，进而求出结果。
【解析】
设甲位置为点A，乙位置为点B，过A作水平线AC，过B作水平线BD。
∵ 水平线均平行于水平面，
∴ AC//BD。
由题意得，从甲看乙的俯角∠CAB=36°，从乙看甲的仰角为∠DBA。
∵ AC//BD，AB为截线，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DBA=∠CAB=36°。
即从低处乙看高处甲的仰角为36°。
【答案】
36
【知识点】
仰角俯角的概念、平行线的性质、解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题，主要考查仰角、俯角的概念理解，结合平行线的性质即可快速求解，是这类实际问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直
上升100 m到达A处，在A处观察C地的俯角为$30°$，则B，C两地之间的距离为
上升100 m到达A处，在A处观察C地的俯角为$30°$，则B，C两地之间的距离为
$100\sqrt{3}$
m。答案
2. $100\sqrt{3}$
解析
【分析】
遇到这类解直角三角形的实际应用问题，可按以下思路思考：第一步先确定直角三角形，本题中AB是垂直上升的距离，因此AB⊥BC，△ABC为直角三角形，且∠B=90°；第二步转化俯角条件，俯角是高处视线与水平线的夹角，A点的水平线和BC均为水平方向互相平行，根据平行线内错角相等，可得∠ACB=30°；第三步选择合适的三角函数计算，已知AB=100m是∠C的对边，要求的BC是∠C的邻边，选择正切函数即可求出BC的长度。
【解析】
解：由题意得：$AB⊥ BC$，$AB=100\mathrm{m}$，
∵过A的水平线与BC平行，A处观察C地的俯角为$30°$，
∴$∠ ACB=30°$（两直线平行，内错角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
根据锐角三角函数定义：$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
代入数据得：$BC=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=100\sqrt{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$100\sqrt{3}$
【知识点】
俯角的概念；锐角三角函数；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，正确理解俯角的含义、找准对应边角关系是解题的前提。
【难度系数】
0.8
遇到这类解直角三角形的实际应用问题，可按以下思路思考：第一步先确定直角三角形，本题中AB是垂直上升的距离，因此AB⊥BC，△ABC为直角三角形，且∠B=90°；第二步转化俯角条件，俯角是高处视线与水平线的夹角，A点的水平线和BC均为水平方向互相平行，根据平行线内错角相等，可得∠ACB=30°；第三步选择合适的三角函数计算，已知AB=100m是∠C的对边，要求的BC是∠C的邻边，选择正切函数即可求出BC的长度。
【解析】
解：由题意得：$AB⊥ BC$，$AB=100\mathrm{m}$，
∵过A的水平线与BC平行，A处观察C地的俯角为$30°$，
∴$∠ ACB=30°$（两直线平行，内错角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，
根据锐角三角函数定义：$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
代入数据得：$BC=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=100\sqrt{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$100\sqrt{3}$
【知识点】
俯角的概念；锐角三角函数；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，正确理解俯角的含义、找准对应边角关系是解题的前提。
【难度系数】
0.8
思考 2.(1)方向角是站在谁的角度去构建的？角的两边分别是什么？
(2)东南、西南、西北、东北分别是什么含义？
(2)东南、西南、西北、东北分别是什么含义？
答案
(1)方向角是站在观测者的角度去构建的，其一边为南北方向线，另一边是视线. 注意方向角的说法都是南(北)偏东(西)多少度。
(2)东南:南偏东45°,西南:南偏西45°,西北:北偏西45°,东北:北偏东45°。
(2)东南:南偏东45°,西南:南偏西45°,西北:北偏西45°,东北:北偏东45°。
解析
【分析】
解决本题需围绕方向角的定义展开思考：对于第(1)问，方向角是用来描述观测点到目标点的方向的，因此首先明确构建主体是观测者，再结合方向角“南(北)偏东(西)多少度”的常用表述，可确定角的两条边分别是作为基准的南北方向线、观测者指向目标的视线；对于第(2)问，东南、西南等是特殊的方向角，对应偏角为45°的情况，结合方向角的表述规则即可推出各自含义。
【解析】
(1) 方向角以观测者所在位置为顶点构建，以南北方向线为基准边，另一条边是观测者看向目标的视线，方向角的规范表述格式为南(北)偏东(西)多少度。
(2) 四个特殊方向均为偏角等于45°的方向角，结合方向角表述规则可对应得到：东南是南偏东45°，西南是南偏西45°，西北是北偏西45°，东北是北偏东45°。
【答案】
(1)方向角是站在观测者的角度去构建的，其一边为南北方向线，另一边是视线. 注意方向角的说法都是南(北)偏东(西)多少度。
(2)东南:南偏东45°,西南:南偏西45°,西北:北偏西45°,东北:北偏东45°。
【知识点】
方向角的定义、特殊方向角的含义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对方向角相关概念的识记能力，方向角是解直角三角形实际应用类问题的基础知识点，准确掌握其定义和表述规则，能为后续解决方向类实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.9
解决本题需围绕方向角的定义展开思考：对于第(1)问，方向角是用来描述观测点到目标点的方向的，因此首先明确构建主体是观测者，再结合方向角“南(北)偏东(西)多少度”的常用表述，可确定角的两条边分别是作为基准的南北方向线、观测者指向目标的视线；对于第(2)问，东南、西南等是特殊的方向角，对应偏角为45°的情况，结合方向角的表述规则即可推出各自含义。
【解析】
(1) 方向角以观测者所在位置为顶点构建，以南北方向线为基准边，另一条边是观测者看向目标的视线，方向角的规范表述格式为南(北)偏东(西)多少度。
(2) 四个特殊方向均为偏角等于45°的方向角，结合方向角表述规则可对应得到：东南是南偏东45°，西南是南偏西45°，西北是北偏西45°，东北是北偏东45°。
【答案】
(1)方向角是站在观测者的角度去构建的，其一边为南北方向线，另一边是视线. 注意方向角的说法都是南(北)偏东(西)多少度。
(2)东南:南偏东45°,西南:南偏西45°,西北:北偏西45°,东北:北偏东45°。
【知识点】
方向角的定义、特殊方向角的含义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对方向角相关概念的识记能力，方向角是解直角三角形实际应用类问题的基础知识点，准确掌握其定义和表述规则，能为后续解决方向类实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.9
3.小莹同学从A地沿北偏东$60°$方向走100 m到B地,再从B地向正南方向走200 m到C地,则此时C在A的
南偏东 30°
方向上,小莹离A地的距离是$100\sqrt{3}$
m。答案
3. 南偏东 30°，$100\sqrt{3}$
解析
【分析】
遇到方位角相关的实际问题，首先要根据题意画出正确的几何示意图，将实际场景转化为数学几何问题：我们可以过A作AD垂直BC于D，把△ABC拆分为两个直角三角形。第一步先在Rt△ABD中，利用AB的长度和已知的方位角对应的角度，求出直角边AD、BD的长度；第二步结合BC的长度求出CD的长度，再在Rt△ADC中利用三角函数求出∠C的度数，即可得到C相对于A的方位，最后利用勾股定理或三角函数求出AC的长度即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意可知：AB=100m，BC=200m，∠ABD=60°（因为B在A的北偏东60°方向，故A在B的南偏西60°方向，BC为正南方向，所以∠ABD=60°）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=60°，AB=100m：
$BD = AB·\cos60° = 100×\frac{1}{2} = 50\ \mathrm{m}$，
$AD = AB·\sin60° = 100×\frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ BC=200m，
∴ $CD = BC - BD = 200 - 50 = 150\ \mathrm{m}$。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°：
$\tan∠ACD = \frac{AD}{CD} = \frac{50\sqrt{3}}{150} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ ∠ACD=30°，即C在A的南偏东30°方向。
再求AC的长度，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(50\sqrt{3})^2 + 150^2} = \sqrt{7500 + 22500} = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
南偏东 30°，$100\sqrt{3}$
【知识点】
1. 方位角识别
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在方位问题中的典型应用，解题的核心是正确绘制示意图，将实际问题转化为几何计算问题，通过作高构造直角三角形是常用的解题技巧，要注意准确掌握方位角的定义，避免角度判断错误。
【难度系数】
0.6
遇到方位角相关的实际问题，首先要根据题意画出正确的几何示意图，将实际场景转化为数学几何问题：我们可以过A作AD垂直BC于D，把△ABC拆分为两个直角三角形。第一步先在Rt△ABD中，利用AB的长度和已知的方位角对应的角度，求出直角边AD、BD的长度；第二步结合BC的长度求出CD的长度，再在Rt△ADC中利用三角函数求出∠C的度数，即可得到C相对于A的方位，最后利用勾股定理或三角函数求出AC的长度即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意可知：AB=100m，BC=200m，∠ABD=60°（因为B在A的北偏东60°方向，故A在B的南偏西60°方向，BC为正南方向，所以∠ABD=60°）。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=60°，AB=100m：
$BD = AB·\cos60° = 100×\frac{1}{2} = 50\ \mathrm{m}$，
$AD = AB·\sin60° = 100×\frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ BC=200m，
∴ $CD = BC - BD = 200 - 50 = 150\ \mathrm{m}$。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°：
$\tan∠ACD = \frac{AD}{CD} = \frac{50\sqrt{3}}{150} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ ∠ACD=30°，即C在A的南偏东30°方向。
再求AC的长度，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(50\sqrt{3})^2 + 150^2} = \sqrt{7500 + 22500} = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
南偏东 30°，$100\sqrt{3}$
【知识点】
1. 方位角识别
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形在方位问题中的典型应用，解题的核心是正确绘制示意图，将实际问题转化为几何计算问题，通过作高构造直角三角形是常用的解题技巧，要注意准确掌握方位角的定义，避免角度判断错误。
【难度系数】
0.6
思考3. 利用解直角三角形的相关知识解决问题时，怎样构造直角？利用什么途径求出相关线段？
答案
过一点向某条线作垂线，得直角(三角形)，将某些线分割成几条线段，可利用解直角三角形表示出线段长，根据其关系列方程即可。
解析
【分析】
解决该问题首先要明确解直角三角形的前提是存在直角三角形，因此无现成直角三角形时需先构造直角：构造直角的核心是得到90°角，最易操作的方式是作垂线，通常选择带有已知角度、已知边长等条件的关联点，向目标线段作垂线即可得到直角，同时可将目标线段分割为若干小段。求线段时，首先依托构造出的直角三角形，用解直角三角形的知识表示各段线段的长度，对未知线段可先设未知数，再根据线段间的和、差、等量关系列方程求解即可。
【解析】
1. 构造直角的方法：选择题目中与已知边、已知角相关的点，向对应的直线作垂线，即可得到直角，进而构造出解直角三角形所需的直角三角形，同时该垂线可将部分线段分割为多条线段。
2. 求相关线段的途径：构造直角三角形后，可利用锐角三角函数、勾股定理等解直角三角形的知识，将各相关线段的长度用已知量或含未知数的代数式表示，再结合线段之间的和、差、相等的数量关系列方程，解方程即可求出对应线段的长度。
【答案】
过一点向某条线作垂线，得直角(三角形)，将某些线分割成几条线段，可利用解直角三角形表示出线段长，根据其关系列方程即可。
【知识点】
直角三角形构造、解直角三角形、方程思想求线段
【点评】
本题考查解直角三角形解决实际问题的核心思路，是处理解直角三角形应用类问题的基础，熟练掌握构造直角的方法，灵活结合解直角三角形知识与方程思想，可快速解决各类相关的线段求解、角度求解问题。
【难度系数】
0.7
解决该问题首先要明确解直角三角形的前提是存在直角三角形，因此无现成直角三角形时需先构造直角：构造直角的核心是得到90°角，最易操作的方式是作垂线，通常选择带有已知角度、已知边长等条件的关联点，向目标线段作垂线即可得到直角，同时可将目标线段分割为若干小段。求线段时，首先依托构造出的直角三角形，用解直角三角形的知识表示各段线段的长度，对未知线段可先设未知数，再根据线段间的和、差、等量关系列方程求解即可。
【解析】
1. 构造直角的方法：选择题目中与已知边、已知角相关的点，向对应的直线作垂线，即可得到直角，进而构造出解直角三角形所需的直角三角形，同时该垂线可将部分线段分割为多条线段。
2. 求相关线段的途径：构造直角三角形后，可利用锐角三角函数、勾股定理等解直角三角形的知识，将各相关线段的长度用已知量或含未知数的代数式表示，再结合线段之间的和、差、相等的数量关系列方程，解方程即可求出对应线段的长度。
【答案】
过一点向某条线作垂线，得直角(三角形)，将某些线分割成几条线段，可利用解直角三角形表示出线段长，根据其关系列方程即可。
【知识点】
直角三角形构造、解直角三角形、方程思想求线段
【点评】
本题考查解直角三角形解决实际问题的核心思路，是处理解直角三角形应用类问题的基础，熟练掌握构造直角的方法，灵活结合解直角三角形知识与方程思想，可快速解决各类相关的线段求解、角度求解问题。
【难度系数】
0.7
