1. 下列计算中,正确的是()

A.$a^3 · a^3 = 2a^3$
B.$a^5 · a^5 = a^{10}$
C.$-4x(2x^2 + 3x) = -8x^3 + 12x^2$
D.$x(x + y) - 2y(x + y) = x^2 - 2y^2$

B

【分析】
这道题考查整式乘法相关的基础运算，解题思路是逐一验证每个选项，分别运用同底数幂乘法法则、单项式乘多项式法则、整式加减的合并同类项规则，判断每个选项计算是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，$a^3·a^3 = a^{3+3}=a^6$，而非$2a^3$，故A错误；
B选项：同理，$a^5·a^5 = a^{5+5}=a^{10}$，计算正确；
C选项：根据单项式乘多项式的法则，单项式要乘多项式的每一项，且注意符号：$-4x(2x^2+3x) = -4x·2x^2 + (-4x)·3x = -8x^3 -12x^2$，选项中第二项符号错误，故C错误；
D选项：先展开再合并同类项：$x(x+y)-2y(x+y) = x^2+xy -2xy -2y^2 = x^2 -xy -2y^2$，选项漏了$-xy$项，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；单项式乘多项式；整式的加减
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式乘法的各类运算法则，解题时需特别注意运算过程中的符号判断以及同类项的合并，避免因法则混淆或符号疏忽出错。
【难度系数】
0.8

2. 一个长方体的长、宽、高分别是$3x-4$，$2x$，$x$，则它的体积为()

A.$3x^3 -4x^2$
B.$x^2$
C.$6x^3 -8x^2$
D.$6x^2 -8x$

C

【分析】
要解决这个问题，首先回忆长方体体积的计算公式：体积=长×宽×高。我们只需将题目给出的长、宽、高代入公式，再按照整式乘法的运算法则逐步计算，最后对应选项选出正确答案即可。计算时先算单项式之间的乘法，再用单项式乘多项式的法则展开，注意系数和同底数幂的运算规则。
【解析】
根据长方体体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=(3x-4)×2x× x\\&=(3x-4)×(2x· x)\\&=(3x-4)×2x^2\\&=3x×2x^2 - 4×2x^2\\&=6x^3 -8x^2\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
长方体体积计算、单项式乘多项式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是将几何体积公式和整式乘法运算结合，计算时需注意同底数幂相乘时指数的变化，以及单项式乘多项式时不要漏乘常数项，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8

3. 化简$x(3x^2 -1)-3x(x^2 -3)$的结果是()

A.$10x$
B.$-10x$
C.$8x$
D.$-8x$

C

【分析】
本题属于整式的化简计算题，解题思路如下：首先观察式子结构，是两个单项式与多项式乘积的差，需要先依据单项式乘多项式的运算法则分别展开两个乘积项；展开时要注意第二个乘积前是负号，去括号时每一项都要变号；最后合并同类项即可得到化简结果，再对应选项选择答案。
【解析】
解：按照运算顺序先展开各项：
1. 计算第一项：$x(3x^2 -1) = x· 3x^2 + x· (-1) = 3x^3 - x$
2. 计算第二项：$-3x(x^2 -3) = -3x· x^2 + (-3x)· (-3) = -3x^3 + 9x$
3. 合并两项的结果，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3x^3 - x -3x^3 +9x\\&=(3x^3 -3x^3)+(-x +9x)\\&=8x\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 去括号法则
3. 合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查整式乘法与加减混合运算的规则，解题时需要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8

4. 下列运算正确的是()

A.$2a(5a+ab-1)=10a^2+2a^2b-1$
B.$(-5x)(2x^2-3x+1)=-10x^3+15x^2-5x$
C.$b(b^3-b^2c-1)=b^4-b^3-b$
D.$3x(-x^2-3x+1)=3x^3-9x^2+3x$

B

【分析】
这道题考查单项式乘多项式的运算，解题需依据单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算时要特别注意每一项的符号，我们只需逐个计算四个选项的运算结果，对比后就能选出正确选项。
【解析】
根据单项式乘多项式法则逐一分析选项：
A选项：$2a(5a+ab-1)=2a·5a + 2a· ab + 2a·(-1)=10a^2+2a^2b-2a$，选项最后一项为$-1$，漏乘了$a$，运算错误；
B选项：$(-5x)(2x^2-3x+1)=(-5x)·2x^2 + (-5x)·(-3x) + (-5x)·1=-10x^3+15x^2-5x$，运算正确；
C选项：$b(b^3-b^2c-1)=b· b^3 + b·(-b^2c) + b·(-1)=b^4 - b^3c - b$，选项第二项丢失了字母$c$，运算错误；
D选项：$3x(-x^2-3x+1)=3x·(-x^2) + 3x·(-3x) + 3x·1=-3x^3-9x^2+3x$，选项第一项符号错误，运算错误。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式法则；整式乘法运算；符号运算
【点评】
这道题是整式乘法的基础题，易错点为运算时漏乘多项式的常数项、弄错项的符号或者漏写字母，计算时要逐项运算后再核对结果，养成检查的习惯。
【难度系数】
0.8

5. 计算$m^2-(m+1)m+5(m+1)$等于()

A.$-4m-5$
B.$4m+5$
C.$-4m+5$
D.$4m-5$

B

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先根据单项式乘多项式的法则计算式中的两个乘法项，第二步去括号（注意括号前为负号时，括号内各项要变号），第三步合并同类项得到化简结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：按照整式混合运算规则逐步计算：
1. 计算乘法项
根据单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$，可得：
$(m+1)m = m·m + 1·m = m^2 + m$，
$5(m+1) = 5·m +5·1 =5m +5$；
2. 代入原式并去括号
原式$= m^2 - (m^2 + m) + 5m +5$
$= m^2 - m^2 - m + 5m +5$；
3. 合并同类项
$m^2 - m^2 = 0$，$-m +5m =4m$，
因此化简结果为$4m +5$。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查运算法则的掌握程度和运算准确性，解题时需格外注意去括号的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 计算:$3m(2mn-n)=$.

$\boldsymbol{6m^2n - 3mn}$

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是运用单项式乘多项式的运算法则（本质是乘法分配律），用单项式3m分别乘以多项式$2mn-n$的每一项，再把所得的积相加，计算过程中要注意同底数幂的乘法运算和符号问题。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
$\begin{aligned}原式&=3m·2mn + 3m·(-n)\\&=(3×2)·(m· m)· n - 3mn\\&=6m^2n - 3mn\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{6m^2n - 3mn}$
【知识点】
单项式乘多项式；乘法分配律；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要关注各项的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算：$(3ab)^2(2a - 3b)=$.

解：
先计算积的乘方：$(3ab)^2 = 9a^2b^2$
原式$=9a^2b^2(2a - 3b)$
$=9a^2b^2· 2a - 9a^2b^2· 3b$
$=18a^3b^2 - 27a^2b^3$

【分析】
这道题属于整式混合运算，解题遵循“先乘方，再乘法”的运算顺序：首先利用积的乘方法则计算$(3ab)^2$，再用得到的单项式分别乘多项式$2a-3b$的每一项，最后将所得的积相加即可。计算过程中要注意同底数幂相乘的运算规则，同时避免系数、符号出错。
【解析】
第一步计算积的乘方：根据积的乘方法则，把积的每个因式分别乘方再将幂相乘，可得
$(3ab)^2 = 3^2· a^2· b^2 =9a^2b^2$
代入原式得：
$原式=9a^2b^2(2a - 3b)$
第二步根据单项式乘多项式的法则，用$9a^2b^2$分别乘括号内的两项，再把积相加：
$=9a^2b^2· 2a - 9a^2b^2· 3b$
分别计算单项式乘法，同底数幂相乘底数不变、指数相加：
$=18a^3b^2 - 27a^2b^3$
【答案】
$18a^3b^2 - 27a^2b^3$
【知识点】
积的乘方、单项式乘多项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算，核心是熟练掌握相关运算法则和运算顺序，计算时注意核对系数、同底数幂的指数以及符号，避免漏乘项。
【难度系数】
0.8

3. 若$m·(2ab - a^2b^3)=-6a^3b^2 + 3a^4b^4$，则$m=$。

$\boldsymbol{-3a^2b}$

【分析】
本题是已知两个因式的乘积与其中一个因式，求另一个因式的问题，解题核心是利用乘法与除法互为逆运算，即所求的$m$等于乘积除以已知的因式。我们可以先对右侧的多项式提取公因式，观察公因式与左侧已知因式的关系，快速化简求出$m$的值，计算过程中要注意符号的变化。
【解析】
根据乘除互逆关系可得：
$m=(-6a^3b^2 + 3a^4b^4)÷(2ab - a^2b^3)$
先对分子提取公因式：
观察$-6a^3b^2 + 3a^4b^4$，两项的公因式为$-3a^2b$，提取后得：
$-6a^3b^2 + 3a^4b^4=-3a^2b·2ab + (-3a^2b)·(-a^2b^3)=-3a^2b(2ab - a^2b^3)$
代入除法运算：
$m=\frac{-3a^2b(2ab - a^2b^3)}{2ab - a^2b^3}$
由于$2ab - a^2b^3$作为原式中的因式不为0，可约去，因此：
$m=-3a^2b$
【答案】
$\boldsymbol{-3a^2b}$
【知识点】
1. 整式乘除运算 2. 提取公因式因式分解
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式乘除的逆运算，通过提取公因式的方法可以快速简化计算，解题时要注意公因式的符号处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

4. 如图1,这是L形钢条截面,它的面积为. 图1

解：将L形钢条截面分割为两个矩形，设钢条的厚度为$ t $，竖直方向截面总长为$ a $，水平方向截面总长为$ b $，则总面积计算如下：
$\begin{aligned}S &= at + t(b - t) \\&= at + bt - t^2 \\&= t(a + b - t)\end{aligned}$
最终面积为$\boldsymbol{at + bt - t^2}$（或等价形式$ t(a + b - t) $）。

【分析】
求解不规则图形的面积时，我们通常采用割补法，将其转化为规则图形的面积和或差来计算。本题中的L形截面可以分割为两个无重叠的矩形：一个是竖直方向长为a、宽为t的矩形，另一个是水平方向长为$(b-t)$、宽为t的矩形（这样分割可以避免两个矩形重叠的边长为t的正方形区域被重复计算），分别计算两个矩形的面积后相加，再通过整式运算化简即可得到结果。
【解析】
将L形钢条截面分割为两个无重叠的矩形，设钢条的厚度为$t$，竖直方向截面总长为$a$，水平方向截面总长为$b$：
1. 竖直矩形的面积：根据矩形面积公式，得$S_1=at$；
2. 水平矩形的面积：水平矩形的长需减去重叠部分的长度$t$，因此长为$(b-t)$，面积$S_2=t(b-t)$；
3. 总面积为两个矩形面积之和：
$\begin{aligned}S &= S_1+S_2 \\&= at + t(b - t) \\&= at + bt - t^2 \\&= t(a + b - t)\end{aligned}$
【答案】
$at+bt-t^2$（或等价形式$t(a+b-t)$）
【知识点】
1. 割补法求面积 2. 单项式乘多项式 3. 整式化简
【点评】
本题是整式运算在几何面积计算中的典型应用，解题核心是通过割补法将不规则图形转化为规则图形求解，需要注意避免重复计算两个矩形重叠的小正方形面积，能有效锻炼数形结合解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

5*.【定义新运算】把任意数对$(a,b)$放入魔盒后,会得到新的运算:$(a-1)(b-2)$.
【解决新问题】把数对$(m,1)$放入该魔盒,得到结果$n$;把数对$(n,m)$再次放入该魔盒,得到的结果为.

解：
把数对$(m,1)$代入运算规则，得：
$n=(m-1)(1-2)=(m-1)×(-1)=-m+1$
再把数对$(n,m)$代入运算规则，得：
$(n-1)(m-2)$
将$n=-m+1$代入上式：
$=(-m+1 -1)(m-2)$
$=(-m)(m-2)$
$=-m^2+2m$
最终结果为$\boldsymbol{-m^2+2m}$。

【分析】
首先明确魔盒的运算规则：数对的第一个数对应运算式中的a，第二个数对应运算式中的b，代入$(a-1)(b-2)$计算即可得到结果。解题分两步进行：第一步先将数对$(m,1)$代入运算规则，求出用m表示的n的代数式；第二步再将数对$(n,m)$代入运算规则，把第一步得到的n的表达式代入后，通过整式乘法化简就能得到最终结果，代入时要注意a、b和数对两个数的对应关系，计算时注意符号不要出错。
【解析】
首先把数对$(m,1)$代入魔盒的运算规则，此时$a=m$，$b=1$，可得：
$n=(m-1)(1-2)=(m-1)×(-1)=-m+1$
再把数对$(n,m)$代入运算规则，此时$a=n$，$b=m$，得到运算式：
$(n-1)(m-2)$
将$n=-m+1$代入上式化简：
$\begin{aligned}&(-m+1 -1)(m-2)\\=&(-m)(m-2)\\=&-m^2+2m\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-m^2+2m}$
【知识点】
定义新运算，代数式求值，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解和运用能力，解题的核心是准确对应数对与运算式中a、b的位置，计算时要注意符号处理，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 计算:
(1) $5x(3x-y)$;
(2) $(-6ab)(a^2b-2ab)$;
(3) $2x^2(3x-xy-1)$;
(4) $(-3mn)^2(2m^2-3n^2)$;
(5) $-4x^3y(\frac{1}{2}xy^2 - 3xy)$;
(6) $(-ab)^2·(2a^2 - ab -1)$.

解：
(1) 原式$=5x· 3x - 5x· y$
$=15x^2 - 5xy$
(2) 原式$=(-6ab)· a^2b + (-6ab)·(-2ab)$
$=-6a^3b^2 + 12a^2b^2$
(3) 原式$=2x^2· 3x - 2x^2· xy - 2x^2· 1$
$=6x^3 - 2x^3y - 2x^2$
(4) 原式$=9m^2n^2·(2m^2 - 3n^2)$
$=9m^2n^2· 2m^2 - 9m^2n^2· 3n^2$
$=18m^4n^2 - 27m^2n^4$
(5) 原式$=-4x^3y· \frac{1}{2}xy^2 + (-4x^3y)·(-3xy)$
$=-2x^4y^3 + 12x^4y^2$
(6) 原式$=a^2b^2·(2a^2 - ab - 1)$
$=a^2b^2· 2a^2 - a^2b^2· ab - a^2b^2· 1$
$=2a^4b^2 - a^3b^3 - a^2b^2$

【分析】
这6道题均属于整式乘法运算，解题思路如下：①先观察式子是否含有乘方运算，若有则先根据积的乘方法则计算乘方部分；②再运用单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，运算时注意符号规则（同号得正、异号得负），相乘过程中系数单独相乘，同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”的规则；③最后把所有得到的积相加，合并整理结果即可。
【解析】
(1) 原式$=5x· 3x - 5x· y$
$=15x^2 - 5xy$
(2) 原式$=(-6ab)· a^2b + (-6ab)·(-2ab)$
$=-6a^3b^2 + 12a^2b^2$
(3) 原式$=2x^2· 3x - 2x^2· xy - 2x^2· 1$
$=6x^3 - 2x^3y - 2x^2$
(4) 原式$=9m^2n^2·(2m^2 - 3n^2)$
$=9m^2n^2· 2m^2 - 9m^2n^2· 3n^2$
$=18m^4n^2 - 27m^2n^4$
(5) 原式$=-4x^3y· \frac{1}{2}xy^2 + (-4x^3y)·(-3xy)$
$=-2x^4y^3 + 12x^4y^2$
(6) 原式$=a^2b^2·(2a^2 - ab - 1)$
$=a^2b^2· 2a^2 - a^2b^2· ab - a^2b^2· 1$
$=2a^4b^2 - a^3b^3 - a^2b^2$
【答案】
(1) $15x^2 - 5xy$
(2) $-6a^3b^2 + 12a^2b^2$
(3) $6x^3 - 2x^3y - 2x^2$
(4) $18m^4n^2 - 27m^2n^4$
(5) $-2x^4y^3 + 12x^4y^2$
(6) $2a^4b^2 - a^3b^3 - a^2b^2$
【知识点】
单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
这组题目是整式乘法的基础训练题，核心考查运算顺序和运算法则的掌握，解题时需格外注意符号判断和指数运算，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8