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2. 小虎同学在计算一个多项式乘以$-3x^2$时，因抄错符号算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2 - \frac{1}{2}x + 1$，那么正确的结果应是多少？
答案
解：设这个多项式为A，
由题意得：$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
所以
$\begin{aligned}A&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2)\\&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2\\&= 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}$
正确的计算结果为：
$\begin{aligned}&(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)\\=&4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)\\=&-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
答：正确的结果是$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$。
由题意得：$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
所以
$\begin{aligned}A&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2)\\&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2\\&= 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}$
正确的计算结果为：
$\begin{aligned}&(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)\\=&4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)\\=&-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
答：正确的结果是$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$。
解析
【分析】
解决本题首先需要理清错误运算的逻辑：题目误将乘法运算当作加法运算，我们可以先通过逆运算求出原本的未知多项式：用错误的计算结果减去错加的$-3x^2$，即可得到原多项式。再将原多项式与$-3x^2$按照单项式乘多项式的法则进行运算，就能得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，由题意得：
$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
求解多项式$A$：
$\begin{aligned}A&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2)\\&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2\\&= 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}$
再计算正确的乘法运算：
$\begin{aligned}&(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)\\=&4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)\\=&-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
整式的加减运算、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的典型题型，考察逆推思维和整式运算的熟练度，解题时要格外注意符号运算和同底数幂乘法的指数变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要理清错误运算的逻辑：题目误将乘法运算当作加法运算，我们可以先通过逆运算求出原本的未知多项式：用错误的计算结果减去错加的$-3x^2$，即可得到原多项式。再将原多项式与$-3x^2$按照单项式乘多项式的法则进行运算，就能得到正确结果。
【解析】
设这个多项式为$A$，由题意得：
$A + (-3x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x + 1$
求解多项式$A$：
$\begin{aligned}A&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 - (-3x^2)\\&= x^2 - \frac{1}{2}x + 1 + 3x^2\\&= 4x^2 - \frac{1}{2}x + 1\end{aligned}$
再计算正确的乘法运算：
$\begin{aligned}&(4x^2 - \frac{1}{2}x + 1) · (-3x^2)\\=&4x^2 · (-3x^2) - \frac{1}{2}x · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)\\=&-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$-12x^4 + \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$
【知识点】
整式的加减运算、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的典型题型，考察逆推思维和整式运算的熟练度，解题时要格外注意符号运算和同底数幂乘法的指数变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 榫卯结构是中国古建筑和实木家具中相连接的两构件上采用的一种凹凸处理接合方式.凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽）.各种榫卯做法不同，应用范围不同，但它们在每件家具上都具有形体构造的“关节”作用.榫卯结构之燕尾槽的截面如图2所示.
（1）用代数式表示图中榫卯结构之燕尾槽的截面阴影部分的面积；
（2）若$x=6\ \mathrm{cm}$，$y=2\ \mathrm{cm}$，求图中阴影部分的面积.
（1）用代数式表示图中榫卯结构之燕尾槽的截面阴影部分的面积；
（2）若$x=6\ \mathrm{cm}$，$y=2\ \mathrm{cm}$，求图中阴影部分的面积.
答案
解：
(1) 图中两个阴影部分是完全相同的三角形，每个三角形的底为$y，$高为$x-y，$
单个三角形的面积为$\dfrac{1}{2}(x-y)y，$
因此阴影部分的总面积为：
$2×\dfrac{1}{2}(x-y)y = (x-y)y。$
(2) 当$x=6\ \mathrm{cm}，$$y=2\ \mathrm{cm}$时，
将数值代入代数式得：
$(x-y)y = 4×2 = 8\ (\mathrm{cm}^2)。$
答：图中阴影部分的面积为$8\ \mathrm{cm}^2。$
(1) 图中两个阴影部分是完全相同的三角形，每个三角形的底为$y，$高为$x-y，$
单个三角形的面积为$\dfrac{1}{2}(x-y)y，$
因此阴影部分的总面积为：
$2×\dfrac{1}{2}(x-y)y = (x-y)y。$
(2) 当$x=6\ \mathrm{cm}，$$y=2\ \mathrm{cm}$时，
将数值代入代数式得：
$(x-y)y = 4×2 = 8\ (\mathrm{cm}^2)。$
答：图中阴影部分的面积为$8\ \mathrm{cm}^2。$
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形识别阴影部分的形状，可知两个阴影是完全相同的三角形，先回忆三角形面积公式，再从图中提取每个三角形的底为y、高为x，先计算单个三角形面积后求和，即可得到阴影总面积的代数式，完成第一问；第二问属于代数式求值，直接把x、y的数值代入第一问得到的代数式中计算，就能求出阴影部分的具体面积。
【解析】
(1) 观察图形可得，两个阴影部分是完全相同的三角形，每个三角形的底为$y$，高为$x-y$。
根据三角形面积公式，单个三角形的面积为$\frac{1}{2}(x-y)y$，
因此阴影部分的总面积为：$2×\frac{1}{2}(x-y)y = (x-y)y$。
(2) 当$x=6\ \mathrm{cm}$，$y=2\ \mathrm{cm}$时，将数值代入(1)所得的代数式计算：
$(x-y)y = 4×2 = 8\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $(x-y)y$；(2) $8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积计算、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际背景出题，既考查了基础的几何面积计算与代数式相关知识，也能让学生体会数学在传统工艺中的应用，解题关键是准确识别阴影部分的形状，正确对应三角形的底和高的长度。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先观察图形识别阴影部分的形状，可知两个阴影是完全相同的三角形，先回忆三角形面积公式，再从图中提取每个三角形的底为y、高为x，先计算单个三角形面积后求和，即可得到阴影总面积的代数式，完成第一问；第二问属于代数式求值，直接把x、y的数值代入第一问得到的代数式中计算，就能求出阴影部分的具体面积。
【解析】
(1) 观察图形可得，两个阴影部分是完全相同的三角形，每个三角形的底为$y$，高为$x-y$。
根据三角形面积公式，单个三角形的面积为$\frac{1}{2}(x-y)y$，
因此阴影部分的总面积为：$2×\frac{1}{2}(x-y)y = (x-y)y$。
(2) 当$x=6\ \mathrm{cm}$，$y=2\ \mathrm{cm}$时，将数值代入(1)所得的代数式计算：
$(x-y)y = 4×2 = 8\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $(x-y)y$；(2) $8\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积计算、列代数式、代数式求值
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际背景出题，既考查了基础的几何面积计算与代数式相关知识，也能让学生体会数学在传统工艺中的应用，解题关键是准确识别阴影部分的形状，正确对应三角形的底和高的长度。
【难度系数】
0.85
