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例1 如图,直线$ l $外有不重合的两点$ A,B $,在直线$ l $上求作一点$ C $,使得$ AC+BC $的长度最小,作法如下:
①作点$ B $关于直线$ l $的对称点$ B' $；
②连接$ AB' $与直线$ l $相交于点$ C $,则点$ C $为所求作的点.
在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是()
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【思路导析】利用“两点之间,线段最短”来求解最短路径问题,体现了转化思想.验证是不是最短路径时利用了三角形的两边之和大于第三边.
【请你解答】
①作点$ B $关于直线$ l $的对称点$ B' $；
②连接$ AB' $与直线$ l $相交于点$ C $,则点$ C $为所求作的点.
在解决这个问题时没有运用到的知识或思想方法是()
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
【思路导析】利用“两点之间,线段最短”来求解最短路径问题,体现了转化思想.验证是不是最短路径时利用了三角形的两边之和大于第三边.
【请你解答】
答案
D
解析
【分析】
本题需判断最短路径作图过程中未用到的知识，解题思路如下：首先梳理整个解题逻辑：第一步利用轴对称性质将BC转化为B'C，把求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C最小值的问题，这一步用到转化思想；第二步要使两条线段的和最小，依据“两点之间，线段最短”确定点C的位置；第三步验证点C为最优解时，可在直线l上任取一个异于C的点，构造三角形后利用“三角形两边之和大于第三边”证明该点对应的线段和更大。最后对比选项，排除已用到的知识即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项是否被用到：
1. 解题时将求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C最小值的问题，运用了转化思想，故A选项不符合题意；
2. 验证点C是使AC+BC最小的点时，在直线l上任取异于C的点C'，连接AC'、B'C'，可得AC'+BC'=AC'+B'C'，在△AC'B'中，根据三角形两边之和大于第三边，得AC'+B'C'＞AB'=AC+BC，证明了C点满足要求，故B选项不符合题意；
3. 确定点C位置时，要使AC+B'C的长度最小，依据“两点之间，线段最短”，连接AB'与直线l的交点即为所求点C，故C选项不符合题意；
4. 整个解题过程中，没有涉及“三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角”的相关知识，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
本题以经典的最短路径问题为载体，不仅考查对作图方法的掌握，还考查对作法背后的数学思想、几何原理的理解，要求同学们在学习过程中不仅要记结论，还要懂原理。
【难度系数】
0.7
本题需判断最短路径作图过程中未用到的知识，解题思路如下：首先梳理整个解题逻辑：第一步利用轴对称性质将BC转化为B'C，把求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C最小值的问题，这一步用到转化思想；第二步要使两条线段的和最小，依据“两点之间，线段最短”确定点C的位置；第三步验证点C为最优解时，可在直线l上任取一个异于C的点，构造三角形后利用“三角形两边之和大于第三边”证明该点对应的线段和更大。最后对比选项，排除已用到的知识即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项是否被用到：
1. 解题时将求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C最小值的问题，运用了转化思想，故A选项不符合题意；
2. 验证点C是使AC+BC最小的点时，在直线l上任取异于C的点C'，连接AC'、B'C'，可得AC'+BC'=AC'+B'C'，在△AC'B'中，根据三角形两边之和大于第三边，得AC'+B'C'＞AB'=AC+BC，证明了C点满足要求，故B选项不符合题意；
3. 确定点C位置时，要使AC+B'C的长度最小，依据“两点之间，线段最短”，连接AB'与直线l的交点即为所求点C，故C选项不符合题意；
4. 整个解题过程中，没有涉及“三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角”的相关知识，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
本题以经典的最短路径问题为载体，不仅考查对作图方法的掌握，还考查对作法背后的数学思想、几何原理的理解，要求同学们在学习过程中不仅要记结论，还要懂原理。
【难度系数】
0.7
例2 如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是选项中的（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）
【思路导析】解题关键是利用平移，将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】解题关键是利用平移，将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
D
解析
【分析】
首先明确桥的特征：桥必须与河岸垂直，因此桥的长度固定等于河宽，总路径AMNB的长度=AM+MN+NB，其中MN是定值，所以只需让AM+NB的和最小即可。接下来我们通过平移转化解决问题：将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，可将AM转化为与之相等的线段A'N，此时求AM+NB的最小值就转化为求A'N+NB的最小值，根据“两点之间线段最短”，连接A'B与靠近B的河岸的交点就是N的位置，再作垂线得到M，对应作图就是正确选项。
【解析】
1. 因为桥MN与河岸垂直，所以MN的长度等于河宽，为固定值，要使路径AMNB最短，只需保证AM+NB的和最小。
2. 将点A沿垂直于河岸的方向向河的一侧平移，平移距离等于河宽，得到点A'。根据平移的性质，平移前后对应线段相等，可得AM=A'N。
3. 此时AM+NB=A'N+NB，根据“两点之间，线段最短”，连接A'B，与靠近B点的河岸交于点N，过N作MN垂直于对岸河岸，垂足为M，此时A'N+NB取得最小值，对应的路径AMNB最短，符合该作图的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类的典型最短路径问题，解题核心是通过平移转化，将含固定长度的折线路径问题转化为两点之间线段最短的常规问题，熟练掌握平移转化的思路即可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
首先明确桥的特征：桥必须与河岸垂直，因此桥的长度固定等于河宽，总路径AMNB的长度=AM+MN+NB，其中MN是定值，所以只需让AM+NB的和最小即可。接下来我们通过平移转化解决问题：将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度，可将AM转化为与之相等的线段A'N，此时求AM+NB的最小值就转化为求A'N+NB的最小值，根据“两点之间线段最短”，连接A'B与靠近B的河岸的交点就是N的位置，再作垂线得到M，对应作图就是正确选项。
【解析】
1. 因为桥MN与河岸垂直，所以MN的长度等于河宽，为固定值，要使路径AMNB最短，只需保证AM+NB的和最小。
2. 将点A沿垂直于河岸的方向向河的一侧平移，平移距离等于河宽，得到点A'。根据平移的性质，平移前后对应线段相等，可得AM=A'N。
3. 此时AM+NB=A'N+NB，根据“两点之间，线段最短”，连接A'B，与靠近B点的河岸交于点N，过N作MN垂直于对岸河岸，垂足为M，此时A'N+NB取得最小值，对应的路径AMNB最短，符合该作图的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选址类的典型最短路径问题，解题核心是通过平移转化，将含固定长度的折线路径问题转化为两点之间线段最短的常规问题，熟练掌握平移转化的思路即可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
例3 如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN的周长的最小值是
5 cm,则∠AOB的度数是()
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
【思路导析】分别作点P关于OA,OB的对称点D,C,连接CD,分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD,如图所示.
∵点P关于OA的对称点为点D,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA.
∵点P关于OB的对称点为点C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB.
∴OC=OP=OD,∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COD.
∵△PMN的周长的最小值是5 cm,
∴PM+PN+MN=5.
∴DM+CN+MN=5,
即CD=5=OP.
∴OC=OD=CD=5,
即△OCD是等边三角形.
∴∠COD=60°.
∴∠AOB=30°.
5 cm,则∠AOB的度数是()
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
【思路导析】分别作点P关于OA,OB的对称点D,C,连接CD,分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD,如图所示.
∵点P关于OA的对称点为点D,
∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA.
∵点P关于OB的对称点为点C,
∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB.
∴OC=OP=OD,∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COD.
∵△PMN的周长的最小值是5 cm,
∴PM+PN+MN=5.
∴DM+CN+MN=5,
即CD=5=OP.
∴OC=OD=CD=5,
即△OCD是等边三角形.
∴∠COD=60°.
∴∠AOB=30°.
答案
B。
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小值的问题，首先回忆最短路径的常用解法：遇到动点在两条射线上、求与定点构成的三角形周长最小值时，通过作定点关于两条射线的对称点，利用轴对称的性质将三角形的三边转化为两条对称点之间的线段，此时线段长度就是周长的最小值。接下来根据轴对称的性质得到OC=OD=OP，再结合已知的最小周长等于OP的长度，可推出△OCD是等边三角形，最后利用角的倍数关系即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD。
1. 根据轴对称的性质：
点P关于OA的对称点为D，因此$PM=DM$，$OP=OD$，$∠DOA=∠POA$；
点P关于OB的对称点为C，因此$PN=CN$，$OP=OC$，$∠COB=∠POB$。
2. 由此可得$OC=OP=OD$，$∠COD=∠DOA+∠POA+∠COB+∠POB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB$，即$∠AOB=\frac{1}{2}∠COD$。
3. △PMN的周长为$PM+PN+MN$，结合边的等量关系，周长可替换为$DM+CN+MN=CD$，此时CD的长度就是△PMN周长的最小值。
4. 已知△PMN周长最小值为5cm，$OP=5cm$，因此$CD=5cm=OP$，即$OC=OD=CD=5cm$，△OCD为等边三角形，可得$∠COD=60°$。
5. 代入角的关系计算：$∠AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径类问题的典型题型，解题核心是通过作对称点实现线段的等量转化，将动态的周长最小值转化为静态的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解，对逻辑转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长最小值的问题，首先回忆最短路径的常用解法：遇到动点在两条射线上、求与定点构成的三角形周长最小值时，通过作定点关于两条射线的对称点，利用轴对称的性质将三角形的三边转化为两条对称点之间的线段，此时线段长度就是周长的最小值。接下来根据轴对称的性质得到OC=OD=OP，再结合已知的最小周长等于OP的长度，可推出△OCD是等边三角形，最后利用角的倍数关系即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD。
1. 根据轴对称的性质：
点P关于OA的对称点为D，因此$PM=DM$，$OP=OD$，$∠DOA=∠POA$；
点P关于OB的对称点为C，因此$PN=CN$，$OP=OC$，$∠COB=∠POB$。
2. 由此可得$OC=OP=OD$，$∠COD=∠DOA+∠POA+∠COB+∠POB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB$，即$∠AOB=\frac{1}{2}∠COD$。
3. △PMN的周长为$PM+PN+MN$，结合边的等量关系，周长可替换为$DM+CN+MN=CD$，此时CD的长度就是△PMN周长的最小值。
4. 已知△PMN周长最小值为5cm，$OP=5cm$，因此$CD=5cm=OP$，即$OC=OD=CD=5cm$，△OCD为等边三角形，可得$∠COD=60°$。
5. 代入角的关系计算：$∠AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径类问题的典型题型，解题核心是通过作对称点实现线段的等量转化，将动态的周长最小值转化为静态的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解，对逻辑转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
