登录
1.如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D都在直线a上，PB⊥a于点B，下列线段中长度最短的是()
A.PA
B.PC
C.PB
D.PD
A.PA
B.PC
C.PB
D.PD
答案
C
解析
【分析】要判断几条线段中长度最短的，首先梳理已知条件：P是直线a外的点，PB垂直于直线a，说明PB是点P到直线a的垂线段，PA、PC、PD都是点P到直线a的斜线段。根据已学的线段性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此只需识别出垂线段就能得到答案。
【解析】根据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。本题中PB是点P到直线a的垂线段，PA、PC、PD均为斜线段，因此长度最短的线段是PB。
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【点评】本题是对垂线段性质的直接考查，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.9
【解析】根据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。本题中PB是点P到直线a的垂线段，PA、PC、PD均为斜线段，因此长度最短的线段是PB。
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【点评】本题是对垂线段性质的直接考查，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.9
2.某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线(虚线)l表示小河边，P,Q两点表示村庄，线段(实线)表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是()
答案
解：根据轴对称的性质和“两点之间，线段最短”的原理：
要在直线l上找一点M，使得PM+MQ的长度最小，需作点P关于直线l的对称点C，连接CQ，CQ与直线l的交点即为所求的点M，此时PM=CM，因此PM+MQ=CM+MQ=CQ，由两点之间线段最短可知，此时总管道长度最短。
对比四个选项的作图，只有选项C符合上述正确的作图逻辑。
答：所需管道最短的是C。
要在直线l上找一点M，使得PM+MQ的长度最小，需作点P关于直线l的对称点C，连接CQ，CQ与直线l的交点即为所求的点M，此时PM=CM，因此PM+MQ=CM+MQ=CQ，由两点之间线段最短可知，此时总管道长度最短。
对比四个选项的作图，只有选项C符合上述正确的作图逻辑。
答：所需管道最短的是C。
解析
【分析】
我们需要解决的是在直线l（小河）上找一点M，使得管道总长度PM+MQ最短的问题。首先观察到P、Q两个村庄在直线l的同侧，这类同侧两点到直线上一点的距离和最小问题，核心思路是利用轴对称做转化：将其中一个点关于直线l对称，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再依据“两点之间线段最短”确定最短路径，最后对比四个选项的作图是否符合该逻辑即可。
【解析】
要使PM+MQ的长度最短，推理过程如下：
1. 由于P、Q在直线l的同侧，先作点P关于直线l的对称点C，根据轴对称的性质，直线l上任意一点到P和到C的距离相等，即PM=CM；
2. 此时PM+MQ=CM+MQ，根据“两点之间，线段最短”的原理，当C、M、Q三点共线时，CM+MQ的长度最小，等于线段CQ的长度；
3. 因此连接CQ，CQ与直线l的交点就是所求的水泵站位置M。
对比四个选项：选项A仅满足PM垂直l、选项D仅满足QM垂直l，均不符合上述作图逻辑；选项B是作PQ的垂直平分线，也不符合要求；只有选项C的作图是正确的。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查转化思想的应用，通过轴对称将同侧点的路径和问题转化为两点之间的线段问题，掌握该类题型的固定作图方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
我们需要解决的是在直线l（小河）上找一点M，使得管道总长度PM+MQ最短的问题。首先观察到P、Q两个村庄在直线l的同侧，这类同侧两点到直线上一点的距离和最小问题，核心思路是利用轴对称做转化：将其中一个点关于直线l对称，把两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再依据“两点之间线段最短”确定最短路径，最后对比四个选项的作图是否符合该逻辑即可。
【解析】
要使PM+MQ的长度最短，推理过程如下：
1. 由于P、Q在直线l的同侧，先作点P关于直线l的对称点C，根据轴对称的性质，直线l上任意一点到P和到C的距离相等，即PM=CM；
2. 此时PM+MQ=CM+MQ，根据“两点之间，线段最短”的原理，当C、M、Q三点共线时，CM+MQ的长度最小，等于线段CQ的长度；
3. 因此连接CQ，CQ与直线l的交点就是所求的水泵站位置M。
对比四个选项：选项A仅满足PM垂直l、选项D仅满足QM垂直l，均不符合上述作图逻辑；选项B是作PQ的垂直平分线，也不符合要求；只有选项C的作图是正确的。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心考查转化思想的应用，通过轴对称将同侧点的路径和问题转化为两点之间的线段问题，掌握该类题型的固定作图方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示的4×4正方形网格中,有A,B两点均在格点上,在直线a上求一点P,使PA + PB最小,则点P应选在()
A.C处
B.D处
C.E处
D.F处
A.C处
B.D处
C.E处
D.F处
答案
A
解析
【分析】
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：1. 首先判断A、B两点在直线a的同侧，要在直线a上找一点P使PA+PB最小，需要利用轴对称的性质转化线段：先作其中一个点关于直线a的对称点，将同侧两点转化为异侧两点；2. 根据“两点之间线段最短”的原理，连接对称点与另一个点，该线段与直线a的交点就是所求的点P，此时PA+PB的和等于这条线段的长度，为最小值。
【解析】
第一步：作点A关于直线a的对称点A'，根据轴对称的性质可知，直线a上任意一点到A和A'的距离相等，即PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB；
第二步：根据两点之间线段最短，PA'+PB的最小值为线段A'B的长度，因此线段A'B与直线a的交点即为满足条件的点P；
第三步：观察网格特征，连接A'B后可发现，A'B与直线a的交点为C点，因此点P应选在C处。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础常考题，核心考查“将军饮马”模型的应用，解题的关键是掌握通过对称将同侧两点转化为异侧两点，结合线段最短的性质找到最优解。
【难度系数】
0.7
这是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题思路如下：1. 首先判断A、B两点在直线a的同侧，要在直线a上找一点P使PA+PB最小，需要利用轴对称的性质转化线段：先作其中一个点关于直线a的对称点，将同侧两点转化为异侧两点；2. 根据“两点之间线段最短”的原理，连接对称点与另一个点，该线段与直线a的交点就是所求的点P，此时PA+PB的和等于这条线段的长度，为最小值。
【解析】
第一步：作点A关于直线a的对称点A'，根据轴对称的性质可知，直线a上任意一点到A和A'的距离相等，即PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB；
第二步：根据两点之间线段最短，PA'+PB的最小值为线段A'B的长度，因此线段A'B与直线a的交点即为满足条件的点P；
第三步：观察网格特征，连接A'B后可发现，A'B与直线a的交点为C点，因此点P应选在C处。
【答案】
A
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础常考题，核心考查“将军饮马”模型的应用，解题的关键是掌握通过对称将同侧两点转化为异侧两点，结合线段最短的性质找到最优解。
【难度系数】
0.7
4.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4 cm,面积为16 cm²,腰AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AB于点F,D为BC的中点,M为直线EF上的动点,则△CDM的周长的最小值为()
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
第4题图 第5题图
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
第4题图 第5题图
答案
D
解析
【分析】
要计算△CDM周长的最小值，首先拆分周长：△CDM的周长=CD+DM+CM，其中CD是固定值（D为BC中点，BC长度已知），因此只需找到DM+CM的最小值即可。结合EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，直线EF上的点M到A、C的距离相等，即CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值为线段AD的长度。再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，结合面积公式求出AD的长度，最后加上定值CD即可得到最小周长。
【解析】
1. 求定值CD：
已知BC=4cm，D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$。
2. 求AD的长度：
因为△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是底边BC上的高。
已知△ABC的面积为$16\mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入数据得：
$16=\frac{1}{2}×4× AD$，解得$AD=8\mathrm{cm}$。
3. 求DM+CM的最小值：
因为EF是AC的垂直平分线，M在EF上，根据线段垂直平分线的性质，可得$CM=AM$，因此$DM+CM=DM+AM$。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+AM$取得最小值，最小值等于AD的长度，即$8\mathrm{cm}$。
4. 计算最小周长：
△CDM的周长最小值为$CD + (DM+CM)_{\mathrm{最小}}=2+8=10\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 最短路径原理
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等腰三角形的性质和面积公式求解，需要学生熟练掌握相关几何性质并灵活运用转化思想。
【难度系数】
0.6
要计算△CDM周长的最小值，首先拆分周长：△CDM的周长=CD+DM+CM，其中CD是固定值（D为BC中点，BC长度已知），因此只需找到DM+CM的最小值即可。结合EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，直线EF上的点M到A、C的距离相等，即CM=AM，可将DM+CM转化为DM+AM。根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，DM+AM的和最小，最小值为线段AD的长度。再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是△ABC底边BC上的高，结合面积公式求出AD的长度，最后加上定值CD即可得到最小周长。
【解析】
1. 求定值CD：
已知BC=4cm，D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$。
2. 求AD的长度：
因为△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是底边BC上的高。
已知△ABC的面积为$16\mathrm{cm}^2$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入数据得：
$16=\frac{1}{2}×4× AD$，解得$AD=8\mathrm{cm}$。
3. 求DM+CM的最小值：
因为EF是AC的垂直平分线，M在EF上，根据线段垂直平分线的性质，可得$CM=AM$，因此$DM+CM=DM+AM$。
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$DM+AM$取得最小值，最小值等于AD的长度，即$8\mathrm{cm}$。
4. 计算最小周长：
△CDM的周长最小值为$CD + (DM+CM)_{\mathrm{最小}}=2+8=10\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 最短路径原理
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题核心是利用垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等腰三角形的性质和面积公式求解，需要学生熟练掌握相关几何性质并灵活运用转化思想。
【难度系数】
0.6
