5.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为()

A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$

D

【分析】
要使△AMN的周长最小，需利用轴对称性质将三角形三边转化为同一直线上的线段，依据“两点之间线段最短”确定M、N的位置，再结合轴对称的角度相等性质、三角形外角性质计算目标角度和。具体思路：①分别作点A关于BC、CD的对称点；②连接两个对称点，与BC、CD的交点即为所求M、N，此时△AMN周长最小；③利用角度关系推导∠AMN、∠ANM与已知角∠BAD的关联，计算最终结果。
【解析】
解：作点A关于BC的对称点$A'$，关于CD的对称点$A''$，连接$A'A''$，交BC于M，交CD于N，此时△AMN的周长最小。
由轴对称的性质可得：$∠ A'=∠ MAA'$，$∠ A''=∠ NAA''$，$AM=A'M$，$AN=A''N$。
已知$∠ BAD=110°$，在$△ AA'A''$中，$∠ A'+∠ A''=180°-∠ BAD=180°-110°=70°$。
根据三角形外角的性质：
$∠ AMN$是$△ A'AM$的外角，因此$∠ AMN=∠ A'+∠ MAA'=2∠ A'$；
$∠ ANM$是$△ A''AN$的外角，因此$∠ ANM=∠ A''+∠ NAA''=2∠ A''$。
所以$∠ AMN+∠ ANM=2(∠ A'+∠ A'')=2×70°=140°$。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形外角性质
【点评】
本题结合最短路径构造和角度推导考查几何综合应用能力，解题的核心是掌握利用轴对称转化线段求最短周长的方法，能灵活运用三角形角度性质进行计算。
【难度系数】
0.6

6.如图，B,C两点关于y轴对称，点A的坐标为(0,b)，点C的坐标为(-a,-a-b)。
(1)点B的坐标为；
(2)用尺规在x轴上作出点P，使AP+PB的值最小；此时∠OAP的度数为多少？

解：
(1) ∵ B,C两点关于y轴对称，点C的坐标为$(-a,-a-b)$，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴ 点B的坐标为$\boldsymbol{(a,-a-b)}$。
(2) 作图步骤：
① 作点A关于x轴的对称点$A'$；
② 连接$A'B$，与x轴交于点P，点P即为使$AP+PB$的值最小的点。
求$∠ OAP$的度数：
∵ 点A与点$A'$关于x轴对称，$A(0,b)$，
∴ $A'(0,-b)$，$AP=A'P$，$OA=OA'=b$。
过点B作$BD⊥ y$轴，垂足为D，
∵ $B(a,-a-b)$，
∴ $BD=a$，点D的坐标为$(0,-a-b)$，
∴ $A'D = |-b - (-a -b)| = a$，
∴ $BD = A'D$，
又∵ $∠ BDA' = 90°$，
∴ $△ A'DB$是等腰直角三角形，$∠ BA'D = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ A'OP$中，$∠ A'OP=90°$，$∠ OA'P=45°$，
∴ $∠ A'PO=45°$，$OP=OA'=b$，
∴ $OA=OP=b$，
又∵ $∠ AOP=90°$，
∴ $△ AOP$是等腰直角三角形，
∴ $∠ OAP=45°$。

【分析】
(1) 第一问考查关于y轴对称的点的坐标特征，回忆规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，直接代入点C的坐标转换即可得到点B的坐标。
(2) 第二问属于最短路径问题，根据“两点之间线段最短”，要在x轴上找P使AP+PB最小，只需作点A关于x轴的对称点A'，将AP转化为A'P，此时AP+PB=A'P+PB，当A'、P、B三点共线时和最小，连接A'B与x轴的交点就是所求的点P。求∠OAP的度数时，通过构造直角三角形，证明相关三角形是等腰直角三角形，即可推导得到角度。
【解析】
(1)
∵ B、C两点关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，已知点C的坐标为$(-a,-a-b)$，
∴ 点B的横坐标为$-(-a)=a$，纵坐标和C点相同为$-a-b$，即点B坐标为$(a,-a-b)$。
(2) 作图步骤：
① 作点A关于x轴的对称点$A'$；
② 连接$A'B$，与x轴的交点即为所求的点P。
求∠OAP的度数：
∵ 点A与点$A'$关于x轴对称，A的坐标为$(0,b)$，
∴ $A'$的坐标为$(0,-b)$，且$AP=A'P$，$OA=OA'=b$。
过点B作$BD⊥y$轴，垂足为D，
∵ $B(a,-a-b)$，
∴ BD的长度为$a$，D点坐标为$(0,-a-b)$，
∴ $A'D = |-b - (-a -b)| = a$，可得$BD=A'D$，
又
∵ $∠BDA'=90°$，
∴ $△A'DB$是等腰直角三角形，$∠BA'D=45°$。
在$\mathrm{Rt}△A'OP$中，$∠A'OP=90°$，$∠OA'P=∠BA'D=45°$，
∴ $∠A'PO=45°$，则$OP=OA'=b$，
∴ $OA=OP=b$，又$∠AOP=90°$，
∴ $△AOP$是等腰直角三角形，
∴ $∠OAP=45°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a,-a-b)}$；
(2) 作图见解析步骤，∠OAP的度数为$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；最短路径问题；等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题将平面直角坐标系与轴对称的应用结合，既考查了基础的坐标变换规律，又考查了最短路径的构造方法，同时需要结合等腰直角三角形的性质推导角度，综合性较强，能很好地检验对轴对称相关知识的掌握程度和几何作图、推理能力。
【难度系数】
0.6

7. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,若△ABC为等边三角形,AD⊥AB,AD=CD=4.
(1)求证:BD垂直平分AC；
(2)求BE的长；
(3)若点F为BC的中点,请在BD上找出一点P,使PC+PF取得最小值,并求出这个最小值.

(1) 证明：
∵ $△ ABC$ 为等边三角形，
∴ $AB=BC$，
∴ 点$B$在$AC$的垂直平分线上。
又∵ $AD=CD$，
∴ 点$D$在$AC$的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ $BD$是$AC$的垂直平分线，即$BD$垂直平分$AC$。
---
(2) 解：
∵ $BD$垂直平分$AC$，
∴ $DE⊥ AC$，$AE=EC$。
∵ $AD⊥ AB$，$∠ BAC=60°$，
∴ $∠ BAD=90°$，
$∠ DAE = ∠ BAD - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$AD=4$，$∠ DAE=30°$，
∴ $DE=\frac{1}{2}AD=2$，
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $AC=2AE=4\sqrt{3}$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$BE⊥ AC$，
∴ $BE$是等边$△ ABC$中$AC$边上的高，
$BE=AB·\sin60°=AC·\sin60°=4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$。
---
(3) 解：
连接$AF$，交$BD$于点$P$，点$P$即为所求使$PC+PF$取最小值的点。
∵ $BD$垂直平分$AC$，
∴ 点$C$与点$A$关于$BD$对称，
∴ $PC=PA$，
∴ $PC+PF=PA+PF$。
根据两点之间线段最短，当$A$、$P$、$F$三点共线时，$PA+PF$取得最小值，即最小值为线段$AF$的长度。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$F$是$BC$的中点，
∴ $AF$是等边$△ ABC$中$BC$边上的高，
$AF=AC·\sin60°=4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$。
答：$PC+PF$的最小值为$6$。

【分析】
(1) 要证BD垂直平分AC，需用到线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。由等边三角形性质得AB=BC，可知点B在AC的垂直平分线上；由已知AD=CD，可知点D也在AC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，即可证得结论。
(2) 求BE长时，先利用(1)的结论得BD⊥AC、AE=EC，结合AD⊥AB和等边三角形的内角为60°，算出∠DAE=30°，在Rt△ADE中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质得DE的长，再用勾股定理算出AE，进而得到AC的长度，BE是等边△ABC的高，用勾股定理即可求出BE。
(3) 求PC+PF的最小值属于最短路径问题，因为BD是AC的垂直平分线，所以点C和点A关于BD对称，因此PC=PA，可将PC+PF转化为PA+PF，根据两点之间线段最短，当A、P、F三点共线时和最小，最小值就是等边△ABC的高AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC为等边三角形，
∴ AB=BC，
∴ 点B在AC的垂直平分线上。
又
∵ AD=CD，
∴ 点D在AC的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ BD是AC的垂直平分线，即BD垂直平分AC。
(2) 解：
∵ BD垂直平分AC，
∴ DE⊥AC，AE=EC。
∵ AD⊥AB，∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=90°，
∠DAE = ∠BAD - ∠BAC = 90° - 60° = 30°。
在Rt△ADE中，AD=4，∠DAE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$AD=2，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ AC=2AE=$4\sqrt{3}$。
∵ △ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴ AB=AC=$4\sqrt{3}$，在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$。
(3) 解：
连接AF，交BD于点P，该点即为使PC+PF取得最小值的点。
∵ BD垂直平分AC，
∴ 点C与点A关于BD对称，
∴ PC=PA，
∴ PC+PF=PA+PF。
根据两点之间线段最短，当A、P、F三点共线时，PA+PF取得最小值，最小值为线段AF的长度。
∵ △ABC是等边三角形，F是BC的中点，
∴ AF是等边△ABC中BC边上的高，和BE长度相等，即AF=6。
即PC+PF的最小值为6。
【答案】
(1) BD垂直平分AC，证明成立；
(2) BE的长为6；
(3) AF与BD的交点即为所求点P，PC+PF的最小值为6。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定与性质
2. 等边三角形的性质
3. 最短路径问题
【点评】
本题三个小问层层递进，第一问是基础，考查线段垂直平分线的判定；第二问结合特殊直角三角形、等边三角形的性质计算线段长度，需要熟练掌握特殊三角形的边角关系；第三问考查转化思想，利用轴对称将折线和转化为两点之间的线段求解，侧重对几何基础性质的应用和思维灵活性的考查。
【难度系数】
0.6