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一、选择题
1. 已知点$P(a-1,b+2)$与点$Q(2a-4,2)$关于$x$轴对称，则$(a+b)^{2025}$的值为()
A.1
B.$-1$
C.2025
D.$-2025$
1. 已知点$P(a-1,b+2)$与点$Q(2a-4,2)$关于$x$轴对称，则$(a+b)^{2025}$的值为()
A.1
B.$-1$
C.2025
D.$-2025$
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要明确关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。我们可以依据这个特征分别列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的值后，再代入代数式$(a+b)^{2025}$计算结果即可。
【解析】
解：
∵点$P(a-1,b+2)$与点$Q(2a-4,2)$关于$x$轴对称
根据关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}a-1=2a-4\\b+2=-2\end{cases}$
解第一个方程：
移项得$2a-a=4-1$，解得$a=3$
解第二个方程：
移项得$b=-2-2$，解得$b=-4$
将$a=3$，$b=-4$代入得：
$a+b=3+(-4)=-1$
∴$(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；解一元一次方程；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对称点的坐标变化规律与乘方运算的结合，解题关键是准确区分x轴、y轴对称对应的坐标变化特点，避免混淆规律导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。我们可以依据这个特征分别列出关于a、b的一元一次方程，解出a、b的值后，再代入代数式$(a+b)^{2025}$计算结果即可。
【解析】
解：
∵点$P(a-1,b+2)$与点$Q(2a-4,2)$关于$x$轴对称
根据关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数，可得：
$\begin{cases}a-1=2a-4\\b+2=-2\end{cases}$
解第一个方程：
移项得$2a-a=4-1$，解得$a=3$
解第二个方程：
移项得$b=-2-2$，解得$b=-4$
将$a=3$，$b=-4$代入得：
$a+b=3+(-4)=-1$
∴$(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；解一元一次方程；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对称点的坐标变化规律与乘方运算的结合，解题关键是准确区分x轴、y轴对称对应的坐标变化特点，避免混淆规律导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，若按如图的尺规作图方法作出线段$BD$，则下列结论错误的是()
A.$AD=BD$
B.$∠ BDC=72°$
C.$S_{△ ABD}: S_{△ BCD}=BC: AC$
D.$△ BCD$的周长$=AB+BC$
A.$AD=BD$
B.$∠ BDC=72°$
C.$S_{△ ABD}: S_{△ BCD}=BC: AC$
D.$△ BCD$的周长$=AB+BC$
答案
C
解析
【分析】
首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质计算出△ABC的两个底角度数，再根据尺规作图的痕迹判断出BD是∠ABC的角平分线，得到各角的度数后，结合等腰三角形判定、外角性质、三角形面积比规律、周长计算等知识逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$
∴$∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$
由尺规作图痕迹可知，BD平分$∠ABC$，即$∠ABD=∠DBC=36°$
A选项：
∵$∠A=∠ABD=36°$，根据等角对等边可得$AD=BD$，故A正确，不符合题意；
B选项：$∠BDC$是△ABD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，得$∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°$，故B正确，不符合题意；
C选项：△ABD和△BCD为同高三角形（公共高为点B到AC边的垂线段长度），因此面积比等于底边长的比，即$S_{△ ABD}:S_{△ BCD}=AD:DC$；若以D为顶点，BD是角平分线，D到AB、BC的距离相等，面积比为$AB:BC$，两种情况均不等于$BC:AC$，故C错误，符合题意；
D选项：△BCD的周长为$BC+CD+BD$，由A得$BD=AD$，因此$BD+CD=AD+CD=AC$，又
∵$AC=AB$，
∴周长=$BC+AC=AB+BC$，故D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图，三角形面积比
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先识别尺规作图的结果，再结合等腰三角形的相关性质逐一推导判断，注意掌握等高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律，避免在判断面积比时出错。
【难度系数】
0.7
首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质计算出△ABC的两个底角度数，再根据尺规作图的痕迹判断出BD是∠ABC的角平分线，得到各角的度数后，结合等腰三角形判定、外角性质、三角形面积比规律、周长计算等知识逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AB=AC$，$∠A=36°$
∴$∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$
由尺规作图痕迹可知，BD平分$∠ABC$，即$∠ABD=∠DBC=36°$
A选项：
∵$∠A=∠ABD=36°$，根据等角对等边可得$AD=BD$，故A正确，不符合题意；
B选项：$∠BDC$是△ABD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，得$∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°$，故B正确，不符合题意；
C选项：△ABD和△BCD为同高三角形（公共高为点B到AC边的垂线段长度），因此面积比等于底边长的比，即$S_{△ ABD}:S_{△ BCD}=AD:DC$；若以D为顶点，BD是角平分线，D到AB、BC的距离相等，面积比为$AB:BC$，两种情况均不等于$BC:AC$，故C错误，符合题意；
D选项：△BCD的周长为$BC+CD+BD$，由A得$BD=AD$，因此$BD+CD=AD+CD=AC$，又
∵$AC=AB$，
∴周长=$BC+AC=AB+BC$，故D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的尺规作图，三角形面积比
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先识别尺规作图的结果，再结合等腰三角形的相关性质逐一推导判断，注意掌握等高三角形的面积比等于对应底边长的比这一规律，避免在判断面积比时出错。
【难度系数】
0.7
3.如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(3,3)$,$B(0,5)$,若在坐标轴上找一点$C$,使得$△ ABC$是等腰三角形,则这样的点$C$有()
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案
D
解析
【分析】
要找出坐标轴上使得△ABC为等腰三角形的点C，需分类讨论等腰三角形的三种情况：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边，C为顶角顶点。分别计算每种情况下交点的数量，排除重复的点后求和即可。
【解析】
首先计算AB的长度：已知A(3,3)，B(0,5)，由勾股定理得$AB=\sqrt{(3-0)^2+(3-5)^2}=\sqrt{13}$。
1. 当AB=AC（A为顶角顶点）时：
以A为圆心，AB长为半径画弧，交坐标轴：
交x轴：设C(x,0)，则$(x-3)^2+(0-3)^2=13$，解得x=1或x=5，对应点(1,0)、(5,0)，共2个；
交y轴：设C(0,y)，则$(0-3)^2+(y-3)^2=13$，解得y=5（即点B，舍去）或y=1，对应点(0,1)，共1个；
本类共3个符合条件的点。
2. 当AB=BC（B为顶角顶点）时：
以B为圆心，AB长为半径画弧，交坐标轴：
交x轴：设C(x,0)，则$x^2+(0-5)^2=13$，$x^2=-12$无实根，无交点；
交y轴：设C(0,y)，则$(y-5)^2=13$，解得$y=5+\sqrt{13}$或$y=5-\sqrt{13}$，共2个符合条件的点；
本类共2个符合条件的点。
3. 当AC=BC（AB为底边，C为顶角顶点）时：
作AB的垂直平分线，交坐标轴：
AB中点为$(1.5,4)$，AB斜率为$-\frac{2}{3}$，故垂直平分线斜率为$\frac{3}{2}$，方程为$y-4=\frac{3}{2}(x-1.5)$，整理得$y=\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$。
交x轴：令y=0，解得$x=-\frac{7}{6}$，对应点$(-\frac{7}{6},0)$，1个；
交y轴：令x=0，解得$y=\frac{7}{4}$，对应点$(0,\frac{7}{4})$，1个；
本类共2个符合条件的点。
三类合计$3+2+2=7$个点。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考察分类讨论的数学思想，解题时需全面考虑等腰三角形腰和底边的不同情况，避免漏算或重复计数，同时要结合坐标系的特点验证交点的合理性。
【难度系数】
0.6
要找出坐标轴上使得△ABC为等腰三角形的点C，需分类讨论等腰三角形的三种情况：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边，C为顶角顶点。分别计算每种情况下交点的数量，排除重复的点后求和即可。
【解析】
首先计算AB的长度：已知A(3,3)，B(0,5)，由勾股定理得$AB=\sqrt{(3-0)^2+(3-5)^2}=\sqrt{13}$。
1. 当AB=AC（A为顶角顶点）时：
以A为圆心，AB长为半径画弧，交坐标轴：
交x轴：设C(x,0)，则$(x-3)^2+(0-3)^2=13$，解得x=1或x=5，对应点(1,0)、(5,0)，共2个；
交y轴：设C(0,y)，则$(0-3)^2+(y-3)^2=13$，解得y=5（即点B，舍去）或y=1，对应点(0,1)，共1个；
本类共3个符合条件的点。
2. 当AB=BC（B为顶角顶点）时：
以B为圆心，AB长为半径画弧，交坐标轴：
交x轴：设C(x,0)，则$x^2+(0-5)^2=13$，$x^2=-12$无实根，无交点；
交y轴：设C(0,y)，则$(y-5)^2=13$，解得$y=5+\sqrt{13}$或$y=5-\sqrt{13}$，共2个符合条件的点；
本类共2个符合条件的点。
3. 当AC=BC（AB为底边，C为顶角顶点）时：
作AB的垂直平分线，交坐标轴：
AB中点为$(1.5,4)$，AB斜率为$-\frac{2}{3}$，故垂直平分线斜率为$\frac{3}{2}$，方程为$y-4=\frac{3}{2}(x-1.5)$，整理得$y=\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$。
交x轴：令y=0，解得$x=-\frac{7}{6}$，对应点$(-\frac{7}{6},0)$，1个；
交y轴：令x=0，解得$y=\frac{7}{4}$，对应点$(0,\frac{7}{4})$，1个；
本类共2个符合条件的点。
三类合计$3+2+2=7$个点。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题重点考察分类讨论的数学思想，解题时需全面考虑等腰三角形腰和底边的不同情况，避免漏算或重复计数，同时要结合坐标系的特点验证交点的合理性。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A$为钝角，$AB = 20\ \mathrm{cm}$，$AC = 12\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$B$出发以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，点$Q$同时从点$A$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。当$△ APQ$是等腰三角形时，运动的时间是()
A.$2.5\ \mathrm{s}$
B.$3\ \mathrm{s}$
C.$3.5\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$
A.$2.5\ \mathrm{s}$
B.$3\ \mathrm{s}$
C.$3.5\ \mathrm{s}$
D.$4\ \mathrm{s}$
答案
D
解析
【分析】
首先设运动的时间为t秒，先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出线段AP、AQ的长度。由于∠A是钝角，在△APQ中最多只能有一个钝角，因此当△APQ是等腰三角形时，∠A只能作为顶角，即两腰为AP和AQ，满足AP=AQ，据此列方程求解，最后验证所求时间是否符合动点停止的条件即可。
【解析】
设运动的时间为$ t\ \mathrm{s} $。
根据题意得：
点P运动的路程$ BP = 3t\ \mathrm{cm} $，因此$ AP = AB - BP = (20 - 3t)\ \mathrm{cm} $；
点Q运动的路程$ AQ = 2t\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ A $为钝角，一个三角形中最多有1个钝角，所以△APQ为等腰三角形时，$ ∠ A $只能是顶角，即等腰三角形的两腰为AP和AQ，因此$ AP = AQ $。
列方程：$ 20 - 3t = 2t $
移项得：$ 5t = 20 $
解得：$ t = 4 $
验证停止条件：点P到达A点的时间为$ 20÷3\approx6.67\ \mathrm{s} $，点Q到达C点的时间为$ 12÷2=6\ \mathrm{s} $，$ 4\ \mathrm{s}＜6\ \mathrm{s} $，符合运动要求。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形与动点结合的基础题型，解题的核心是根据钝角的性质确定等腰三角形的腰，避免多余的分类讨论，同时要注意检验计算结果是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
首先设运动的时间为t秒，先根据点P、Q的运动速度和方向，用含t的代数式分别表示出线段AP、AQ的长度。由于∠A是钝角，在△APQ中最多只能有一个钝角，因此当△APQ是等腰三角形时，∠A只能作为顶角，即两腰为AP和AQ，满足AP=AQ，据此列方程求解，最后验证所求时间是否符合动点停止的条件即可。
【解析】
设运动的时间为$ t\ \mathrm{s} $。
根据题意得：
点P运动的路程$ BP = 3t\ \mathrm{cm} $，因此$ AP = AB - BP = (20 - 3t)\ \mathrm{cm} $；
点Q运动的路程$ AQ = 2t\ \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ A $为钝角，一个三角形中最多有1个钝角，所以△APQ为等腰三角形时，$ ∠ A $只能是顶角，即等腰三角形的两腰为AP和AQ，因此$ AP = AQ $。
列方程：$ 20 - 3t = 2t $
移项得：$ 5t = 20 $
解得：$ t = 4 $
验证停止条件：点P到达A点的时间为$ 20÷3\approx6.67\ \mathrm{s} $，点Q到达C点的时间为$ 12÷2=6\ \mathrm{s} $，$ 4\ \mathrm{s}＜6\ \mathrm{s} $，符合运动要求。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是等腰三角形与动点结合的基础题型，解题的核心是根据钝角的性质确定等腰三角形的腰，避免多余的分类讨论，同时要注意检验计算结果是否符合实际运动的取值范围。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,$EF$垂直平分$BC$,点$P$为直线$EF$上的任一点,则$AP+BP$的最小值是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
要解决AP+BP的最小值问题，首先利用垂直平分线的性质转化线段：EF是BC的垂直平分线，因此垂直平分线上任意一点P到B、C的距离相等，即BP=CP，此时AP+BP可转化为AP+CP。再根据两点之间线段最短的原理，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，最小值即为线段AC的长度。
【解析】
解：
∵EF垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线EF对称，根据垂直平分线的性质，对直线EF上任意点P，都有BP=CP。
∴AP+BP = AP+CP。
根据两点之间线段最短，当P为AC与直线EF的交点时，AP+CP取得最小值，最小值等于AC的长度。
已知AC=4，因此AP+BP的最小值是4。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的最短路径类题目，解题关键是借助垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条线段和的最小值问题转化为两点之间的线段长度求解，掌握轴对称转化线段的思路是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决AP+BP的最小值问题，首先利用垂直平分线的性质转化线段：EF是BC的垂直平分线，因此垂直平分线上任意一点P到B、C的距离相等，即BP=CP，此时AP+BP可转化为AP+CP。再根据两点之间线段最短的原理，当A、P、C三点共线时，AP+CP的和最小，最小值即为线段AC的长度。
【解析】
解：
∵EF垂直平分BC，
∴点B与点C关于直线EF对称，根据垂直平分线的性质，对直线EF上任意点P，都有BP=CP。
∴AP+BP = AP+CP。
根据两点之间线段最短，当P为AC与直线EF的交点时，AP+CP取得最小值，最小值等于AC的长度。
已知AC=4，因此AP+BP的最小值是4。
【答案】
B
【知识点】
垂直平分线的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的最短路径类题目，解题关键是借助垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将两条线段和的最小值问题转化为两点之间的线段长度求解，掌握轴对称转化线段的思路是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$∠ EPF$的顶点$P$是$BC$的中点,两边$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,且$∠ EPF=90°$,连接$AP$.当$∠ EPF$绕顶点$P$旋转时(点$E$不与点$A$,$B$重合),给出下列结论:①$AE=CF$;②$BE=AF$;③$2S_{四边形AEPF}=S_{△ ABC}$;④$BE+CF=EF$.其中正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用等腰直角三角形斜边中线的性质，得到边、角的等量关系，再结合∠EPF=90°推导相等的角，证明三角形全等，最后利用全等性质和三角形三边关系逐一验证4个结论是否成立。第一步先明确等腰直角三角形斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的一半，分三角形为两个全等的小等腰直角三角形；第二步找角的等量关系证明△APE与△CPF全等、△BPE与△APF全等，推导边相等的结论；第三步利用全等的面积相等推导四边形面积与原三角形面积的关系；第四步用三角形三边关系判断④是否成立。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=90°$，P是BC中点，
∴$AP=PC=PB$，$AP⊥BC$，$∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°$，
∵$∠EPF=90°$，
∴$∠APE + ∠APF = 90°$，
又
∵$∠CPF + ∠APF = ∠APC = 90°$，
∴$∠APE = ∠CPF$，
在$△ APE$和$△ CPF$中：
$\{\begin{array}{l}∠EAP=∠C=45°\\AP=CP\\∠APE=∠CPF\end{array} $
∴$△ APE≌△ CPF$（ASA），
∴$AE=CF$，故①正确；
同理可证$△ BPE≌△ APF$，
∴$BE=AF$，故②正确；
∵$△ APE≌△ CPF$，
∴$S_{△ APE}=S_{△ CPF}$，
∴$S_{四边形AEPF}=S_{△ APE}+S_{△ APF}=S_{△ CPF}+S_{△ APF}=S_{△ APC}$，
∵P是BC中点，
∴$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$2S_{四边形AEPF}=S_{△ ABC}$，故③正确；
∵$BE=AF$，$AE=CF$，
∴$BE+CF=AF+AE$，
在$△ AEF$中，由三角形三边关系得：$AE+AF＞EF$，
∴$BE+CF＞EF$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰直角三角形与旋转结合的综合题，核心是抓住旋转过程中不变的角相等，证明三角形全等，再利用全等的性质推导边、面积的等量关系，最后用三角形三边关系判断不等结论，易错点是容易忽略三边关系误判④正确。
【难度系数】
0.65
解题时先利用等腰直角三角形斜边中线的性质，得到边、角的等量关系，再结合∠EPF=90°推导相等的角，证明三角形全等，最后利用全等性质和三角形三边关系逐一验证4个结论是否成立。第一步先明确等腰直角三角形斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的一半，分三角形为两个全等的小等腰直角三角形；第二步找角的等量关系证明△APE与△CPF全等、△BPE与△APF全等，推导边相等的结论；第三步利用全等的面积相等推导四边形面积与原三角形面积的关系；第四步用三角形三边关系判断④是否成立。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=90°$，P是BC中点，
∴$AP=PC=PB$，$AP⊥BC$，$∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°$，
∵$∠EPF=90°$，
∴$∠APE + ∠APF = 90°$，
又
∵$∠CPF + ∠APF = ∠APC = 90°$，
∴$∠APE = ∠CPF$，
在$△ APE$和$△ CPF$中：
$\{\begin{array}{l}∠EAP=∠C=45°\\AP=CP\\∠APE=∠CPF\end{array} $
∴$△ APE≌△ CPF$（ASA），
∴$AE=CF$，故①正确；
同理可证$△ BPE≌△ APF$，
∴$BE=AF$，故②正确；
∵$△ APE≌△ CPF$，
∴$S_{△ APE}=S_{△ CPF}$，
∴$S_{四边形AEPF}=S_{△ APE}+S_{△ APF}=S_{△ CPF}+S_{△ APF}=S_{△ APC}$，
∵P是BC中点，
∴$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∴$2S_{四边形AEPF}=S_{△ ABC}$，故③正确；
∵$BE=AF$，$AE=CF$，
∴$BE+CF=AF+AE$，
在$△ AEF$中，由三角形三边关系得：$AE+AF＞EF$，
∴$BE+CF＞EF$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰直角三角形与旋转结合的综合题，核心是抓住旋转过程中不变的角相等，证明三角形全等，再利用全等的性质推导边、面积的等量关系，最后用三角形三边关系判断不等结论，易错点是容易忽略三边关系误判④正确。
【难度系数】
0.65
二、填空题
7.如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于.
7.如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于.
答案
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，高与两条腰构成直角三角形，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得此时顶角为30°。
② 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，高、腰的延长线与另一腰构成直角三角形，同理可得顶角的邻补角为30°，因此顶角为$180°-30°=150°$。
综上，这个等腰三角形的顶角等于$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。
① 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，高与两条腰构成直角三角形，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得此时顶角为30°。
② 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，高、腰的延长线与另一腰构成直角三角形，同理可得顶角的邻补角为30°，因此顶角为$180°-30°=150°$。
综上，这个等腰三角形的顶角等于$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的顶角可能为锐角、钝角或直角，结合腰上高的位置特征分析：直角等腰三角形腰上的高等于腰长，不符合题意，因此分顶角为锐角、钝角两种情况讨论。再利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，分别计算顶角的度数，避免漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，高、腰以及腰上高的顶点到顶角顶点的线段构成直角三角形，高为直角边，腰为斜边。已知高等于腰长的一半，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得此时顶角为30°。
② 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，高、腰的延长线以及另一腰构成直角三角形，高为直角边，腰为斜边。同理可得顶角的邻补角为30°，因此顶角为$180°-30°=150°$。
综上，这个等腰三角形的顶角为30°或150°。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形的高的定义
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形顶角为钝角时腰上的高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合三角形形状分类讨论高的位置，熟练运用直角三角形的性质求解，考查分类讨论的思想和对几何图形特征的掌握。
【难度系数】
0.5
解题时首先要明确等腰三角形的顶角可能为锐角、钝角或直角，结合腰上高的位置特征分析：直角等腰三角形腰上的高等于腰长，不符合题意，因此分顶角为锐角、钝角两种情况讨论。再利用直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，分别计算顶角的度数，避免漏解。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，高、腰以及腰上高的顶点到顶角顶点的线段构成直角三角形，高为直角边，腰为斜边。已知高等于腰长的一半，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得此时顶角为30°。
② 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部，高、腰的延长线以及另一腰构成直角三角形，高为直角边，腰为斜边。同理可得顶角的邻补角为30°，因此顶角为$180°-30°=150°$。
综上，这个等腰三角形的顶角为30°或150°。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；三角形的高的定义
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形顶角为钝角时腰上的高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时需结合三角形形状分类讨论高的位置，熟练运用直角三角形的性质求解，考查分类讨论的思想和对几何图形特征的掌握。
【难度系数】
0.5
8.如图，O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO=。
答案
$\boldsymbol{150°}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 由已知OA=OB=OC，可得△OAB、△OBC均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可推出∠OAB+∠OCB=∠ABC=70°；2. 利用四边形内角和为360°，先计算出四边形ABCD中∠BAD+∠BCD的总度数；3. 将∠BAD拆分为∠DAO+∠OAB，∠BCD拆分为∠DCO+∠OCB，代入总度数的式子，通过代换即可求出∠DAO+∠DCO的度数。
【解析】
解：
∵ OA=OB=OC
∴ ∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB
∵ ∠ABC=∠OBA+∠OBC=70°
∴ ∠OAB+∠OCB=∠OBA+∠OBC=70°
∵ 四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，且∠ABC=∠ADC=70°
∴ ∠BAD+∠BCD=360°-∠ABC-∠ADC=360°-70°-70°=220°
又
∵ ∠BAD=∠DAO+∠OAB，∠BCD=∠DCO+∠OCB
∴ ∠DAO+∠OAB + ∠DCO + ∠OCB =220°
将∠OAB+∠OCB=70°代入上式，得：
∠DAO+∠DCO +70°=220°
∴ ∠DAO+∠DCO=220°-70°=150°
【答案】
$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与多边形内角和的综合应用题，解题的核心是利用等腰三角形的等角关系实现角的代换，再结合四边形内角和公式通过拆分未知角求解，能够较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 由已知OA=OB=OC，可得△OAB、△OBC均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，可推出∠OAB+∠OCB=∠ABC=70°；2. 利用四边形内角和为360°，先计算出四边形ABCD中∠BAD+∠BCD的总度数；3. 将∠BAD拆分为∠DAO+∠OAB，∠BCD拆分为∠DCO+∠OCB，代入总度数的式子，通过代换即可求出∠DAO+∠DCO的度数。
【解析】
解：
∵ OA=OB=OC
∴ ∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB
∵ ∠ABC=∠OBA+∠OBC=70°
∴ ∠OAB+∠OCB=∠OBA+∠OBC=70°
∵ 四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，且∠ABC=∠ADC=70°
∴ ∠BAD+∠BCD=360°-∠ABC-∠ADC=360°-70°-70°=220°
又
∵ ∠BAD=∠DAO+∠OAB，∠BCD=∠DCO+∠OCB
∴ ∠DAO+∠OAB + ∠DCO + ∠OCB =220°
将∠OAB+∠OCB=70°代入上式，得：
∠DAO+∠DCO +70°=220°
∴ ∠DAO+∠DCO=220°-70°=150°
【答案】
$\boldsymbol{150°}$
【知识点】
等腰三角形的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与多边形内角和的综合应用题，解题的核心是利用等腰三角形的等角关系实现角的代换，再结合四边形内角和公式通过拆分未知角求解，能够较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
