登录
9.如图,在等边三角形ABC中,D为AB的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F.若AB=8,则线段BF的长为.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题思路：先利用等边三角形的性质得到各边长度和各内角度数，再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，依次计算AE、EC、FC的长度，最后通过线段和差求出BF的长。首先明确等边三角形三边相等、三个角都是60°，已知AB=8即可得到AC、BC的长度；再由D是AB中点得到AD的长，在Rt△ADE中算出AE，进而得到EC；接着在Rt△EFC中算出FC，最后用BC减FC得到BF。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴EC=AC-AE=8-2=6，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-∠C=30°，
∴FC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴BF=BC-FC=8-3=5。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是特殊三角形边角关系的应用，解题时需找准直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，逐步推导即可得出结果，能较好地考查学生对基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题思路：先利用等边三角形的性质得到各边长度和各内角度数，再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，依次计算AE、EC、FC的长度，最后通过线段和差求出BF的长。首先明确等边三角形三边相等、三个角都是60°，已知AB=8即可得到AC、BC的长度；再由D是AB中点得到AD的长，在Rt△ADE中算出AE，进而得到EC；接着在Rt△EFC中算出FC，最后用BC减FC得到BF。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴EC=AC-AE=8-2=6，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-∠C=30°，
∴FC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴BF=BC-FC=8-3=5。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是特殊三角形边角关系的应用，解题时需找准直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，逐步推导即可得出结果，能较好地考查学生对基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10.如图,在三角形纸片$ABC$中,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,沿过点$B$的直线折叠这张三角形纸片,使点$C$落在$AB$边上的点$E$处,折痕为$BD$,则$△ AED$的周长为$\mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
本题为折叠类几何计算题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，得到两组相等的对应边：$DC=DE$、$BC=BE$；其次将$△ AED$的周长拆解为$AE+AD+DE$，把$DE$替换为$DC$后，$AD+DE$可转化为$AC$的长度；再用$AB$的长度减去$BE$（即$BC$）的长度得到$AE$的长度；最后将$AE$与$AC$的长度相加即可求出$△ AED$的周长。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$DE=DC$，$BE=BC=5\ \mathrm{cm}$
第一步：计算$AE$的长度
$AE=AB-BE=8-5=3\ \mathrm{cm}$
第二步：转化$△ AED$的周长表达式
$△ AED$的周长$=AE+AD+DE$
$\because DE=DC$
$\therefore AD+DE=AD+DC=AC=6\ \mathrm{cm}$
第三步：计算周长
$△ AED$的周长$=AE+AC=3+6=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
折叠的性质；三角形周长计算；线段和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，将未知线段转化为已知长度的线段，简化周长的计算过程，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题为折叠类几何计算题，解题思路如下：首先根据折叠的性质，得到两组相等的对应边：$DC=DE$、$BC=BE$；其次将$△ AED$的周长拆解为$AE+AD+DE$，把$DE$替换为$DC$后，$AD+DE$可转化为$AC$的长度；再用$AB$的长度减去$BE$（即$BC$）的长度得到$AE$的长度；最后将$AE$与$AC$的长度相加即可求出$△ AED$的周长。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$DE=DC$，$BE=BC=5\ \mathrm{cm}$
第一步：计算$AE$的长度
$AE=AB-BE=8-5=3\ \mathrm{cm}$
第二步：转化$△ AED$的周长表达式
$△ AED$的周长$=AE+AD+DE$
$\because DE=DC$
$\therefore AD+DE=AD+DC=AC=6\ \mathrm{cm}$
第三步：计算周长
$△ AED$的周长$=AE+AC=3+6=9\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
折叠的性质；三角形周长计算；线段和差计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，将未知线段转化为已知长度的线段，简化周长的计算过程，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.如图，点A的坐标为(8,0)，B为y轴负半轴上一动点，分别以OB，AB为直角边在第三、第四象限作等腰直角三角形OBF、等腰直角三角形ABE，连接EF交y轴于点P，则PB的长为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题思路：题目给出两个等腰直角三角形，存在相等的边和直角，我们可以通过作辅助线构造全等三角形，将未知线段PB和已知长度的线段OA建立联系求解。第一步：过E作y轴的垂线，利用“同角的余角相等”找到等角，证明△AOB和△BCE全等，得到BC=OA=8、CE=OB；第二步：结合等腰直角△OBF的性质得到BF=CE，再证明△FBP和△ECP全等，得到PB=PC，即可推出PB为BC的一半，进而求出PB的长度。
【解析】
过点E作$EC⊥ y$轴于点C，则$∠ ECB=∠ AOB=90°$。
$\because△ ABE$是等腰直角三角形，$\therefore AB=BE$，$∠ ABE=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ EBC=180°-∠ ABE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OAB+∠ ABO=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ EBC$。
在$△ AOB$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BCE\\∠ OAB=∠ CBE\\AB=BE\end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ BCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=AO=8$，$OB=CE$。
$\because△ OBF$是等腰直角三角形，$\therefore OB=BF$，$∠ FBO=90°=∠ ECP$，
$\therefore BF=CE$。
在$△ FBP$和$△ ECP$中：
$\begin{cases}∠ FBP=∠ ECP\\∠ FPB=∠ EPC\\BF=CE\end{cases}$
$\therefore△ FBP≌△ ECP(\mathrm{AAS})$，
$\therefore PB=PC$，
$\therefore BC=PB+PC=2PB$，
$\therefore PB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题核心是合理构造垂线得到全等三角形，利用等腰直角三角形的边、角特征推导全等的条件，进而建立未知线段和已知线段的数量关系，对学生构造辅助线、运用全等性质的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路：题目给出两个等腰直角三角形，存在相等的边和直角，我们可以通过作辅助线构造全等三角形，将未知线段PB和已知长度的线段OA建立联系求解。第一步：过E作y轴的垂线，利用“同角的余角相等”找到等角，证明△AOB和△BCE全等，得到BC=OA=8、CE=OB；第二步：结合等腰直角△OBF的性质得到BF=CE，再证明△FBP和△ECP全等，得到PB=PC，即可推出PB为BC的一半，进而求出PB的长度。
【解析】
过点E作$EC⊥ y$轴于点C，则$∠ ECB=∠ AOB=90°$。
$\because△ ABE$是等腰直角三角形，$\therefore AB=BE$，$∠ ABE=90°$，
$\therefore ∠ ABO+∠ EBC=180°-∠ ABE=90°$，
又$\because \mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OAB+∠ ABO=90°$，
$\therefore ∠ OAB=∠ EBC$。
在$△ AOB$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ BCE\\∠ OAB=∠ CBE\\AB=BE\end{cases}$
$\therefore△ AOB≌△ BCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BC=AO=8$，$OB=CE$。
$\because△ OBF$是等腰直角三角形，$\therefore OB=BF$，$∠ FBO=90°=∠ ECP$，
$\therefore BF=CE$。
在$△ FBP$和$△ ECP$中：
$\begin{cases}∠ FBP=∠ ECP\\∠ FPB=∠ EPC\\BF=CE\end{cases}$
$\therefore△ FBP≌△ ECP(\mathrm{AAS})$，
$\therefore PB=PC$，
$\therefore BC=PB+PC=2PB$，
$\therefore PB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题核心是合理构造垂线得到全等三角形，利用等腰直角三角形的边、角特征推导全等的条件，进而建立未知线段和已知线段的数量关系，对学生构造辅助线、运用全等性质的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
12.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设的其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.
12.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设的其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD$ 平分 $∠ BAC$，即 $∠ BAE = ∠ CAE$。
在 $△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAE \\AE = AE\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = CE$。
---
(2) 证明：
∵ $BF ⊥ AC$，$∠ BAC = 45°$，
∴ $∠ AFB = 90°$，$△ ABF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AF = BF$。
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ EAF + ∠ C = 90°$。
又∵ $BF ⊥ AC$，
∴ $∠ CBF + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ EAF = ∠ CBF$。
在 $△ AEF$ 和 $△ BCF$ 中，
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ BFC = 90° \\AF = BF \\∠ EAF = ∠ CBF\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ BCF \ (\mathrm{ASA})$。
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD$ 平分 $∠ BAC$，即 $∠ BAE = ∠ CAE$。
在 $△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAE \\AE = AE\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = CE$。
---
(2) 证明：
∵ $BF ⊥ AC$，$∠ BAC = 45°$，
∴ $∠ AFB = 90°$，$△ ABF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AF = BF$。
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ EAF + ∠ C = 90°$。
又∵ $BF ⊥ AC$，
∴ $∠ CBF + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ EAF = ∠ CBF$。
在 $△ AEF$ 和 $△ BCF$ 中，
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ BFC = 90° \\AF = BF \\∠ EAF = ∠ CBF\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ BCF \ (\mathrm{ASA})$。
解析
【分析】
(1) 要证明BE=CE，可通过证明BE、CE所在的△ABE和△ACE全等求解。已知AB=AC，AE为公共边，结合等腰三角形“三线合一”性质，由D是BC中点可得AD平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE，满足SAS全等判定条件，即可证得三角形全等，得到对应边相等。
(2) 要证明△AEF≌△BCF，先找对应相等的边和角：首先由BF⊥AC、∠BAC=45°，可得△ABF为等腰直角三角形，得到AF=BF；再由AD⊥BC、BF⊥AC，根据“同角的余角相等”可推得∠EAF=∠CBF，加上两组直角相等，满足ASA全等判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD$ 平分 $∠ BAC$，即 $∠ BAE = ∠ CAE$。
在 $△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAE \\AE = AE\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = CE$。
(2) 证明：
∵ $BF ⊥ AC$，$∠ BAC = 45°$，
∴ $∠ AFB = 90°$，$△ ABF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AF = BF$。
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ EAF + ∠ C = 90°$。
又
∵ $BF ⊥ AC$，
∴ $∠ CBF + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ EAF = ∠ CBF$。
在 $△ AEF$ 和 $△ BCF$ 中，
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ BFC = 90° \\AF = BF \\∠ EAF = ∠ CBF\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ BCF \ (\mathrm{ASA})$。
【答案】
(1) $BE=CE$，得证；
(2) $△AEF≌△BCF$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形和全等三角形的基础综合题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合全等三角形的判定定理找到对应边、角的相等关系，第二小问需注意利用同角的余角相等推导角相等，是几何证明的常用技巧。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明BE=CE，可通过证明BE、CE所在的△ABE和△ACE全等求解。已知AB=AC，AE为公共边，结合等腰三角形“三线合一”性质，由D是BC中点可得AD平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE，满足SAS全等判定条件，即可证得三角形全等，得到对应边相等。
(2) 要证明△AEF≌△BCF，先找对应相等的边和角：首先由BF⊥AC、∠BAC=45°，可得△ABF为等腰直角三角形，得到AF=BF；再由AD⊥BC、BF⊥AC，根据“同角的余角相等”可推得∠EAF=∠CBF，加上两组直角相等，满足ASA全等判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD$ 平分 $∠ BAC$，即 $∠ BAE = ∠ CAE$。
在 $△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAE \\AE = AE\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $BE = CE$。
(2) 证明：
∵ $BF ⊥ AC$，$∠ BAC = 45°$，
∴ $∠ AFB = 90°$，$△ ABF$ 是等腰直角三角形，
∴ $AF = BF$。
∵ $AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $AD ⊥ BC$，
∴ $∠ EAF + ∠ C = 90°$。
又
∵ $BF ⊥ AC$，
∴ $∠ CBF + ∠ C = 90°$，
∴ $∠ EAF = ∠ CBF$。
在 $△ AEF$ 和 $△ BCF$ 中，
$\begin{cases}∠ AFE = ∠ BFC = 90° \\AF = BF \\∠ EAF = ∠ CBF\end{cases}$
∴ $△ AEF ≌ △ BCF \ (\mathrm{ASA})$。
【答案】
(1) $BE=CE$，得证；
(2) $△AEF≌△BCF$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是等腰三角形和全等三角形的基础综合题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合全等三角形的判定定理找到对应边、角的相等关系，第二小问需注意利用同角的余角相等推导角相等，是几何证明的常用技巧。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在等边△ABC中,点D为AC上一点,CD=CE,∠ACE=60°.
(1)求证:△BCD≌△ACE;
(2)延长BD交AE于点F,连接CF,若AF=CF,猜想线段BF,AF的数量关系,并证明你的猜想.
(1)求证:△BCD≌△ACE;
(2)延长BD交AE于点F,连接CF,若AF=CF,猜想线段BF,AF的数量关系,并证明你的猜想.
答案
解：
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠BCD=60°，
又∵ ∠ACE=60°，
∴ ∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ △BCD≌△ACE（SAS）。
(2) 猜想：$BF=2AF$，证明如下：
由(1)得△BCD≌△ACE，
∴ ∠CBD=∠CAE。
∵ AF=CF，
∴ ∠CAE=∠ACF，
∴ ∠CBD=∠ACF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，即∠BCF + ∠ACF=60°，
∴ ∠BCF + ∠CBD=60°，
∴ ∠BFC=180°-(∠BCF+∠CBD)=120°。
∵ ∠ADF=∠BDC，
∴ ∠AFD=∠BCD=60°，即∠AFB=60°。
在BF上截取FM=AF，连接AM，
∵ ∠AFM=60°，FM=AF，
∴ △AFM是等边三角形，
∴ AM=AF，∠FAM=60°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°，
∴ ∠BAC=∠FAM，
∴ ∠BAC - ∠MAC = ∠FAM - ∠MAC，即∠BAM=∠CAF。
在△BAM和△CAF中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAM=∠CAF \\AM=AF\end{cases}$
∴ △BAM≌△CAF（SAS），
∴ BM=CF。
又∵ AF=CF，
∴ BM=AF，
∴ $BF=BM + FM=AF + AF=2AF$。
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠BCD=60°，
又∵ ∠ACE=60°，
∴ ∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ △BCD≌△ACE（SAS）。
(2) 猜想：$BF=2AF$，证明如下：
由(1)得△BCD≌△ACE，
∴ ∠CBD=∠CAE。
∵ AF=CF，
∴ ∠CAE=∠ACF，
∴ ∠CBD=∠ACF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，即∠BCF + ∠ACF=60°，
∴ ∠BCF + ∠CBD=60°，
∴ ∠BFC=180°-(∠BCF+∠CBD)=120°。
∵ ∠ADF=∠BDC，
∴ ∠AFD=∠BCD=60°，即∠AFB=60°。
在BF上截取FM=AF，连接AM，
∵ ∠AFM=60°，FM=AF，
∴ △AFM是等边三角形，
∴ AM=AF，∠FAM=60°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°，
∴ ∠BAC=∠FAM，
∴ ∠BAC - ∠MAC = ∠FAM - ∠MAC，即∠BAM=∠CAF。
在△BAM和△CAF中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAM=∠CAF \\AM=AF\end{cases}$
∴ △BAM≌△CAF（SAS），
∴ BM=CF。
又∵ AF=CF，
∴ BM=AF，
∴ $BF=BM + FM=AF + AF=2AF$。
解析
【分析】
(1) 要证明△BCD≌△ACE，可选用SAS判定定理：首先从等边△ABC的性质得到边BC=AC、∠BCD=60°，结合已知∠ACE=60°可推出∠BCD=∠ACE，再搭配已知条件CD=CE，即可凑齐SAS的三个判定条件完成证明。
(2) 先借助(1)的全等结论得到角相等的关系，结合AF=CF的等腰性质推导角度，可得出∠AFB=60°；此时采用截长补短的辅助线思路，在BF上截取FM=AF构造等边△AFM，再证明剩余线段BM=AF，即可推出BF与AF的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠BCD=60°，
又
∵ ∠ACE=60°，
∴ ∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ △BCD≌△ACE（SAS）。
(2) 猜想：$BF=2AF$，证明如下：
由(1)得△BCD≌△ACE，
∴ ∠CBD=∠CAE。
∵ AF=CF，
∴ ∠CAE=∠ACF，
∴ ∠CBD=∠ACF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，即∠BCF + ∠ACF=60°，
∴ ∠BCF + ∠CBD=60°，
∴ ∠BFC=180°-(∠BCF+∠CBD)=120°。
∵ ∠ADF=∠BDC，
∴ ∠AFD=∠BCD=60°，即∠AFB=60°。
在BF上截取FM=AF，连接AM，
∵ ∠AFM=60°，FM=AF，
∴ △AFM是等边三角形，
∴ AM=AF，∠FAM=60°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°，
∴ ∠BAC=∠FAM，
∴ ∠BAC - ∠MAC = ∠FAM - ∠MAC，即∠BAM=∠CAF。
在△BAM和△CAF中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAM=∠CAF \\AM=AF\end{cases}$
∴ △BAM≌△CAF（SAS），
∴ BM=CF。
又
∵ AF=CF，
∴ BM=AF，
∴ $BF=BM + FM=AF + AF=2AF$。
【答案】
(1) △BCD≌△ACE，证明成立；
(2) $\boldsymbol{BF=2AF}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；等边三角形性质与判定；等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形模块的典型综合题，第一问侧重基础全等判定的应用，第二问需要结合已知条件推导特殊角度，利用截长补短法构造辅助线解决线段倍数问题，能够有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明△BCD≌△ACE，可选用SAS判定定理：首先从等边△ABC的性质得到边BC=AC、∠BCD=60°，结合已知∠ACE=60°可推出∠BCD=∠ACE，再搭配已知条件CD=CE，即可凑齐SAS的三个判定条件完成证明。
(2) 先借助(1)的全等结论得到角相等的关系，结合AF=CF的等腰性质推导角度，可得出∠AFB=60°；此时采用截长补短的辅助线思路，在BF上截取FM=AF构造等边△AFM，再证明剩余线段BM=AF，即可推出BF与AF的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠BCD=60°，
又
∵ ∠ACE=60°，
∴ ∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
$\begin{cases}BC=AC \\∠BCD=∠ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ △BCD≌△ACE（SAS）。
(2) 猜想：$BF=2AF$，证明如下：
由(1)得△BCD≌△ACE，
∴ ∠CBD=∠CAE。
∵ AF=CF，
∴ ∠CAE=∠ACF，
∴ ∠CBD=∠ACF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°，即∠BCF + ∠ACF=60°，
∴ ∠BCF + ∠CBD=60°，
∴ ∠BFC=180°-(∠BCF+∠CBD)=120°。
∵ ∠ADF=∠BDC，
∴ ∠AFD=∠BCD=60°，即∠AFB=60°。
在BF上截取FM=AF，连接AM，
∵ ∠AFM=60°，FM=AF，
∴ △AFM是等边三角形，
∴ AM=AF，∠FAM=60°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠BAC=60°，
∴ ∠BAC=∠FAM，
∴ ∠BAC - ∠MAC = ∠FAM - ∠MAC，即∠BAM=∠CAF。
在△BAM和△CAF中，
$\begin{cases}AB=AC \\∠BAM=∠CAF \\AM=AF\end{cases}$
∴ △BAM≌△CAF（SAS），
∴ BM=CF。
又
∵ AF=CF，
∴ BM=AF，
∴ $BF=BM + FM=AF + AF=2AF$。
【答案】
(1) △BCD≌△ACE，证明成立；
(2) $\boldsymbol{BF=2AF}$
【知识点】
全等三角形判定与性质；等边三角形性质与判定；等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形模块的典型综合题，第一问侧重基础全等判定的应用，第二问需要结合已知条件推导特殊角度，利用截长补短法构造辅助线解决线段倍数问题，能够有效锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.65
