登录
11.如图,一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行,在A处测得小岛P在西偏北75°方向上,两小时后,轮船在B处测得小岛P在西偏北60°方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,若轮船仍按15海里/小时的速度向前航行,有无触礁的危险? 
答案
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意得，AB = 15×2 = 30 海里。
由方位角可知：∠PAB = 90° - 75° = 15°，∠PBC = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠PBC是△PAB的外角，
∴ ∠APB = ∠PBC - ∠PAB = 30° - 15° = 15°，
∴ ∠APB = ∠PAB，
∴ PB = AB = 30 海里。
在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=30°，
∴ PC = $\frac{1}{2}$PB = 15 海里。
∵ 15 ＜ 18，
∴ 轮船仍按15海里/小时的速度向前航行，有触礁的危险。
由题意得，AB = 15×2 = 30 海里。
由方位角可知：∠PAB = 90° - 75° = 15°，∠PBC = 90° - 60° = 30°。
∵ ∠PBC是△PAB的外角，
∴ ∠APB = ∠PBC - ∠PAB = 30° - 15° = 15°，
∴ ∠APB = ∠PAB，
∴ PB = AB = 30 海里。
在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=30°，
∴ PC = $\frac{1}{2}$PB = 15 海里。
∵ 15 ＜ 18，
∴ 轮船仍按15海里/小时的速度向前航行，有触礁的危险。
解析
【分析】
要判断轮船继续航行是否有触礁危险，核心是求小岛P到轮船航行路线AB的最短距离，也就是过P作AB的垂线段PC，比较PC长度与18海里的大小：若PC＜18则有触礁危险。解题思路如下：首先根据轮船的航行速度和时间计算AB的长度；其次结合方位角定义求出∠PAB和∠PBC的度数；再利用三角形外角的性质推导得出∠APB=∠PAB，得到等腰三角形，从而求出PB的长度；最后在直角三角形PBC中利用含30°角的直角三角形性质求出PC的长度，比较大小即可得出结论。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意得，轮船航行两小时的路程$AB = 15×2 = 30$ 海里。
由方位角可知：$∠ PAB = 90° - 75° = 15°$，$∠ PBC = 90° - 60° = 30°$。
∵ $∠ PBC$是$△ PAB$的外角，
∴ $∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAB = 30° - 15° = 15°$，
∴ $∠ APB = ∠ PAB$，
∴ $PB = AB = 30$ 海里。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PCB=90°$，$∠ PBC=30°$，
∴ $PC = \frac{1}{2}PB = 15$ 海里。
∵ $15 ＜ 18$，
∴ 轮船仍按15海里/小时的速度向前航行，有触礁的危险。
【答案】
有触礁的危险。
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为几何线段长度的比较问题，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角形外角性质、等腰三角形判定和特殊直角三角形的性质即可求解，能有效锻炼学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断轮船继续航行是否有触礁危险，核心是求小岛P到轮船航行路线AB的最短距离，也就是过P作AB的垂线段PC，比较PC长度与18海里的大小：若PC＜18则有触礁危险。解题思路如下：首先根据轮船的航行速度和时间计算AB的长度；其次结合方位角定义求出∠PAB和∠PBC的度数；再利用三角形外角的性质推导得出∠APB=∠PAB，得到等腰三角形，从而求出PB的长度；最后在直角三角形PBC中利用含30°角的直角三角形性质求出PC的长度，比较大小即可得出结论。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意得，轮船航行两小时的路程$AB = 15×2 = 30$ 海里。
由方位角可知：$∠ PAB = 90° - 75° = 15°$，$∠ PBC = 90° - 60° = 30°$。
∵ $∠ PBC$是$△ PAB$的外角，
∴ $∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAB = 30° - 15° = 15°$，
∴ $∠ APB = ∠ PAB$，
∴ $PB = AB = 30$ 海里。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PCB=90°$，$∠ PBC=30°$，
∴ $PC = \frac{1}{2}PB = 15$ 海里。
∵ $15 ＜ 18$，
∴ 轮船仍按15海里/小时的速度向前航行，有触礁的危险。
【答案】
有触礁的危险。
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合航行实际场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为几何线段长度的比较问题，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角形外角性质、等腰三角形判定和特殊直角三角形的性质即可求解，能有效锻炼学生将知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ A = 30°$, $BC = 12\ \mathrm{cm}$. 动点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿 $AB$ 向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动, 动点 $Q$ 从点 $B$ 出发, 沿 $BC$ 向点 $C$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动, 两点同时出发. 设运动时间为 $t(\mathrm{s})$, 解答下列问题:
(1)当 $t$ 为多少时, $△ PBQ$ 是等边三角形?
(2)在 $P, Q$ 运动过程中, $△ PBQ$ 的形状不断发生变化, 当 $t$ 为多少时, $△ PBQ$ 是直角三角形? 请说明理由.
(1)当 $t$ 为多少时, $△ PBQ$ 是等边三角形?
(2)在 $P, Q$ 运动过程中, $△ PBQ$ 的形状不断发生变化, 当 $t$ 为多少时, $△ PBQ$ 是直角三角形? 请说明理由.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=60°$，$AB=2BC=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PB=(24-2t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜ t≤ 12$。
(1) 若$△ PBQ$是等边三角形，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore$ 只需满足$PB=BQ$，
即$24-2t = t$，
解得$t=8$。
$\therefore$ 当$t=8\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是等边三角形。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$∠ PQB=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BPQ=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即$t=\frac{1}{2}(24-2t)$，
解得$t=6$。
② 当$∠ BPQ=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BQP=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即$24-2t=\frac{1}{2}t$，
解得$t=\frac{48}{5}=9.6$。
综上，当$t$为$6\ \mathrm{s}$或$9.6\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=60°$，$AB=2BC=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PB=(24-2t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜ t≤ 12$。
(1) 若$△ PBQ$是等边三角形，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore$ 只需满足$PB=BQ$，
即$24-2t = t$，
解得$t=8$。
$\therefore$ 当$t=8\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是等边三角形。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$∠ PQB=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BPQ=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即$t=\frac{1}{2}(24-2t)$，
解得$t=6$。
② 当$∠ BPQ=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BQP=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即$24-2t=\frac{1}{2}t$，
解得$t=\frac{48}{5}=9.6$。
综上，当$t$为$6\ \mathrm{s}$或$9.6\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
解析
【分析】
首先利用Rt△ABC中30°角的性质求出AB的长度和∠B的度数，再用含t的代数式表示出PB、BQ的长度。第一问中，△PBQ已有一个内角为60°，因此只需满足邻边PB=BQ即可判定为等边三角形，列方程求解t即可；第二问△PBQ为直角三角形时，直角顶点不确定，需分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别结合30°直角三角形的边角关系列方程，最后验证t的取值是否符合运动范围即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=60°$，$AB=2BC=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PB=(24-2t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜ t≤ 12$。
(1) 若$△ PBQ$是等边三角形，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore$ 只需满足$PB=BQ$，
即$24-2t = t$，
解得$t=8$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$∠ PQB=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BPQ=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即$t=\frac{1}{2}(24-2t)$，
解得$t=6$，符合取值范围。
② 当$∠ BPQ=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BQP=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即$24-2t=\frac{1}{2}t$，
解得$t=\frac{48}{5}=9.6$，符合取值范围。
【答案】
(1) 当$t=8\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是等边三角形；
(2) 当$t$为$6\ \mathrm{s}$或$9.6\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等边三角形的判定
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是特殊三角形判定与动点问题结合的典型习题，解题核心是用含时间t的代数式表示对应线段长度，再结合特殊三角形的边角性质列方程求解，第二问需注意分类讨论直角的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先利用Rt△ABC中30°角的性质求出AB的长度和∠B的度数，再用含t的代数式表示出PB、BQ的长度。第一问中，△PBQ已有一个内角为60°，因此只需满足邻边PB=BQ即可判定为等边三角形，列方程求解t即可；第二问△PBQ为直角三角形时，直角顶点不确定，需分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别结合30°直角三角形的边角关系列方程，最后验证t的取值是否符合运动范围即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=60°$，$AB=2BC=2×12=24\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PB=(24-2t)\ \mathrm{cm}$，其中$0＜ t≤ 12$。
(1) 若$△ PBQ$是等边三角形，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore$ 只需满足$PB=BQ$，
即$24-2t = t$，
解得$t=8$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$∠ PQB=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BPQ=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即$t=\frac{1}{2}(24-2t)$，
解得$t=6$，符合取值范围。
② 当$∠ BPQ=90°$时，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ BQP=30°$，
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即$24-2t=\frac{1}{2}t$，
解得$t=\frac{48}{5}=9.6$，符合取值范围。
【答案】
(1) 当$t=8\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是等边三角形；
(2) 当$t$为$6\ \mathrm{s}$或$9.6\ \mathrm{s}$时，$△ PBQ$是直角三角形。
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等边三角形的判定
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是特殊三角形判定与动点问题结合的典型习题，解题核心是用含时间t的代数式表示对应线段长度，再结合特殊三角形的边角性质列方程求解，第二问需注意分类讨论直角的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
