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4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$两点在$BC$上,且$AD=AE$,$BD=CE$.若$∠ BAD=30°$,$∠ DAE=50°$,则$∠ BAC$的度数为.
答案
$\boldsymbol{110°}$
解析
【分析】
首先观察已知条件，题目给出了三组相等的边：$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$，符合全等三角形SSS的判定条件，可先证明$△ ABD≌△ ACE$，利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ CAE=∠ BAD$，再结合已知的$∠ BAD$和$∠ DAE$的度数，通过角的和差关系就能求出$∠ BAC$的度数。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\AD=AE\\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE$（SSS）
$\therefore ∠ CAE = ∠ BAD = 30°$
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAE + ∠ CAE = 30° + 50° + 30° = 110°$
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
SSS全等判定、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时只需根据已知的边相等条件证明三角形全等，得到对应角相等，再结合角的和差运算即可得出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件，题目给出了三组相等的边：$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$，符合全等三角形SSS的判定条件，可先证明$△ ABD≌△ ACE$，利用全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ CAE=∠ BAD$，再结合已知的$∠ BAD$和$∠ DAE$的度数，通过角的和差关系就能求出$∠ BAC$的度数。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\AD=AE\\BD=CE\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE$（SSS）
$\therefore ∠ CAE = ∠ BAD = 30°$
$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAE + ∠ CAE = 30° + 50° + 30° = 110°$
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
SSS全等判定、全等三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时只需根据已知的边相等条件证明三角形全等，得到对应角相等，再结合角的和差运算即可得出结果，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
5.如图，E为BC的中点，$AB=DE$，$AE=CD$.
则下列结论中不正确的是()
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ DEC$
C.$∠ C=∠ AEB$
D.$∠ B=∠ C$
则下列结论中不正确的是()
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ DEC$
C.$∠ C=∠ AEB$
D.$∠ B=∠ C$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先根据E是BC的中点，可得到BE=CE，结合题目给出的AB=DE、AE=CD两组等边，刚好满足全等三角形SSS的判定条件，先证明△ABE和△DEC全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，逐一比对各个选项，找出结论不正确的选项即可。
【解析】
∵E为BC的中点，
∴BE=EC。
在△ABE和△DEC中：
$\{\begin{array}{l} AB=DE(已知)\\ AE=CD(已知)\\ BE=EC(已证)\end{array} $
∴△ABE≌△DEC（SSS）。
根据全等三角形对应角相等，可得：
∠A=∠D，∠B=∠DEC，∠C=∠AEB，因此A、B、C选项结论均正确；
没有推导依据可证明∠B=∠C，故D选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用类题目，解题的关键是先通过已知条件证得两个三角形全等，再结合对应角相等的性质判断各选项，注意审题时要明确题目要求选出的是不正确的结论，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，首先根据E是BC的中点，可得到BE=CE，结合题目给出的AB=DE、AE=CD两组等边，刚好满足全等三角形SSS的判定条件，先证明△ABE和△DEC全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，逐一比对各个选项，找出结论不正确的选项即可。
【解析】
∵E为BC的中点，
∴BE=EC。
在△ABE和△DEC中：
$\{\begin{array}{l} AB=DE(已知)\\ AE=CD(已知)\\ BE=EC(已证)\end{array} $
∴△ABE≌△DEC（SSS）。
根据全等三角形对应角相等，可得：
∠A=∠D，∠B=∠DEC，∠C=∠AEB，因此A、B、C选项结论均正确；
没有推导依据可证明∠B=∠C，故D选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
线段中点的定义；全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用类题目，解题的关键是先通过已知条件证得两个三角形全等，再结合对应角相等的性质判断各选项，注意审题时要明确题目要求选出的是不正确的结论，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.7
6.已知$△ ABC$的三边长分别为$3,5,7$，$△ DEF$的三边长分别为$3,3x-2,2x-1$，若这两个三角形全等，则$x$等于()
A.$\dfrac{7}{3}$
B.$4$
C.$3$
D.不能确定
A.$\dfrac{7}{3}$
B.$4$
C.$3$
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】
本题考查全等三角形的性质应用，解题思路如下：首先回忆全等三角形对应边相等的性质，两个三角形都有边长为3的边，因此剩余的两组边需分别对应相等，需要分两种情况讨论对应边的匹配方式，每种情况解出x后要验证剩余边长是否匹配，排除不成立的情况，最终得到正确的x值。
【解析】
根据全等三角形对应边相等的性质，两个三角形均有边长为3的边，因此剩余两组边分别对应相等，分两种情况讨论：
情况1：若$3x-2=5$，$2x-1=7$
解$3x-2=5$得$x=\frac{7}{3}$，代入$2x-1$得$2×\frac{7}{3}-1=\frac{11}{3}≠7$，此情况不成立；
情况2：若$3x-2=7$，$2x-1=5$
解$3x-2=7$得$x=3$，代入$2x-1$得$2×3-1=5$，完全符合对应边相等的要求，此情况成立。
因此$x=3$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质、分类讨论思想、一元一次方程求解
【点评】
本题易错点是未对对应边的匹配情况分类讨论，或解出x后不验证所有对应边是否相等，解题时要注意全等三角形的对应边是一一对应的，所有边的长度都要匹配。
【难度系数】
0.7
本题考查全等三角形的性质应用，解题思路如下：首先回忆全等三角形对应边相等的性质，两个三角形都有边长为3的边，因此剩余的两组边需分别对应相等，需要分两种情况讨论对应边的匹配方式，每种情况解出x后要验证剩余边长是否匹配，排除不成立的情况，最终得到正确的x值。
【解析】
根据全等三角形对应边相等的性质，两个三角形均有边长为3的边，因此剩余两组边分别对应相等，分两种情况讨论：
情况1：若$3x-2=5$，$2x-1=7$
解$3x-2=5$得$x=\frac{7}{3}$，代入$2x-1$得$2×\frac{7}{3}-1=\frac{11}{3}≠7$，此情况不成立；
情况2：若$3x-2=7$，$2x-1=5$
解$3x-2=7$得$x=3$，代入$2x-1$得$2×3-1=5$，完全符合对应边相等的要求，此情况成立。
因此$x=3$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质、分类讨论思想、一元一次方程求解
【点评】
本题易错点是未对对应边的匹配情况分类讨论，或解出x后不验证所有对应边是否相等，解题时要注意全等三角形的对应边是一一对应的，所有边的长度都要匹配。
【难度系数】
0.7
7.如图，$AB=CD$，$AD=CB$，则下列结论不正确的是（）
A.$∠ A=∠ C$
B.$AB// CD$
C.$AD// BC$
D.$BD$平分$∠ ABC$
A.$∠ A=∠ C$
B.$AB// CD$
C.$AD// BC$
D.$BD$平分$∠ ABC$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出两组对边相等，且BD是△ABD和△CDB的公共边，可先通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合平行线的判定定理逐一验证每个选项，最终选出不正确的结论。
【解析】
在$△ ABD$和$△ CDB$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD(\mathrm{已知})\\AD=CB(\mathrm{已知})\\BD=DB(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ CDB(\mathrm{SSS})$
由全等三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ C$，故A选项结论正确，不符合题意；
由全等得$∠ ABD=∠ CDB$，内错角相等，两直线平行，因此$AB// CD$，故B选项结论正确，不符合题意；
由全等得$∠ ADB=∠ CBD$，内错角相等，两直线平行，因此$AD// BC$，故C选项结论正确，不符合题意；
若$BD$平分$∠ ABC$，需要满足$∠ ABD=∠ CBD$，现有推导结论无法证明该等量关系成立，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是先利用公共边构造全等三角形，再结合全等的性质推导角的关系，进而判断线段的位置关系和角的等量关系，注意要逐一验证每个选项避免漏判。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，题目给出两组对边相等，且BD是△ABD和△CDB的公共边，可先通过SSS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合平行线的判定定理逐一验证每个选项，最终选出不正确的结论。
【解析】
在$△ ABD$和$△ CDB$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD(\mathrm{已知})\\AD=CB(\mathrm{已知})\\BD=DB(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ CDB(\mathrm{SSS})$
由全等三角形对应角相等，可得$∠ A=∠ C$，故A选项结论正确，不符合题意；
由全等得$∠ ABD=∠ CDB$，内错角相等，两直线平行，因此$AB// CD$，故B选项结论正确，不符合题意；
由全等得$∠ ADB=∠ CBD$，内错角相等，两直线平行，因此$AD// BC$，故C选项结论正确，不符合题意；
若$BD$平分$∠ ABC$，需要满足$∠ ABD=∠ CBD$，现有推导结论无法证明该等量关系成立，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是先利用公共边构造全等三角形，再结合全等的性质推导角的关系，进而判断线段的位置关系和角的等量关系，注意要逐一验证每个选项避免漏判。
【难度系数】
0.8
8.如图，AB=2，BC=AE=6，CE=FC=7，BF=8，BF和CE交于点D，且A，B，C三点共线，则四边形ABDE与△CDF的面积的比值是()
A.2
B.1
C.3
D.$\frac{1}{2}$
A.2
B.1
C.3
D.$\frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先先计算线段AC的长度，对比已知的BF长度，发现AC和BF相等；接着观察△AEC和△BCF的三边，发现三组对应边分别相等，可通过SSS判定两个三角形全等，全等三角形面积相等；最后分析两个三角形的面积组成，二者都包含公共部分△BCD，同时减去公共部分的面积后，剩余部分分别是四边形ABDE和△CDF，即可得到二者的面积关系，进而求出比值。
【解析】
解：
∵A，B，C三点共线，AB=2，BC=6
∴AC=AB+BC=2+6=8
又
∵BF=8，
∴AC=BF
在△AEC和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AE=BC=6 \\CE=CF=7 \\AC=BF=8\end{array} $
∴△AEC≌△BCF（SSS）
∴$S_{△ AEC}=S_{△ BCF}$
又
∵$S_{△ AEC}=S_{四边形ABDE}+S_{△ BCD}$，$S_{△ BCF}=S_{△ CDF}+S_{△ BCD}$
两式同时减去$S_{△ BCD}$，可得：
$S_{四边形ABDE}=S_{△ CDF}$
∴$\frac{S_{四边形ABDE}}{S_{△ CDF}}=1$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SSS判定，全等三角形的性质，面积和差计算
【点评】
本题解题的核心是通过边长关系先判定三角形全等，得到两个大三角形面积相等，再利用公共部分的面积作差，推导出所求两个图形的面积关系，巧妙避开了直接计算不规则四边形和三角形面积的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先先计算线段AC的长度，对比已知的BF长度，发现AC和BF相等；接着观察△AEC和△BCF的三边，发现三组对应边分别相等，可通过SSS判定两个三角形全等，全等三角形面积相等；最后分析两个三角形的面积组成，二者都包含公共部分△BCD，同时减去公共部分的面积后，剩余部分分别是四边形ABDE和△CDF，即可得到二者的面积关系，进而求出比值。
【解析】
解：
∵A，B，C三点共线，AB=2，BC=6
∴AC=AB+BC=2+6=8
又
∵BF=8，
∴AC=BF
在△AEC和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}AE=BC=6 \\CE=CF=7 \\AC=BF=8\end{array} $
∴△AEC≌△BCF（SSS）
∴$S_{△ AEC}=S_{△ BCF}$
又
∵$S_{△ AEC}=S_{四边形ABDE}+S_{△ BCD}$，$S_{△ BCF}=S_{△ CDF}+S_{△ BCD}$
两式同时减去$S_{△ BCD}$，可得：
$S_{四边形ABDE}=S_{△ CDF}$
∴$\frac{S_{四边形ABDE}}{S_{△ CDF}}=1$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的SSS判定，全等三角形的性质，面积和差计算
【点评】
本题解题的核心是通过边长关系先判定三角形全等，得到两个大三角形面积相等，再利用公共部分的面积作差，推导出所求两个图形的面积关系，巧妙避开了直接计算不规则四边形和三角形面积的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
9.如图是$5×5$的正方形网格，以格点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与$△ ABC$全等，这样的格点三角形最多可以作出（）
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
B
解析
【分析】
我们先设每个小方格边长为1，先计算出△ABC的三边长，再根据全等三角形三边对应相等的性质分析：首先观察线段DE的长度和AC相等，均为3，所以DE可对应△ABC的AC边，接下来分情况在DE的上方、下方寻找第三个顶点，使三角形另外两边的长度和AB、BC的长度对应相等，数出所有符合要求的格点数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，计算△ABC的三边长：
1. AC为横向线段，占3个小格，故$AC=3$；
2. AB的横向差为1，纵向差为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. BC的横向差为2，纵向差为2，由勾股定理得$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
观察线段DE可知，DE也是长度为3的横向线段，和AC长度相等。要作与△ABC全等的格点三角形，第三个顶点F需要满足两种情况：①$DF=\sqrt{5},EF=2\sqrt{2}$；②$DF=2\sqrt{2},EF=\sqrt{5}$。
分别在DE的上下两侧找符合条件的格点：
DE上方：2种情况各对应1个格点，共2个符合条件的点；
DE下方：2种情况各对应1个格点，共2个符合条件的点。
综上，符合要求的格点三角形总共有$2+2=4$个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，勾股定理，格点作图
【点评】
本题需要结合勾股定理计算边长，再利用SSS判定全等三角形，解题时要注意分类讨论第三个顶点在DE两侧的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
我们先设每个小方格边长为1，先计算出△ABC的三边长，再根据全等三角形三边对应相等的性质分析：首先观察线段DE的长度和AC相等，均为3，所以DE可对应△ABC的AC边，接下来分情况在DE的上方、下方寻找第三个顶点，使三角形另外两边的长度和AB、BC的长度对应相等，数出所有符合要求的格点数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，计算△ABC的三边长：
1. AC为横向线段，占3个小格，故$AC=3$；
2. AB的横向差为1，纵向差为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. BC的横向差为2，纵向差为2，由勾股定理得$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
观察线段DE可知，DE也是长度为3的横向线段，和AC长度相等。要作与△ABC全等的格点三角形，第三个顶点F需要满足两种情况：①$DF=\sqrt{5},EF=2\sqrt{2}$；②$DF=2\sqrt{2},EF=\sqrt{5}$。
分别在DE的上下两侧找符合条件的格点：
DE上方：2种情况各对应1个格点，共2个符合条件的点；
DE下方：2种情况各对应1个格点，共2个符合条件的点。
综上，符合要求的格点三角形总共有$2+2=4$个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，勾股定理，格点作图
【点评】
本题需要结合勾股定理计算边长，再利用SSS判定全等三角形，解题时要注意分类讨论第三个顶点在DE两侧的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
10.如图，AC与BD相交于点O，AC＝BD，AB＝CD，求证：∠A＝∠D.
答案
证明：连接BC
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\AC=BD \\BC=CB\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D。
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\AC=BD \\BC=CB\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D。
解析
【分析】
要证明∠A=∠D，可通过证明∠A和∠D所在的三角形全等来实现。已知条件给出AB=CD、AC=BD两组边相等，观察图形特征，若连接BC，即可得到△ABC和△DCB的公共边BC=CB，此时两个三角形三组对应边均相等，可依据SSS判定定理证明两三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质即可得证。
【解析】
证明：连接BC
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\AC=BD \\BC=CB\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D。
【答案】
证明：连接BC
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\AC=BD \\BC=CB\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D。
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题关键是通过添加辅助线构造公共边，凑齐全等判定的条件，考察了对全等三角形判定定理、性质的掌握程度，以及合理构造辅助线的图形分析能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠A=∠D，可通过证明∠A和∠D所在的三角形全等来实现。已知条件给出AB=CD、AC=BD两组边相等，观察图形特征，若连接BC，即可得到△ABC和△DCB的公共边BC=CB，此时两个三角形三组对应边均相等，可依据SSS判定定理证明两三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质即可得证。
【解析】
证明：连接BC
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\AC=BD \\BC=CB\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D。
【答案】
证明：连接BC
在△ABC和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\AC=BD \\BC=CB\end{array} $
∴△ABC≌△DCB（SSS）
∴∠A=∠D。
【知识点】
SSS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题关键是通过添加辅助线构造公共边，凑齐全等判定的条件，考察了对全等三角形判定定理、性质的掌握程度，以及合理构造辅助线的图形分析能力。
【难度系数】
0.8
