11.如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=AD,AC=AE,BC=DE.点 E 在 BC 边上,AB交 DE 于点 O.
(1)求证:∠CAE=∠BED;
(2)若AB⊥DE,则∠B 与∠C 之间有何数量关系?请说明理由.

证明：(1) 在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD,\\AC=AE,\\BC=DE,\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SSS）。
∴∠ACB=∠AED。
∵点B、E、C共线，
∴∠AEC + ∠AED + ∠BED = 180°。
在△AEC中，∠CAE + ∠ACB + ∠AEC = 180°，
将∠ACB替换为∠AED，可得∠CAE + ∠AED + ∠AEC = 180°，
∴∠CAE=∠BED。
(2) 解：$2∠ C - ∠ B = 90°$，理由如下：
∵AB⊥DE，
∴∠BOE=90°，
在Rt△BOE中，$∠ B + ∠ BED = 90°$。
由(1)知$∠ BED=∠ CAE$，
∴$∠ B + ∠ CAE = 90°$，即$∠ CAE = 90° - ∠ B$。
∵AC=AE，
∴$∠ C = ∠ AEC$。
在△AEC中，$∠ CAE + ∠ C + ∠ AEC = 180°$，
∴$∠ CAE + 2∠ C = 180°$。
将$∠ CAE=90° - ∠ B$代入得：
$90° - ∠ B + 2∠ C = 180°$，
整理得$2∠ C - ∠ B = 90°$。

【分析】
(1)要证明∠CAE=∠BED，首先观察已知给出三组边对应相等，可先通过SSS判定△ABC≌△ADE，得到对应角∠ACB=∠AED；再结合平角的定义和三角形内角和定理，对两个180°的等式进行等量代换，消去公共部分即可证得结论。
(2)要探究∠B和∠C的数量关系，先由AB⊥DE得到Rt△BOE中∠B与∠BED互余，结合(1)的结论将∠BED替换为∠CAE，得到∠CAE与∠B的关系；再利用AC=AE可知△AEC为等腰三角形，两底角∠C=∠AEC，最后代入△AEC的内角和公式整理即可得到两角的数量关系。
【解析】
(1)证明：在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD,\\AC=AE,\\BC=DE,\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠ACB=∠AED。
∵点B、E、C共线，
∴∠AEC + ∠AED + ∠BED = 180°，
在△AEC中，根据三角形内角和定理：∠CAE + ∠ACB + ∠AEC = 180°，
将∠ACB替换为∠AED，可得∠CAE + ∠AED + ∠AEC = 180°，
对比两个180°的等式，可得∠CAE=∠BED。
(2)解：∠B与∠C的数量关系为$2∠ C - ∠ B = 90°$，理由如下：
∵AB⊥DE，
∴∠BOE=90°，
在Rt△BOE中，∠B + ∠BED = 90°，
由(1)知∠BED=∠CAE，
∴∠B + ∠CAE = 90°，即$∠ CAE = 90° - ∠ B$。
∵AC=AE，
∴△AEC为等腰三角形，∠C = ∠AEC，
在△AEC中，根据三角形内角和定理：∠CAE + ∠C + ∠AEC = 180°，
代入∠AEC=∠C，得$∠ CAE + 2∠ C = 180°$，
将$∠ CAE=90° - ∠ B$代入上式：
$90° - ∠ B + 2∠ C = 180°$，
整理得$2∠ C - ∠ B = 90°$。
【答案】
(1) ∠CAE=∠BED，证明成立；
(2) $2∠ C - ∠ B = 90°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等腰三角形和三角形内角和的相关知识，解题的关键是先通过SSS判定全等得到对应角相等，再结合已知条件逐步等量代换推导结论，能够有效考查逻辑推理和几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6

12.如图，E，F分别为线段AC上的两个动点，且$AB=CD$，$AE=CF$，BD交AC于点G。

(1)当E，F两点移动到如图1所示位置时，若有$BF=DE$，求证：$BF// DE$；
(2)当E，F两点移动到如图2所示的位置时，若仍有$BF=DE$，上述结论是否成立？说明理由。

(1) 证明：
∵ $AE = CF$，
∴ $AE + EF = CF + EF$，
即 $AF = CE$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\AF = CE, \\BF = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ CDE$（SSS），
∴ $∠ AFB = ∠ CED$，
∴ $BF // DE$（内错角相等，两直线平行）。
---
(2) 解：上述结论$BF// DE$仍然成立，理由如下：
∵ $AE = CF$，
∴ $AE - EF = CF - EF$，
即 $AF = CE$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\AF = CE, \\BF = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ CDE$（SSS），
∴ $∠ AFB = ∠ CED$，
∴ $∠ BFG = ∠ DEG$（等角的补角相等），
∴ $BF // DE$（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
(1)要证明BF//DE，可通过证明内错角相等实现，即证∠AFB=∠CED。这两个角分别在△ABF和△CDE中，因此需先证明两个三角形全等。已知AB=CD、BF=DE，缺少一组对应边，结合已知AE=CF，利用等式性质两边同时加EF即可得到AF=CE，满足SSS全等判定条件，证完全等得到角相等即可推出平行。
(2)图形变化后结论仍然成立，思路和(1)类似，仅需将边的和变为边的差：AE和CF同时减去公共线段EF仍可得AF=CE，依旧用SSS证明△ABF≌△CDE，此时所得的∠AFB和∠CED的补角为内错角，利用等角的补角相等得到对应内错角相等，即可证平行。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE = CF$，
∴ $AE + EF = CF + EF$，
即 $AF = CE$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\AF = CE, \\BF = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ CDE$（SSS），
∴ $∠ AFB = ∠ CED$，
∴ $BF // DE$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：上述结论$BF// DE$仍然成立，理由如下：
∵ $AE = CF$，
∴ $AE - EF = CF - EF$，
即 $AF = CE$。
在$△ ABF$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}AB = CD, \\AF = CE, \\BF = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ CDE$（SSS），
∴ $∠ AFB = ∠ CED$，
∴ $∠ BFG = ∠ DEG$（等角的补角相等），
∴ $BF // DE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) BF//DE成立，证明过程如上；
(2) BF//DE的结论仍然成立，理由如上。
【知识点】
全等三角形SSS判定、平行线的判定、补角的性质
【点评】
本题属于动点类几何证明题，解题核心是抓住图形变化中的不变条件，通过边的和差关系推导得到全等三角形所需的对应边，再借助全等性质得到角的关系最终证明平行，解题时要注意观察线段的公共部分，区分公共段的加减逻辑。
【难度系数】
0.7