例1 如图,已知$AB=CD$,$AE⊥BD$,$CF⊥BD$,垂足分别为$E$,$F$,$BF=DE$.求证:$AB// CD$.

【思路导析】要证明$AB// CD$,只需证明$∠B=∠D$,而$∠B$和$∠D$正好分别在$△ AEB$和$△ CFD$中,故只要证明这两个三角形全等即可.
【请你证明】

证明：
∵ $AE⊥BD$，$CF⊥BD$，
∴ $∠ AEB = ∠ CFD = 90°$。
∵ $BF = DE$，
∴ $BF + EF = DE + EF$，
即 $BE = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，
$\begin{cases}AB = CD \\BE = DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEB ≌ \mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$。
∴ $∠ B = ∠ D$。
∴ $AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明$AB// CD$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ B=∠ D$。观察图形可知$∠ B$、$∠ D$分别属于$\mathrm{Rt}△ AEB$和$\mathrm{Rt}△ CFD$，因此只需证明这两个直角三角形全等即可。已知斜边$AB=CD$，结合$BF=DE$，利用等式性质可推出直角边$BE=DF$，满足直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后即可得到对应角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
$\because AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CFD = 90°$。
$\because BF = DE$，
$\therefore BF + EF = DE + EF$，
即$BE = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，
$\begin{cases}AB = CD \\BE = DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEB ≌ \mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ B = ∠ D$。
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：
$\because AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CFD = 90°$。
$\because BF = DE$，
$\therefore BF + EF = DE + EF$，
即$BE = DF$。
在$\mathrm{Rt}△ AEB$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，
$\begin{cases}AB = CD \\BE = DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEB ≌ \mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ B = ∠ D$。
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过线段和差关系得到全等所需的等边，依次运用直角三角形全等判定、全等性质和平行线判定即可完成证明，能够锻炼基础的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8

例2 如图，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$D$在$AC$上，点$E$在$BA$的延长线上，$BD=CE$，$BD$的延长线交$CE$于点$F$，求证：$BF ⊥ CE$。

【思路导析】易证得$\mathrm{Rt}△ BAD$和$\mathrm{Rt}△ CAE$全等，然后利用全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和定理可证$BF ⊥ CE$。
【请你证明】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 活用全等三角形的判定公理证明“边”或“角”的关系

证明：
∵ ∠BAC = 90°，点E在BA的延长线上，
∴ ∠CAE = 180° - ∠BAC = 90°，
∴ △BAD 和 △CAE 都是直角三角形。
在Rt△BAD 和 Rt△CAE 中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\BD = CE\end{array} $
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAE（HL）。
∴ ∠ABD = ∠ACE。
∵ 在Rt△BAD中，∠ABD + ∠ADB = 90°，
又∵ ∠ADB = ∠CDF（对顶角相等），
∴ ∠ACE + ∠CDF = 90°。
在△CDF中，∠DFC = 180° - (∠ACE + ∠CDF) = 90°，
∴ BF ⊥ CE。

【分析】
要证明BF⊥CE，本质是要证明∠BFC=90°。首先根据已知∠BAC=90°，点E在BA延长线，可得∠CAE=90°，即△BAD和△CAE均为直角三角形；结合已知AB=AC、BD=CE，可利用HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角∠ABD=∠ACE；再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，推导△CDF中∠ACE与∠CDF的和为90°，最后根据三角形内角和定理算出∠DFC=90°，即可证得垂直。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，点E在BA的延长线上，
∴ ∠CAE = 180° - ∠BAC = 90°，
∴ △BAD 和 △CAE 都是直角三角形。
在Rt△BAD 和 Rt△CAE 中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\BD = CE\end{array} $
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAE（HL）。
∴ ∠ABD = ∠ACE。
∵ 在Rt△BAD中，∠ABD + ∠ADB = 90°，
又
∵ ∠ADB = ∠CDF（对顶角相等），
∴ ∠ACE + ∠CDF = 90°。
在△CDF中，∠DFC = 180° - (∠ACE + ∠CDF) = 90°，
∴ BF ⊥ CE。
【答案】
BF⊥CE
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心考查通过证明三角形全等实现角的等量代换，进而推导垂直关系的解题思路，熟练掌握直角三角形全等的判定方法和全等性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

例3 如图，$AC⊥ AD$，$BC⊥ BD$，$OE⊥ CD$，$AC=BD$，求证：$DE=CE$.

【思路导析】由图可知，$DE$，$CE$分别在$△ ODE$和$△ OCE$中，如果$△ ODE≌△ OCE$，则可证$DE=CE$.由条件可知$∠ A=∠ B=90°$，$AC=BD$，$DC$，$CD$是公共边，所以$\mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BCD$，所以$∠ ACD=∠ BDC$，则$△ ODE≌△ OCE$可证，故$DE=CE$可证.
【示范解答】$\because AC⊥ AD$，$BC⊥ BD$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$\{\begin{array}{l}DC=CD,\\AC=BD,\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ BCD(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BDC$.
在$\mathrm{Rt}△ ODE$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ODE=∠ OCE,\\∠ OED=∠ OEC=90°,\\OE=OE,\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ ODE≌\mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=CE$.
【变式探究】
如图，$BE⊥ AC$，$CD⊥ AB$，垂足分别为$E$，$D$，$BE$与$CD$相交于点$O$，且$BE=CD$.求证：$∠1=∠2$.

证明：
∵ $BE⊥AC$，$CD⊥AB$，
∴ $∠ BDC = ∠ CEB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ CBE$中，
$\begin{cases}BC = CB, \\CD = BE,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BCD ≌ \mathrm{Rt}△ CBE(\mathrm{HL})$，
∴ $∠ EBC = ∠ DCB$，
即$∠ 1 = ∠ 2$。

【分析】
要证明∠1=∠2，观察图形可知∠1和∠2分别是Rt△BCD和Rt△CBE的内角，因此可通过证明这两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质推导结论。首先根据已知的垂直条件可得两个三角形均为直角三角形，已知直角边CD=BE，又有公共斜边BC=CB，符合直角三角形全等的HL判定条件，证完全等后即可得到对应角相等，进而推出∠1=∠2。
【解析】
证明：
∵ $BE⊥AC$，$CD⊥AB$，
∴ $∠ BDC = ∠ CEB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ CBE$中，
$\begin{cases}BC = CB, \\CD = BE,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BCD ≌ \mathrm{Rt}△ CBE(\mathrm{HL})$，
∴ $∠ EBC = ∠ DCB$，
即$∠ 1 = ∠ 2$。
【答案】
∠1=∠2，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等判定、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题的关键是挖掘出公共边BC这个隐含条件，熟练运用HL判定直角三角形全等，再结合全等三角形对应角相等的性质即可求解，需注意证明过程的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.8