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1. 已知下列各式：
①$-3x+2y=1$； ②$x=5$； ③$\frac{2}{x}+1=3$； ④$4-3=1$； ⑤$x^2 -x -2=0$；
⑥$3x-2$； ⑦$2x-2=x$。
其中方程有________，一元一次方程有________。
①$-3x+2y=1$； ②$x=5$； ③$\frac{2}{x}+1=3$； ④$4-3=1$； ⑤$x^2 -x -2=0$；
⑥$3x-2$； ⑦$2x-2=x$。
其中方程有________，一元一次方程有________。
答案
①②③⑤⑦；②⑦
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步先识别哪些是方程，要紧扣方程的两个判定条件：①是等式（含有等号）；②含有未知数，两个条件缺一不可。第二步再从选出的方程中筛选一元一次方程，一元一次方程需同时满足三个条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式，逐一验证即可得到结果。
【解析】
首先根据方程的定义（含有未知数的等式）逐个判断：
①$-3x+2y=1$：是等式，含未知数$x、y$，属于方程；
②$x=5$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
③$\frac{2}{x}+1=3$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
④$4-3=1$：是等式，但不含未知数，不属于方程；
⑤$x^2 -x -2=0$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
⑥$3x-2$：不是等式，不属于方程；
⑦$2x-2=x$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
因此方程有：①②③⑤⑦。
再根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数次数为1、两边都是整式的方程）从上述方程中筛选：
①含2个未知数，不符合；
②满足一元一次方程的全部条件，符合；
③分母含未知数，不是整式方程，不符合；
⑤未知数最高次数为2，不符合；
⑦满足一元一次方程的全部条件，符合；
因此一元一次方程有：②⑦。
【答案】
①②③⑤⑦；②⑦
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确掌握相关定义的判定要点，特别注意$x=5$是最简单的一元一次方程，分母含有未知数的方程不属于一元一次方程，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题需分两步完成：第一步先识别哪些是方程，要紧扣方程的两个判定条件：①是等式（含有等号）；②含有未知数，两个条件缺一不可。第二步再从选出的方程中筛选一元一次方程，一元一次方程需同时满足三个条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③等号两边都是整式，逐一验证即可得到结果。
【解析】
首先根据方程的定义（含有未知数的等式）逐个判断：
①$-3x+2y=1$：是等式，含未知数$x、y$，属于方程；
②$x=5$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
③$\frac{2}{x}+1=3$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
④$4-3=1$：是等式，但不含未知数，不属于方程；
⑤$x^2 -x -2=0$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
⑥$3x-2$：不是等式，不属于方程；
⑦$2x-2=x$：是等式，含未知数$x$，属于方程；
因此方程有：①②③⑤⑦。
再根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数次数为1、两边都是整式的方程）从上述方程中筛选：
①含2个未知数，不符合；
②满足一元一次方程的全部条件，符合；
③分母含未知数，不是整式方程，不符合；
⑤未知数最高次数为2，不符合；
⑦满足一元一次方程的全部条件，符合；
因此一元一次方程有：②⑦。
【答案】
①②③⑤⑦；②⑦
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的核心是准确掌握相关定义的判定要点，特别注意$x=5$是最简单的一元一次方程，分母含有未知数的方程不属于一元一次方程，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 判断下列 $ x $ 的值是不是方程 $ 1 - 3x = 7 $ 的解：
(1) $ x = 1 $;
(2) $ x = -2 $。
(1) $ x = 1 $;
(2) $ x = -2 $。
答案
(1) 不是 (2) 是
解析
【分析】
判断一个数值是不是方程的解，核心方法是代入检验法：将未知数的值分别代入方程的左边和右边计算，若左右两边计算结果相等，则该值是方程的解；若不相等，则不是方程的解。本题我们分别将两个x的值代入方程左右两边计算、比较结果即可得出结论。
【解析】
(1) 将$x=1$代入方程$1 - 3x = 7$：
左边$=1 - 3×1 = 1 - 3 = -2$，右边$=7$，
因为左边≠右边，所以$x=1$不是方程$1 - 3x = 7$的解。
(2) 将$x=-2$代入方程$1 - 3x = 7$：
左边$=1 - 3×(-2) = 1 + 6 = 7$，右边$=7$，
因为左边=右边，所以$x=-2$是方程$1 - 3x = 7$的解。
【答案】
(1) 不是；(2) 是
【知识点】
方程的解的定义；代入检验法
【点评】
本题是方程解判定的基础题型，核心考查代入检验的方法，计算时要注意有理数运算的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
判断一个数值是不是方程的解，核心方法是代入检验法：将未知数的值分别代入方程的左边和右边计算，若左右两边计算结果相等，则该值是方程的解；若不相等，则不是方程的解。本题我们分别将两个x的值代入方程左右两边计算、比较结果即可得出结论。
【解析】
(1) 将$x=1$代入方程$1 - 3x = 7$：
左边$=1 - 3×1 = 1 - 3 = -2$，右边$=7$，
因为左边≠右边，所以$x=1$不是方程$1 - 3x = 7$的解。
(2) 将$x=-2$代入方程$1 - 3x = 7$：
左边$=1 - 3×(-2) = 1 + 6 = 7$，右边$=7$，
因为左边=右边，所以$x=-2$是方程$1 - 3x = 7$的解。
【答案】
(1) 不是；(2) 是
【知识点】
方程的解的定义；代入检验法
【点评】
本题是方程解判定的基础题型，核心考查代入检验的方法，计算时要注意有理数运算的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
3. 已知$x=2$是关于$x$的方程$3x+a=0$的一个解，则$a$的值是（
A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
A
）。A.$-6$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是理解一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，我们只需要将x=2代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=2是关于x的方程$3x+a=0$的解
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$3×2 + a = 0$
计算得：$6 + a = 0$
移项得：$a = -6$
因此a的值为-6。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程解的应用，解题关键是熟练掌握方程的解的定义，代入计算即可得分，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题的核心是理解一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，我们只需要将x=2代入原方程，就能得到一个只含有未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=2是关于x的方程$3x+a=0$的解
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$3×2 + a = 0$
计算得：$6 + a = 0$
移项得：$a = -6$
因此a的值为-6。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程解的应用，解题关键是熟练掌握方程的解的定义，代入计算即可得分，计算量小。
【难度系数】
0.9
4. 利用等式的性质,解下列一元一次方程。
(1) $3x - 8 = x$；
(2) $0.5x = 2 - 0.3x$。
(1) $3x - 8 = x$；
(2) $0.5x = 2 - 0.3x$。
答案
(1) $x=4$ (2) $x=2.5$
解析
【分析】
解这两个一元一次方程的依据是等式的性质，解题目标是将方程逐步变形为x=a的形式。首先利用等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，把含未知数x的项统一调整到方程左侧，常数项调整到方程右侧；合并同类项后，再利用等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，将x的系数化为1即可得到解，最后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
(1) 解：
根据等式性质1，等式两边同时减去x，得：
$3x - 8 - x = x - x$
化简得：$2x - 8 = 0$
再根据等式性质1，等式两边同时加8，得：
$2x - 8 + 8 = 0 + 8$
化简得：$2x = 8$
根据等式性质2，等式两边同时除以2，得：
$x = 4$
检验：将x=4代入原方程，左边=3×4-8=4，右边=4，左边=右边，故x=4是原方程的解。
(2) 解：
根据等式性质1，等式两边同时加0.3x，得：
$0.5x + 0.3x = 2 - 0.3x + 0.3x$
化简得：$0.8x = 2$
根据等式性质2，等式两边同时除以0.8，得：
$x = 2÷0.8 = 2.5$
检验：将x=2.5代入原方程，左边=0.5×2.5=1.25，右边=2-0.3×2.5=1.25，左边=右边，故x=2.5是原方程的解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=2.5$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是等式性质应用的基础训练题，解题时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，避免出现单边运算、符号错误等问题，养成解完方程代入检验的习惯可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
解这两个一元一次方程的依据是等式的性质，解题目标是将方程逐步变形为x=a的形式。首先利用等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，把含未知数x的项统一调整到方程左侧，常数项调整到方程右侧；合并同类项后，再利用等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，将x的系数化为1即可得到解，最后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
(1) 解：
根据等式性质1，等式两边同时减去x，得：
$3x - 8 - x = x - x$
化简得：$2x - 8 = 0$
再根据等式性质1，等式两边同时加8，得：
$2x - 8 + 8 = 0 + 8$
化简得：$2x = 8$
根据等式性质2，等式两边同时除以2，得：
$x = 4$
检验：将x=4代入原方程，左边=3×4-8=4，右边=4，左边=右边，故x=4是原方程的解。
(2) 解：
根据等式性质1，等式两边同时加0.3x，得：
$0.5x + 0.3x = 2 - 0.3x + 0.3x$
化简得：$0.8x = 2$
根据等式性质2，等式两边同时除以0.8，得：
$x = 2÷0.8 = 2.5$
检验：将x=2.5代入原方程，左边=0.5×2.5=1.25，右边=2-0.3×2.5=1.25，左边=右边，故x=2.5是原方程的解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=2.5$
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是等式性质应用的基础训练题，解题时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，避免出现单边运算、符号错误等问题，养成解完方程代入检验的习惯可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8
5. 写出两个以$x=3$为解的一元一次方程。
答案
答案不唯一。如$2x=6$,$x+2=5$等
解析
【分析】
首先我们需要明确两个核心要求：一是构造的方程必须是一元一次方程，即满足只含一个未知数x、未知数的次数为1、等号两边都是整式；二是x=3代入方程后，等号左右两边的计算结果相等。构造时可以利用等式的基本性质，对x=3这个等式做同加、同减、同乘（不为0的数）的变形，就能快速得到符合要求的方程，答案不唯一。
【解析】
第一步：回忆一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等式两边均为整式。
第二步：回忆方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
第三步：利用等式的性质构造方程：
①给等式x=3两边同时乘2，可得2x=6，代入x=3验证：左边=2×3=6，右边=6，左右相等，且是一元一次方程，符合要求；
②给等式x=3两边同时加2，可得x+2=5，代入x=3验证：左边=3+2=5，右边=5，左右相等，且是一元一次方程，符合要求。
还可构造出x-1=2、3x=9等多种符合要求的方程。
【答案】
答案不唯一。如$2x=6$，$x+2=5$等
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的概念
3. 等式的基本性质
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对核心概念的理解与灵活运用，只要满足一元一次方程的定义、且x=3代入后等式成立即可，答案不唯一，能很好地检验对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.9
首先我们需要明确两个核心要求：一是构造的方程必须是一元一次方程，即满足只含一个未知数x、未知数的次数为1、等号两边都是整式；二是x=3代入方程后，等号左右两边的计算结果相等。构造时可以利用等式的基本性质，对x=3这个等式做同加、同减、同乘（不为0的数）的变形，就能快速得到符合要求的方程，答案不唯一。
【解析】
第一步：回忆一元一次方程的判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等式两边均为整式。
第二步：回忆方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
第三步：利用等式的性质构造方程：
①给等式x=3两边同时乘2，可得2x=6，代入x=3验证：左边=2×3=6，右边=6，左右相等，且是一元一次方程，符合要求；
②给等式x=3两边同时加2，可得x+2=5，代入x=3验证：左边=3+2=5，右边=5，左右相等，且是一元一次方程，符合要求。
还可构造出x-1=2、3x=9等多种符合要求的方程。
【答案】
答案不唯一。如$2x=6$，$x+2=5$等
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的概念
3. 等式的基本性质
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对核心概念的理解与灵活运用，只要满足一元一次方程的定义、且x=3代入后等式成立即可，答案不唯一，能很好地检验对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.9
