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1. 已知点 P 是线段AB 的黄金分割点，且AP＞PB。下列命题正确的是
①$AB^2=AP· PB$； ②$AP^2=PB· AB$；
③$BP^2=AP· AB$； ④$AP:AB=PB:AP$。
②④
（只需填写序号）。①$AB^2=AP· PB$； ②$AP^2=PB· AB$；
③$BP^2=AP· AB$； ④$AP:AB=PB:AP$。
答案
②④
解析
【分析】
解题首先要明确黄金分割的定义，已知P是线段AB的黄金分割点且AP＞PB，说明AP是较长线段，PB是较短线段。根据黄金分割的核心性质：较长线段与原线段的比等于较短线段与较长线段的比，先写出对应比例式，再利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）转化为等积式，逐一核对四个命题就能得到正确结论。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$，即$AP:AB=PB:AP$，故命题④正确；
对上述比例式使用比例的基本性质交叉相乘，可得：$AP^2 = PB·AB$，故命题②正确；
命题①③不符合黄金分割对应的等积式，因此错误。
综上，正确的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，解题的关键是准确掌握黄金分割中各线段的对应比例关系，做题时注意题干给出的长短段条件，避免将比例的前后项搞混。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确黄金分割的定义，已知P是线段AB的黄金分割点且AP＞PB，说明AP是较长线段，PB是较短线段。根据黄金分割的核心性质：较长线段与原线段的比等于较短线段与较长线段的比，先写出对应比例式，再利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）转化为等积式，逐一核对四个命题就能得到正确结论。
【解析】
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{AP}{AB}=\frac{PB}{AP}$，即$AP:AB=PB:AP$，故命题④正确；
对上述比例式使用比例的基本性质交叉相乘，可得：$AP^2 = PB·AB$，故命题②正确；
命题①③不符合黄金分割对应的等积式，因此错误。
综上，正确的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
黄金分割的定义；比例的基本性质
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，解题的关键是准确掌握黄金分割中各线段的对应比例关系，做题时注意题干给出的长短段条件，避免将比例的前后项搞混。
【难度系数】
0.8
2. 求$a$，$b$的比例中项。
(1) $a=3, b=6$。
(2) $a=3-2\sqrt{2}, b=3+2\sqrt{2}$。
(1) $a=3, b=6$。
(2) $a=3-2\sqrt{2}, b=3+2\sqrt{2}$。
答案
(1) $3\sqrt{2}$
(2) $1$
(2) $1$
解析
【分析】
要计算a、b的比例中项，首先明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$，结合本题属于比例线段相关习题，线段长度为正数，因此只需计算ab的算术平方根即可得到结果。解题时先分别计算每小问中a与b的乘积，再对乘积开算术平方根即可。
【解析】
设a、b的比例中项为c，根据比例中项的性质可得$c^2=ab$，且$c＞0$。
(1) 当$a=3$，$b=6$时：
$ab=3×6=18$，因此$c=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；
(2) 当$a=3-2\sqrt{2}$，$b=3+2\sqrt{2}$时，利用平方差公式计算乘积：
$ab=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$，因此$c=\sqrt{1}=1$。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $1$
【知识点】
比例中项的定义，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记比例中项的性质，第二小问灵活运用平方差公式可大幅简化运算，需注意比例线段范畴内的比例中项为正数，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要计算a、b的比例中项，首先明确比例中项的定义：若c是a、b的比例中项，则满足$c^2=ab$，结合本题属于比例线段相关习题，线段长度为正数，因此只需计算ab的算术平方根即可得到结果。解题时先分别计算每小问中a与b的乘积，再对乘积开算术平方根即可。
【解析】
设a、b的比例中项为c，根据比例中项的性质可得$c^2=ab$，且$c＞0$。
(1) 当$a=3$，$b=6$时：
$ab=3×6=18$，因此$c=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；
(2) 当$a=3-2\sqrt{2}$，$b=3+2\sqrt{2}$时，利用平方差公式计算乘积：
$ab=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$，因此$c=\sqrt{1}=1$。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$；(2) $1$
【知识点】
比例中项的定义，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记比例中项的性质，第二小问灵活运用平方差公式可大幅简化运算，需注意比例线段范畴内的比例中项为正数，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
3. 海螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界鬼斧神工的美丽作品。如图，P是AB的黄金分割点($BP＞AP$)。
（1）写出一个与$\frac{AP}{PB}$相等的线段比。
（2）若线段PB的长为7，求线段AB的长。
（1）写出一个与$\frac{AP}{PB}$相等的线段比。
（2）若线段PB的长为7，求线段AB的长。
答案
(1) $\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{AB}$
(2) $AB=\frac{7\sqrt{5}+7}{2}$
(2) $AB=\frac{7\sqrt{5}+7}{2}$
解析
【分析】
（1）本题考查黄金分割的定义，解题时先明确黄金分割点的性质：若点P为线段AB的黄金分割点且BP＞AP，则较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，据此即可写出符合要求的线段比。
（2）已知较长线段PB的长度，结合黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是较长线段与整条线段的比值，代入已知数值后通过二次根式的化简计算即可得到AB的长度，计算时注意正确进行分母有理化。
【解析】
（1）根据黄金分割的定义，点P是AB的黄金分割点且$BP＞AP$，可得：
$\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{AB}$，因此$\frac{PB}{AB}$是与$\frac{AP}{PB}$相等的线段比。
（2）由黄金分割的性质可知，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
将$PB=7$代入上式，得：
$\frac{7}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
交叉相乘变形得：
$AB=\frac{14}{\sqrt{5}-1}$
对右边的式子分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{5}+1$：
$AB=\frac{14(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{14(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{14(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{7\sqrt{5}+7}{2}$
【答案】
(1) $\frac{PB}{AB}$
(2) $\frac{7\sqrt{5}+7}{2}$
【知识点】
黄金分割的概念，比例的基本性质，二次根式化简
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，核心是掌握黄金分割的定义和黄金比的数值，解题时注意区分较短线段、较长线段和原线段的比例关系，计算二次根式时要规范进行分母有理化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题考查黄金分割的定义，解题时先明确黄金分割点的性质：若点P为线段AB的黄金分割点且BP＞AP，则较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，据此即可写出符合要求的线段比。
（2）已知较长线段PB的长度，结合黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是较长线段与整条线段的比值，代入已知数值后通过二次根式的化简计算即可得到AB的长度，计算时注意正确进行分母有理化。
【解析】
（1）根据黄金分割的定义，点P是AB的黄金分割点且$BP＞AP$，可得：
$\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{AB}$，因此$\frac{PB}{AB}$是与$\frac{AP}{PB}$相等的线段比。
（2）由黄金分割的性质可知，较长线段与原线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
将$PB=7$代入上式，得：
$\frac{7}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
交叉相乘变形得：
$AB=\frac{14}{\sqrt{5}-1}$
对右边的式子分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{5}+1$：
$AB=\frac{14(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{14(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{14(\sqrt{5}+1)}{4}=\frac{7\sqrt{5}+7}{2}$
【答案】
(1) $\frac{PB}{AB}$
(2) $\frac{7\sqrt{5}+7}{2}$
【知识点】
黄金分割的概念，比例的基本性质，二次根式化简
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，核心是掌握黄金分割的定义和黄金比的数值，解题时注意区分较短线段、较长线段和原线段的比例关系，计算二次根式时要规范进行分母有理化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知线段$AB=4$，延长$AB$到$C$，使$AC=3AB$，$M$为$AC$的中点。判断线段$AB$是不是线段$BM$和$BC$的比例中项线段，并说明理由。
答案
是比例中项,因为$AB^2=BM· BC$
解析
【分析】
要判断线段AB是不是BM和BC的比例中项线段，首先需明确比例中项的判定依据：若线段a是线段b、c的比例中项，则满足$a^2=b·c$。因此我们只需先根据题目给出的线段关系，依次求出BC、BM的长度，再分别计算$AB^2$与$BM·BC$的值，比较二者是否相等即可完成判断。
【解析】
解：线段AB是线段BM和BC的比例中项线段，理由如下：
$\because AB=4$，$AC=3AB$
$\therefore AC=3×4=12$
$\therefore BC=AC-AB=12-4=8$
$\because M$为$AC$的中点
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
$\therefore BM=AM-AB=6-4=2$
$\because AB^2=4^2=16$，$BM·BC=2×8=16$
$\therefore AB^2=BM·BC$
$\therefore$线段AB是线段BM和BC的比例中项线段。
【答案】
是比例中项,因为$AB^2=BM· BC$
【知识点】
比例中项定义，线段中点的性质，线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先结合已知线段关系求出各相关线段的长度，再根据比例中项的定义验证等式是否成立即可。
【难度系数】
0.8
要判断线段AB是不是BM和BC的比例中项线段，首先需明确比例中项的判定依据：若线段a是线段b、c的比例中项，则满足$a^2=b·c$。因此我们只需先根据题目给出的线段关系，依次求出BC、BM的长度，再分别计算$AB^2$与$BM·BC$的值，比较二者是否相等即可完成判断。
【解析】
解：线段AB是线段BM和BC的比例中项线段，理由如下：
$\because AB=4$，$AC=3AB$
$\therefore AC=3×4=12$
$\therefore BC=AC-AB=12-4=8$
$\because M$为$AC$的中点
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
$\therefore BM=AM-AB=6-4=2$
$\because AB^2=4^2=16$，$BM·BC=2×8=16$
$\therefore AB^2=BM·BC$
$\therefore$线段AB是线段BM和BC的比例中项线段。
【答案】
是比例中项,因为$AB^2=BM· BC$
【知识点】
比例中项定义，线段中点的性质，线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先结合已知线段关系求出各相关线段的长度，再根据比例中项的定义验证等式是否成立即可。
【难度系数】
0.8
