5. 已知线段$a = 4\ \mathrm{cm}, b = 9\ \mathrm{cm}$。请再给出一条线段$c$，使其中一条线段是其他两条线段的比例中项。

$6\ \mathrm{cm}$或$\frac{16}{9}\ \mathrm{cm}$或$\frac{81}{4}\ \mathrm{cm}$

【分析】
首先明确比例中项的定义：若某条线段是另外两条线段的比例中项，则这条线段的平方等于另外两条线段长度的乘积。题目未指定哪条线段是比例中项，因此需要分三种情况讨论：①c是a、b的比例中项；②a是b、c的比例中项；③b是a、c的比例中项。分别根据比例中项的性质列方程求解，结合线段长度为正数的要求舍去负根，即可得到c的所有可能值。
【解析】
根据比例中项的性质：若线段$x$是线段$y$、$z$的比例中项，则$x^2 = y · z$，且线段长度恒为正，分三种情况讨论：
1. 当$c$是$a$、$b$的比例中项时：
$c^2 = a · b = 4 × 9 = 36$
$\because c ＞ 0$，$\therefore c = 6\ \mathrm{cm}$
2. 当$a$是$b$、$c$的比例中项时：
$a^2 = b · c$，即$4^2 = 9c$
$16 = 9c$，解得$c = \frac{16}{9}\ \mathrm{cm}$
3. 当$b$是$a$、$c$的比例中项时：
$b^2 = a · c$，即$9^2 = 4c$
$81 = 4c$，解得$c = \frac{81}{4}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$或$\frac{16}{9}\ \mathrm{cm}$或$\frac{81}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
比例中项、分类讨论思想、比例的基本性质
【点评】
本题重点考查对比例中项概念的理解与应用，解题的关键是明确未指定比例中项时需分类讨论所有可能的情况，同时要注意结合线段的实际意义，舍去负数解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4

6.（多选题）若b是a和c的比例中项，c是b和d的比例中项，则下列式子一定成立的是（）。

A.$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
B.$\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$
C.$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

ABD

【分析】
首先回忆比例中项的定义：若x是y和z的比例中项，则满足比例式$\frac{y}{x}=\frac{x}{z}$，也可转化为等积式$x^2=yz$。解题时先根据题目的两个条件写出对应的基础比例式，先判断选项A、B是否符合定义；再利用比例的基本性质对得到的式子进行变形，推导剩余选项是否一定成立，注意“一定成立”要求对所有符合条件的数值都成立，不能仅满足特殊情况。
【解析】
根据比例中项的定义逐步分析：
1. 因为b是a和c的比例中项，所以可得$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$，即$b^2=ac$，因此A选项一定成立；
2. 因为c是b和d的比例中项，所以可得$\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$，即$c^2=bd$，因此B选项一定成立；
3. 对上述两个式子变形推导：由$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$得$a=\frac{b^2}{c}$，由$\frac{b}{c}=\frac{c}{d}$得$d=\frac{c^2}{b}$。分别计算$\frac{a}{b}=\frac{\frac{b^2}{c}}{b}=\frac{b}{c}$，$\frac{c}{d}=\frac{c}{\frac{c^2}{b}}=\frac{b}{c}$，因此$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D选项一定成立；
4. 验证C选项：$\frac{a}{d}=\frac{\frac{b^2}{c}}{\frac{c^2}{b}}=\frac{b^3}{c^3}$，仅当$b=c$时$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$，不是对所有情况都成立，因此C选项错误。
【答案】
ABD
【知识点】
比例中项；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查比例中项的概念和比例式的变形，解题关键是熟练掌握比例式和等积式的互相转化，推导时要注意严谨性，不能仅凭直观判断，避免误选不恒成立的选项。
【难度系数】
0.7

7. 已知线段$a,b,c$满足$a:b=3:2,b:c=1:3$,且$a+2b+c=26$。
（1）求$a,b,c$的值。
（2）若线段$x$是线段$a,b$的比例中项,求线段$x$的长。

(1) 因为$a:b=3:2,b:c=1:3$,所以$a:b:c=3:2:6$。设$a=3k,b=2k,c=6k$。因为$a+2b+c=26$,所以$13k=26$,解得$k=2$,所以$a=6,b=4,c=12$。
(2) 因为线段$x$是线段$a,b$的比例中项,所以$x^2=ab=24$。因为$x＞0$,所以$x=2\sqrt{6}$。

【分析】
（1）求解a、b、c的值的核心思路是先统一连比：已知两个比例均含公共项b，第一个比例中b占2份，第二个比例中b占1份，将第二个比例前后项同乘2，即可把b的份数统一为2，得到a:b:c的连比；再采用设参数法，将a、b、c均用含参数k的代数式表示，代入a+2b+c=26的等式中解出k，即可求出三条线段的长度。
（2）求解比例中项x时，先回忆比例中项的定义：若x是a、b的比例中项，则满足x²=ab，代入a、b的值计算后，结合线段长度为正数的隐含条件，取正的平方根即可得到x的长。
【解析】
(1) 已知$a:b=3:2$，$b:c=1:3$，将$b:c=1:3$的前后项同时乘2，可得$b:c=2:6$，因此$a:b:c=3:2:6$。
设$a=3k$，$b=2k$，$c=6k$（$k＞0$），代入$a+2b+c=26$得：
$3k + 2×2k + 6k = 26$
合并同类项得$13k=26$，解得$k=2$。
因此$a=3×2=6$，$b=2×2=4$，$c=6×2=12$。
(2) 因为线段$x$是线段$a,b$的比例中项，根据比例中项的性质可得$x^2=ab$。
代入$a=6$，$b=4$，得$x^2=6×4=24$。
因为线段长度为正数，即$x＞0$，所以$x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $a=6$，$b=4$，$c=12$；
(2) $x=2\sqrt{6}$。
【知识点】
比例的性质、比例中项、参数法解比例
【点评】
本题是比例线段的基础题型，解题关键是第一问通过统一公共项的份数得到连比，用参数法将各线段用同一参数表示后代入方程求解；第二问需注意线段长度为正，开方时仅保留正根，熟练掌握比例相关基本概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

8. 采用如下方法可以得到黄金分割点:如图,设AB是已知线段,以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连结EB。延长DA至点F,使$EF=EB$。以线段AF为边作正方形AFGH,则H就是AB的黄金分割点。你能说出这种方法的道理吗？

设$AE=x$,则$AB=2x$,$EF=EB=\sqrt{5}x$,所以$AH=AF=(\sqrt{5}-1)x$,所以$\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

【分析】
要证明H是AB的黄金分割点，核心是验证$\frac{AH}{AB}$等于黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先设参数简化计算：利用正方形边长相等、E是AD中点的条件设未知数，再通过勾股定理求出EB的长度，结合$EF=EB$求出AF的长度，最后根据正方形AFGH的边长相等得到AH的长度，计算线段比值即可验证结论。
【解析】
设$AE=x$，
∵ 四边形ABCD是正方形，E为AD的中点，
∴ $AB=AD=2AE=2x$，$∠ EAB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∵ $EF=EB$，
∴ $EF=\sqrt{5}x$，
∴ $AF=EF-AE=\sqrt{5}x-x=(\sqrt{5}-1)x$，
∵ 四边形AFGH是正方形，
∴ $AH=AF=(\sqrt{5}-1)x$，
∴ $\frac{AH}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)x}{2x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割比的定义，因此H是AB的黄金分割点。
【答案】
设$AE=x$,则$AB=2x$,$EF=EB=\sqrt{5}x$,所以$AH=AF=(\sqrt{5}-1)x$,所以$\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割比的定义，故H是AB的黄金分割点。
【知识点】
黄金分割；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题结合几何作图考查黄金分割的证明，将正方形性质、勾股定理与黄金分割定义结合，用设参数的方法简化线段长度计算，能帮助大家理解黄金分割比的几何来源。
【难度系数】
0.7