登录
1. 关于$x$的方程$(x+1)^2 - m = 0$（其中$m ≥ 0$）的解为（
A.$x=-1+m$
B.$x=-1+\sqrt{m}$
C.$x=-1\pm m$
D.$x=-1\pm\sqrt{m}$
D
）。A.$x=-1+m$
B.$x=-1+\sqrt{m}$
C.$x=-1\pm m$
D.$x=-1\pm\sqrt{m}$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题是求解含参数的一元二次方程，观察方程左边是完全平方式，将常数项移到右侧后为非负数m（题目已给出m≥0，满足平方根有意义的条件），因此优先选用直接开平方法解题。解题时先移项，再对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏写负号，最后移项求出x的表达式即可对应正确选项。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x+1)^2 = m$
∵ $m≥0$，等号右侧是非负数，可直接开平方，得：
$x+1 = \pm\sqrt{m}$
将常数项移到等号右侧，解得：
$x = -1\pm\sqrt{m}$
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基础解法，解题时要注意两点：一是开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏写负号；二是要对m开根号，不要误写成直接加减m。
【难度系数】
0.8
这道题是求解含参数的一元二次方程，观察方程左边是完全平方式，将常数项移到右侧后为非负数m（题目已给出m≥0，满足平方根有意义的条件），因此优先选用直接开平方法解题。解题时先移项，再对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个，不要漏写负号，最后移项求出x的表达式即可对应正确选项。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x+1)^2 = m$
∵ $m≥0$，等号右侧是非负数，可直接开平方，得：
$x+1 = \pm\sqrt{m}$
将常数项移到等号右侧，解得：
$x = -1\pm\sqrt{m}$
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基础解法，解题时要注意两点：一是开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏写负号；二是要对m开根号，不要误写成直接加减m。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解方程$x^2 -8x -20=0$，下列变形正确的是(
A.$(x+4)^2=24$
B.$(x+8)^2=44$
C.$(x+4)^2=36$
D.$(x-4)^2=36$
D
)。A.$(x+4)^2=24$
B.$(x+8)^2=44$
C.$(x+4)^2=36$
D.$(x-4)^2=36$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的基本步骤：第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后对比选项选出正确答案即可。需要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【解析】
解：对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 8x = 20$
配方，等号两边同时加上一次项系数$-8$一半的平方，即$(-4)^2=16$，得：
$x^2 - 8x + 16 = 20 + 16$
根据完全平方公式，左侧可整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x-4)^2 = 36$
对比选项，可知D选项变形正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，核心是掌握配方的操作规则：二次项系数为1时，方程两边加一次项系数一半的平方，解题时需格外注意一次项的符号，避免变形错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的基本步骤：第一步先把常数项移到等号右侧，第二步在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后对比选项选出正确答案即可。需要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【解析】
解：对原方程移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 - 8x = 20$
配方，等号两边同时加上一次项系数$-8$一半的平方，即$(-4)^2=16$，得：
$x^2 - 8x + 16 = 20 + 16$
根据完全平方公式，左侧可整理为完全平方式，右侧计算得：
$(x-4)^2 = 36$
对比选项，可知D选项变形正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，核心是掌握配方的操作规则：二次项系数为1时，方程两边加一次项系数一半的平方，解题时需格外注意一次项的符号，避免变形错误。
【难度系数】
0.8
3.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$2x^2 -8x +7=0$的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（
A.$\sqrt{3}$
B.3
C.6
D.9
B
）。A.$\sqrt{3}$
B.3
C.6
D.9
答案
3.B
解析
【分析】
要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理可知，斜边长的平方等于两条直角边的平方和。已知两条直角边是给定一元二次方程的两个根，不需要直接求解方程算出根的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形，将两根平方和转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入计算后开方即可得到斜边长。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$x_1$、$x_2$，斜边长为$c$。
1. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -8x +7=0$（其中$a=2,b=-8$，常数项为7），可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{8}{2}=4$，$x_1x_2 = \frac{常数项}{a}=\frac{7}{2}$。
2. 根据勾股定理，斜边长满足$c^2 = x_1^2 + x_2^2$。
利用完全平方公式变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入数值计算：
$x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2×\frac{7}{2}=16 -7=9$。
3. 因为三角形边长为正数，所以$c=\sqrt{9}=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 勾股定理
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，无需解出方程的具体根，灵活运用根与系数的关系可简化计算，考查对基础公式的理解和灵活运用能力，是高频考点题型。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形的斜边长，首先根据勾股定理可知，斜边长的平方等于两条直角边的平方和。已知两条直角边是给定一元二次方程的两个根，不需要直接求解方程算出根的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形，将两根平方和转化为用两根之和、两根之积表示的形式，代入计算后开方即可得到斜边长。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为$x_1$、$x_2$，斜边长为$c$。
1. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -8x +7=0$（其中$a=2,b=-8$，常数项为7），可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{8}{2}=4$，$x_1x_2 = \frac{常数项}{a}=\frac{7}{2}$。
2. 根据勾股定理，斜边长满足$c^2 = x_1^2 + x_2^2$。
利用完全平方公式变形：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入数值计算：
$x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2×\frac{7}{2}=16 -7=9$。
3. 因为三角形边长为正数，所以$c=\sqrt{9}=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 勾股定理
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，无需解出方程的具体根，灵活运用根与系数的关系可简化计算，考查对基础公式的理解和灵活运用能力，是高频考点题型。
【难度系数】
0.8
4.使分式$\frac{x^2 -5x -6}{x+1}$的值等于零的$x$是(
A.6
B.$-1$或6
C.$-1$
D.$-6$
A
)。A.6
B.$-1$或6
C.$-1$
D.$-6$
答案
4.A
解析
【分析】
要使分式的值为0，需同时满足两个核心条件：①分子的取值等于0；②分母的取值不等于0，二者缺一不可。解题时先求解分子为0时x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的取值就是正确结果。
【解析】
根据分式值为0的条件，分步计算：
1. 令分子为0：$x^2 -5x -6=0$
对左边因式分解可得：$(x-6)(x+1)=0$
解得：$x=6$ 或 $x=-1$
2. 验证分母不为0：分母为$x+1$，因此$x+1≠0$，即$x≠-1$
综上，排除$x=-1$，满足条件的x取值为6。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 因式分解解一元二次方程
【点评】
本题是分式板块的基础常考题，易错点是忽略分母不能为0的限制，仅根据分子为0直接选错误选项，解题时要牢记分式值为0的两个条件需同时成立，养成求解后验证分母的习惯。
【难度系数】
0.7
要使分式的值为0，需同时满足两个核心条件：①分子的取值等于0；②分母的取值不等于0，二者缺一不可。解题时先求解分子为0时x的所有可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的取值就是正确结果。
【解析】
根据分式值为0的条件，分步计算：
1. 令分子为0：$x^2 -5x -6=0$
对左边因式分解可得：$(x-6)(x+1)=0$
解得：$x=6$ 或 $x=-1$
2. 验证分母不为0：分母为$x+1$，因此$x+1≠0$，即$x≠-1$
综上，排除$x=-1$，满足条件的x取值为6。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 因式分解解一元二次方程
【点评】
本题是分式板块的基础常考题，易错点是忽略分母不能为0的限制，仅根据分子为0直接选错误选项，解题时要牢记分式值为0的两个条件需同时成立，养成求解后验证分母的习惯。
【难度系数】
0.7
5.已知关于x的一元二次方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$无实数根，那么m的取值范围是
$m＞1$
。答案
5.$m＞1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的前提条件：二次项系数不为0；其次，一元二次方程无实数根对应根的判别式小于0。我们可以分两步思考：第一步先根据一元二次方程的定义确定m的初步限制，第二步结合判别式的符号列不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
∵ 方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m× 1 = 4 - 4m$
∵ 方程无实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$4 - 4m ＜ 0$
解不等式：
$4 ＜ 4m$
$m ＞ 1$
结合$m ≠ 0$的条件，$m＞1$已经满足$m≠0$，因此m的取值范围是$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题时需要注意先明确方程的类型，不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，再结合根的情况对应判别式的符号列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的前提条件：二次项系数不为0；其次，一元二次方程无实数根对应根的判别式小于0。我们可以分两步思考：第一步先根据一元二次方程的定义确定m的初步限制，第二步结合判别式的符号列不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
∵ 方程$mx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m ≠ 0$
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=m$，$b=-2$，$c=1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4× m× 1 = 4 - 4m$
∵ 方程无实数根
∴ $\Delta ＜ 0$，即$4 - 4m ＜ 0$
解不等式：
$4 ＜ 4m$
$m ＞ 1$
结合$m ≠ 0$的条件，$m＞1$已经满足$m≠0$，因此m的取值范围是$m＞1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的常规应用题型，解题时需要注意先明确方程的类型，不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，再结合根的情况对应判别式的符号列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
6.若关于$x$的一元二次方程$(x+3)^2=a-1$有实数根，则$a$的取值范围是
$a≥1$
。答案
6.$a≥1$
解析
【分析】
要确定a的取值范围，首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即对于任意实数x，都有$(x+3)^2≥0$。题目中方程有实数根，说明等式右边的代数式的取值必须匹配左边平方的取值范围，也就是a-1必须是非负数，据此列不等式求解即可。
【解析】
∵ 对任意实数x，均有$(x+3)^2 ≥ 0$，
又
∵ 方程$(x+3)^2 = a-1$有实数根，
∴ $a-1 ≥ 0$，
解不等式得：$a ≥ 1$。
【答案】
$a≥ 1$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程实根条件
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数的性质应用，解题的关键是明确平方的结果不可能为负数，从而建立不等式求解。
【难度系数】
0.9
要确定a的取值范围，首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即对于任意实数x，都有$(x+3)^2≥0$。题目中方程有实数根，说明等式右边的代数式的取值必须匹配左边平方的取值范围，也就是a-1必须是非负数，据此列不等式求解即可。
【解析】
∵ 对任意实数x，均有$(x+3)^2 ≥ 0$，
又
∵ 方程$(x+3)^2 = a-1$有实数根，
∴ $a-1 ≥ 0$，
解不等式得：$a ≥ 1$。
【答案】
$a≥ 1$
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程实根条件
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查非负数的性质应用，解题的关键是明确平方的结果不可能为负数，从而建立不等式求解。
【难度系数】
0.9
7.若实数$x,y$满足$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 -4)=5$,则$x^2 + y^2=$
5
。答案
7.5
解析
【分析】
观察已知等式，发现$x^2+y^2$重复出现，可采用换元法简化计算：首先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后舍去不符合非负要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$ t = x^2 + y^2 $，由平方的非负性可知$ t ≥ 0 $。
将其代入原方程得：
$ t(t - 4) = 5 $
整理为一元二次方程的一般形式：
$ t^2 - 4t - 5 = 0 $
因式分解得：
$ (t - 5)(t + 1) = 0 $
解得：$ t_1 = 5 $，$ t_2 = -1 $
因为$ t ≥ 0 $，所以舍去$ t=-1 $，即$ x^2 + y^2 = 5 $。
【答案】
5
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】
本题是换元法解方程的典型题型，解题核心是通过换元将复杂的方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时需注意换元后新变量的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
观察已知等式，发现$x^2+y^2$重复出现，可采用换元法简化计算：首先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后舍去不符合非负要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$ t = x^2 + y^2 $，由平方的非负性可知$ t ≥ 0 $。
将其代入原方程得：
$ t(t - 4) = 5 $
整理为一元二次方程的一般形式：
$ t^2 - 4t - 5 = 0 $
因式分解得：
$ (t - 5)(t + 1) = 0 $
解得：$ t_1 = 5 $，$ t_2 = -1 $
因为$ t ≥ 0 $，所以舍去$ t=-1 $，即$ x^2 + y^2 = 5 $。
【答案】
5
【知识点】
换元法解方程；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】
本题是换元法解方程的典型题型，解题核心是通过换元将复杂的方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时需注意换元后新变量的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
8.已知$x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 5 = 0$，则$x=$
2
，$y=$$-\frac{1}{3}$
。答案
8.$2 \quad -\frac{1}{3}$
解析
【分析】
观察已知等式，左边是含有x、y的二次式、一次式与常数的和，右边为0，解题思路为：①将等式左边的项按含x的项、含y的项分组，剩余的常数项拆分后分别补到两组中，配成完全平方式；②根据平方数的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求解x、y的值即可。
【解析】
对原式进行变形配方：
首先将原式整理为：$x^2 - 4x + 9y^2 + 6y + 5 = 0$
将常数项5拆分为4和1，分别给x、y的项配方：
$(x^2 - 4x + 4) + (9y^2 + 6y + 1) = 0$
根据完全平方公式化简得：
$(x - 2)^2 + (3y + 1)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(3y+1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0
∴ 可列方程组：$\begin{cases}x - 2 = 0 \\ 3y + 1 = 0\end{cases}$
解得：$x=2$，$y=-\frac{1}{3}$
【答案】
$2$；$-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；完全平方公式
【点评】
本题是整式运算与方程结合的典型题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确对原式进行分组配方，再利用非负数的性质列方程求解，是代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
观察已知等式，左边是含有x、y的二次式、一次式与常数的和，右边为0，解题思路为：①将等式左边的项按含x的项、含y的项分组，剩余的常数项拆分后分别补到两组中，配成完全平方式；②根据平方数的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求解x、y的值即可。
【解析】
对原式进行变形配方：
首先将原式整理为：$x^2 - 4x + 9y^2 + 6y + 5 = 0$
将常数项5拆分为4和1，分别给x、y的项配方：
$(x^2 - 4x + 4) + (9y^2 + 6y + 1) = 0$
根据完全平方公式化简得：
$(x - 2)^2 + (3y + 1)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(3y+1)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0
∴ 可列方程组：$\begin{cases}x - 2 = 0 \\ 3y + 1 = 0\end{cases}$
解得：$x=2$，$y=-\frac{1}{3}$
【答案】
$2$；$-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；完全平方公式
【点评】
本题是整式运算与方程结合的典型题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，正确对原式进行分组配方，再利用非负数的性质列方程求解，是代数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
9.解下列方程：
(1)$x^2 +4x -4=0$；
(2)$2x^2 -4x +1=0$；
(3)$3x^2 -2x -3=0$；
(4)$x^2 +4x -7=0$。
9.解下列方程：
(1)$x^2 +4x -4=0$；
(2)$2x^2 -4x +1=0$；
(3)$3x^2 -2x -3=0$；
(4)$x^2 +4x -7=0$。
答案
9.解:(1)$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$。
(2)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$。
(4)$x_1=-2+\sqrt{11},x_2=-2-\sqrt{11}$。
(2)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$。
(4)$x_1=-2+\sqrt{11},x_2=-2-\sqrt{11}$。
解析
【分析】
这4个方程都是一元二次方程的一般形式，且都无法用因式分解法快速求解，可选择配方法或公式法求解。解题思路如下：如果用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解；如果用公式法，先确定方程中a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到方程的解，最后注意化简结果。
【解析】
(1) 用配方法求解：
移项得：$x^2 +4x = 4$
配方，两边同时加4得：$x^2 +4x +4 = 4+4$，即$(x+2)^2 = 8$
开方得：$x+2 = \pm 2\sqrt{2}$
解得：$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
(2) 用公式法求解：
这里$a=2,b=-4,c=1$
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 16-8=8＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{8}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) 用公式法求解：
这里$a=3,b=-2,c=-3$
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×3×(-3)=4+36=40＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{2\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$
(4) 用配方法求解：
移项得：$x^2+4x=7$
配方，两边同时加4得：$x^2+4x+4=7+4$，即$(x+2)^2=11$
开方得：$x+2=\pm\sqrt{11}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{11},x_2=-2-\sqrt{11}$
【答案】
(1)$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$
(4)$x_1=-2+\sqrt{11},x_2=-2-\sqrt{11}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法 2.配方法 3.公式法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，主要考查配方法和公式法的应用，解题时要注意步骤规范，计算判别式和化简根式时要仔细，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这4个方程都是一元二次方程的一般形式，且都无法用因式分解法快速求解，可选择配方法或公式法求解。解题思路如下：如果用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解；如果用公式法，先确定方程中a（二次项系数）、b（一次项系数）、c（常数项）的值，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可得到方程的解，最后注意化简结果。
【解析】
(1) 用配方法求解：
移项得：$x^2 +4x = 4$
配方，两边同时加4得：$x^2 +4x +4 = 4+4$，即$(x+2)^2 = 8$
开方得：$x+2 = \pm 2\sqrt{2}$
解得：$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
(2) 用公式法求解：
这里$a=2,b=-4,c=1$
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×2×1 = 16-8=8＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{8}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) 用公式法求解：
这里$a=3,b=-2,c=-3$
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×3×(-3)=4+36=40＞0$
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{2\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$
(4) 用配方法求解：
移项得：$x^2+4x=7$
配方，两边同时加4得：$x^2+4x+4=7+4$，即$(x+2)^2=11$
开方得：$x+2=\pm\sqrt{11}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{11},x_2=-2-\sqrt{11}$
【答案】
(1)$x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$
(4)$x_1=-2+\sqrt{11},x_2=-2-\sqrt{11}$
【知识点】
1.一元二次方程的解法 2.配方法 3.公式法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，主要考查配方法和公式法的应用，解题时要注意步骤规范，计算判别式和化简根式时要仔细，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
10.当x为何值时，代数式$x^2 -13x +12$的值与代数式$-4x^2 +18$的值相等？
答案
10.解:根据题意,得$x^2-13x+12=-4x^2+18$。
解得$x_1=3,x_2=-\frac{2}{5}$。
$\therefore$当$x$的值为$-\frac{2}{5}$或3时,代数式$x^2-13x+12$的值与代数式$-4x^2+18$的值相等。
解得$x_1=3,x_2=-\frac{2}{5}$。
$\therefore$当$x$的值为$-\frac{2}{5}$或3时,代数式$x^2-13x+12$的值与代数式$-4x^2+18$的值相等。
解析
【分析】
解题时首先抓住题目中“两个代数式的值相等”的等量关系，先列出等式，再将等式整理为一元二次方程的标准形式，最后选择合适的方法解一元二次方程，即可得到x的取值。
【解析】
解：根据题意列方程，得：
$x^2 -13x +12 = -4x^2 + 18$
移项、合并同类项，得：
$5x^2 -13x -6 = 0$
对左边因式分解，得：
$(5x + 2)(x - 3) = 0$
则$5x + 2 = 0$或$x - 3 = 0$
分别解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{2}{5}$
【答案】
当$x$的值为$-\frac{2}{5}$或$3$时，两个代数式的值相等。
【知识点】
列方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础类题目，核心是根据题干给出的等量关系正确建立方程，解题时需要注意移项要变号，熟练掌握一元二次方程的常用解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住题目中“两个代数式的值相等”的等量关系，先列出等式，再将等式整理为一元二次方程的标准形式，最后选择合适的方法解一元二次方程，即可得到x的取值。
【解析】
解：根据题意列方程，得：
$x^2 -13x +12 = -4x^2 + 18$
移项、合并同类项，得：
$5x^2 -13x -6 = 0$
对左边因式分解，得：
$(5x + 2)(x - 3) = 0$
则$5x + 2 = 0$或$x - 3 = 0$
分别解得：$x_1 = 3$，$x_2 = -\frac{2}{5}$
【答案】
当$x$的值为$-\frac{2}{5}$或$3$时，两个代数式的值相等。
【知识点】
列方程解应用题；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础类题目，核心是根据题干给出的等量关系正确建立方程，解题时需要注意移项要变号，熟练掌握一元二次方程的常用解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
