登录
7.若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个实数根，则$x_1 · x_2^2$的值为(
A.3或−9
B.−3或9
C.3或−6
D.−3或6
A
)。A.3或−9
B.−3或9
C.3或−6
D.−3或6
答案
A
解析
【分析】
解题时首先应先求出一元二次方程的两个实数根，由于题干未明确$x_1$、$x_2$分别对应哪个根，因此需要分两种情况代入计算$x_1 · x_2^2$的结果。本题可先通过因式分解法快速求解方程的根，再分类计算即可得到最终答案。
【解析】
先求解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$：
对左边因式分解，得$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得方程的两个根为$x=3$和$x=-1$。
分两种情况计算：
① 当$x_1=3$，$x_2=-1$时，$x_1 · x_2^2 = 3 × (-1)^2 = 3 × 1 = 3$；
② 当$x_1=-1$，$x_2=3$时，$x_1 · x_2^2 = (-1) × 3^2 = (-1) × 9 = -9$。
因此$x_1 · x_2^2$的值为3或−9，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解，分类讨论思想，代数式求值
【点评】
本题易错点是忽略两根的对应关系，只计算其中一种情况导致漏解。解题时遇到未明确两个根对应字母的问题，要注意分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先应先求出一元二次方程的两个实数根，由于题干未明确$x_1$、$x_2$分别对应哪个根，因此需要分两种情况代入计算$x_1 · x_2^2$的结果。本题可先通过因式分解法快速求解方程的根，再分类计算即可得到最终答案。
【解析】
先求解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$：
对左边因式分解，得$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得方程的两个根为$x=3$和$x=-1$。
分两种情况计算：
① 当$x_1=3$，$x_2=-1$时，$x_1 · x_2^2 = 3 × (-1)^2 = 3 × 1 = 3$；
② 当$x_1=-1$，$x_2=3$时，$x_1 · x_2^2 = (-1) × 3^2 = (-1) × 9 = -9$。
因此$x_1 · x_2^2$的值为3或−9，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解，分类讨论思想，代数式求值
【点评】
本题易错点是忽略两根的对应关系，只计算其中一种情况导致漏解。解题时遇到未明确两个根对应字母的问题，要注意分类讨论，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.7
8.当$(m^2 + n^2)(m^2 + n^2 - 2) + 1 = 0$时，$m^2 + n^2$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$0$
B
）。A.$-1$
B.$1$
C.$1$或$-1$
D.$0$
答案
B
解析
【分析】
观察已知方程的结构，发现“$m^2+n^2$”作为整体重复出现，因此可以采用换元法将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解。此外需要注意，平方具有非负性，即$m^2≥0$、$n^2≥0$，因此$m^2+n^2$的取值一定是非负的，解出方程的根后要结合这个取值范围进行取舍。
【解析】
设$ t = m^2 + n^2 $，根据平方的非负性可知$ t ≥ 0 $。
将原方程中的$ m^2 + n^2 $替换为$ t $，可得：
$ t(t - 2) + 1 = 0 $
展开并整理方程：
$ t^2 - 2t + 1 = 0 $
由完全平方公式因式分解得：
$ (t - 1)^2 = 0 $
解得：$ t = 1 $
因为$ t = 1 ≥ 0 $，符合取值要求，因此$ m^2 + n^2 = 1 $。
【答案】
B
【知识点】
换元法解方程，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整体换元的数学思想，解题时容易忽略所求代数式的非负性而误选多解，注意求出根后要结合实际意义验证合理性。
【难度系数】
0.7
观察已知方程的结构，发现“$m^2+n^2$”作为整体重复出现，因此可以采用换元法将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解。此外需要注意，平方具有非负性，即$m^2≥0$、$n^2≥0$，因此$m^2+n^2$的取值一定是非负的，解出方程的根后要结合这个取值范围进行取舍。
【解析】
设$ t = m^2 + n^2 $，根据平方的非负性可知$ t ≥ 0 $。
将原方程中的$ m^2 + n^2 $替换为$ t $，可得：
$ t(t - 2) + 1 = 0 $
展开并整理方程：
$ t^2 - 2t + 1 = 0 $
由完全平方公式因式分解得：
$ (t - 1)^2 = 0 $
解得：$ t = 1 $
因为$ t = 1 ≥ 0 $，符合取值要求，因此$ m^2 + n^2 = 1 $。
【答案】
B
【知识点】
换元法解方程，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整体换元的数学思想，解题时容易忽略所求代数式的非负性而误选多解，注意求出根后要结合实际意义验证合理性。
【难度系数】
0.7
9. 我们解一元二次方程 $3x^{2}-6x=0$ 时,可以运用因式分解法,将此方程化为 $3x(x-$ $2)=0$,从而得到两个一元一次方程 $3x=$ $0,x-2=0$,进而得到原方程的解 $x_{1}=0$, $x_{2}=2$。这种方法体现的数学思想是(
A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
A
)。A.转化思想
B.函数思想
C.数形结合思想
D.公理化思想
答案
A
解析
【分析】
首先明确各选项对应数学思想的含义，再结合题干解题过程匹配对应思想：题干中解一元二次方程时，是将相对陌生的二次方程，通过因式分解转化为已经熟练掌握解法的一元一次方程来求解，核心是把未知问题转化为已知问题。再逐一排除不符合的选项：函数思想需要依托函数的概念、性质分析问题，本题未涉及函数相关内容；数形结合思想需要同时结合代数表达式和几何图形分析，本题没有用到几何内容；公理化思想是从基础公理出发推导其他结论，和本题解题过程不匹配，因此对应转化思想。
【解析】
解：题干中解$3x^2-6x=0$的过程，是将一元二次方程通过因式分解转化为两个一元一次方程，把陌生的高次方程问题转化为已经学会求解的低次方程问题，这一过程符合转化思想的特征。
对其余选项分析如下：
B. 函数思想是运用函数的概念、性质解决问题，本题未涉及函数相关内容，排除；
C. 数形结合思想是结合代数表达式与几何图形分析问题，本题无几何相关内容，排除；
D. 公理化思想是从基本公理出发推导其他结论，与本题解题过程无关，排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；数学思想辨析
【点评】
本题考查常见数学思想的区分，解题的核心是理解不同数学思想的内涵，结合解题过程的特征就能快速判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
首先明确各选项对应数学思想的含义，再结合题干解题过程匹配对应思想：题干中解一元二次方程时，是将相对陌生的二次方程，通过因式分解转化为已经熟练掌握解法的一元一次方程来求解，核心是把未知问题转化为已知问题。再逐一排除不符合的选项：函数思想需要依托函数的概念、性质分析问题，本题未涉及函数相关内容；数形结合思想需要同时结合代数表达式和几何图形分析，本题没有用到几何内容；公理化思想是从基础公理出发推导其他结论，和本题解题过程不匹配，因此对应转化思想。
【解析】
解：题干中解$3x^2-6x=0$的过程，是将一元二次方程通过因式分解转化为两个一元一次方程，把陌生的高次方程问题转化为已经学会求解的低次方程问题，这一过程符合转化思想的特征。
对其余选项分析如下：
B. 函数思想是运用函数的概念、性质解决问题，本题未涉及函数相关内容，排除；
C. 数形结合思想是结合代数表达式与几何图形分析问题，本题无几何相关内容，排除；
D. 公理化思想是从基本公理出发推导其他结论，与本题解题过程无关，排除。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；数学思想辨析
【点评】
本题考查常见数学思想的区分，解题的核心是理解不同数学思想的内涵，结合解题过程的特征就能快速判断，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
10.若实数k,b是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根，且$k＜b$，则一次函数$y=kx+b$的图象不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)。A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题时首先需要求出一元二次方程的两个根，结合k＜b的大小关系确定一次函数中k、b的取值，再根据一次函数的系数与图象经过象限的对应规律，即可判断出函数图象不经过的象限。具体步骤为：①用因式分解法解一元二次方程得到两根；②根据大小关系确定k、b的正负；③结合一次函数性质判断经过的象限，得出结论。
【解析】
1. 解一元二次方程：
已知方程$(x+3)(x-1)=0$，根据因式分解法解方程的规则，可得$x+3=0$或$x-1=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
2. 确定k、b的值：
因为k、b是方程的两个根，且$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$。
3. 判断一次函数图象经过的象限：
一次函数解析式为$y=-3x+1$，其中$k=-3＜0$，说明函数图象从左到右呈下降趋势；$b=1＞0$，说明函数图象与y轴交于正半轴。因此该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一元二次方程和一次函数的基础综合题，难度不大，核心是先通过解方程得到一次函数的系数，再结合一次函数系数和图象的对应关系判断象限，熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要求出一元二次方程的两个根，结合k＜b的大小关系确定一次函数中k、b的取值，再根据一次函数的系数与图象经过象限的对应规律，即可判断出函数图象不经过的象限。具体步骤为：①用因式分解法解一元二次方程得到两根；②根据大小关系确定k、b的正负；③结合一次函数性质判断经过的象限，得出结论。
【解析】
1. 解一元二次方程：
已知方程$(x+3)(x-1)=0$，根据因式分解法解方程的规则，可得$x+3=0$或$x-1=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$。
2. 确定k、b的值：
因为k、b是方程的两个根，且$k＜b$，所以$k=-3$，$b=1$。
3. 判断一次函数图象经过的象限：
一次函数解析式为$y=-3x+1$，其中$k=-3＜0$，说明函数图象从左到右呈下降趋势；$b=1＞0$，说明函数图象与y轴交于正半轴。因此该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是一元二次方程和一次函数的基础综合题，难度不大，核心是先通过解方程得到一次函数的系数，再结合一次函数系数和图象的对应关系判断象限，熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
11.用因式分解法解下列方程：
(1)$2x^2 + x(x - 3) = 0$；
(2)$(x - 3)^2 + x^2 - 9 = 0$；
(3)$2x(x - 3) = (3 - x)^2$；
(4)$(2x - 2)^2 = x^2 + 2x + 1$。
(1)$2x^2 + x(x - 3) = 0$；
(2)$(x - 3)^2 + x^2 - 9 = 0$；
(3)$2x(x - 3) = (3 - x)^2$；
(4)$(2x - 2)^2 = x^2 + 2x + 1$。
答案
解:(1)$x_1=0,x_2=1$。
(2)$x_1=3,x_2=0$。
(3)$x_1=3,x_2=-3$。
(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$。
(2)$x_1=3,x_2=0$。
(3)$x_1=3,x_2=-3$。
(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：将方程整理为“若干个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时先观察方程结构：如果有公因式优先提取公因式；如果符合平方差、完全平方公式的形式，就用公式法分解因式，注意移项时要留意符号变化，避免计算错误。
【解析】
(1) 对$2x^2 + x(x - 3) = 0$提取公因式$x$，得：
$x[2x + (x - 3)] = 0$
整理括号内的式子：$x(3x - 3) = 0$
因此$x=0$或$3x-3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
(2) 先将$x^2-9$用平方差公式分解为$(x-3)(x+3)$，原方程变为：
$(x-3)^2 + (x-3)(x+3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[(x-3)+(x+3)] = 0$
整理括号内的式子：$(x-3)· 2x = 0$
因此$x-3=0$或$2x=0$
解得$x_1=3$，$x_2=0$。
(3) 先将右侧的$(3-x)^2$变形为$(x-3)^2$，移项得：
$2x(x-3) - (x-3)^2 = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[2x - (x-3)] = 0$
整理括号内的式子：$(x-3)(x+3) = 0$
因此$x-3=0$或$x+3=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(4) 先将右侧的$x^2+2x+1$用完全平方公式分解为$(x+1)^2$，移项得：
$(2x-2)^2 - (x+1)^2 = 0$
用平方差公式分解因式，得：
$[(2x-2)-(x+1)][(2x-2)+(x+1)] = 0$
分别整理两个括号内的式子：$(x-3)(3x-1) = 0$
因此$x-3=0$或$3x-1=0$
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=1$；
(2)$x_1=3,x_2=0$；
(3)$x_1=3,x_2=-3$；
(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
这组题目是因式分解法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是熟练掌握提公因式、平方差公式、完全平方公式的因式分解技巧，解题时注意观察方程特征，灵活选择分解方法，同时注意移项和变形时的符号问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：将方程整理为“若干个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。解题时先观察方程结构：如果有公因式优先提取公因式；如果符合平方差、完全平方公式的形式，就用公式法分解因式，注意移项时要留意符号变化，避免计算错误。
【解析】
(1) 对$2x^2 + x(x - 3) = 0$提取公因式$x$，得：
$x[2x + (x - 3)] = 0$
整理括号内的式子：$x(3x - 3) = 0$
因此$x=0$或$3x-3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=1$。
(2) 先将$x^2-9$用平方差公式分解为$(x-3)(x+3)$，原方程变为：
$(x-3)^2 + (x-3)(x+3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[(x-3)+(x+3)] = 0$
整理括号内的式子：$(x-3)· 2x = 0$
因此$x-3=0$或$2x=0$
解得$x_1=3$，$x_2=0$。
(3) 先将右侧的$(3-x)^2$变形为$(x-3)^2$，移项得：
$2x(x-3) - (x-3)^2 = 0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[2x - (x-3)] = 0$
整理括号内的式子：$(x-3)(x+3) = 0$
因此$x-3=0$或$x+3=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(4) 先将右侧的$x^2+2x+1$用完全平方公式分解为$(x+1)^2$，移项得：
$(2x-2)^2 - (x+1)^2 = 0$
用平方差公式分解因式，得：
$[(2x-2)-(x+1)][(2x-2)+(x+1)] = 0$
分别整理两个括号内的式子：$(x-3)(3x-1) = 0$
因此$x-3=0$或$3x-1=0$
解得$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=1$；
(2)$x_1=3,x_2=0$；
(3)$x_1=3,x_2=-3$；
(4)$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
这组题目是因式分解法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是熟练掌握提公因式、平方差公式、完全平方公式的因式分解技巧，解题时注意观察方程特征，灵活选择分解方法，同时注意移项和变形时的符号问题即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
识别出错
答案
解：
(1) 对于二次三项式$x^2+2x-3$，可得$2=3+(-1)$，$-3=3×(-1)$，
因此$x^2+2x-3=x^2+[3+(-1)]x + 3×(-1)=(x+3)(x-1)$。
(2) $x^2-4x+3=0$
将方程左边因式分解得：
$(x-1)(x-3)=0$，
则$x-1=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(3) $5x^2+7x-6=0$
将方程左边因式分解得：
$(5x-3)(x+2)=0$，
则$5x-3=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$。
(1) 对于二次三项式$x^2+2x-3$，可得$2=3+(-1)$，$-3=3×(-1)$，
因此$x^2+2x-3=x^2+[3+(-1)]x + 3×(-1)=(x+3)(x-1)$。
(2) $x^2-4x+3=0$
将方程左边因式分解得：
$(x-1)(x-3)=0$，
则$x-1=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(3) $5x^2+7x-6=0$
将方程左边因式分解得：
$(5x-3)(x+2)=0$，
则$5x-3=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$。
解析
【分析】
解题时首先明确十字相乘法分解因式的核心逻辑：对于二次三项式，将二次项系数、常数项分别拆分后交叉相乘求和，结果等于一次项系数即可完成因式分解；再结合因式分解法解一元二次方程的原理：若两个因式的乘积为0，则两个因式中至少有一个为0，即可将二次方程转化为两个一次方程求解。具体步骤：1. 先通过十字相乘法将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；2. 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程；3. 分别求解两个一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
【解析】
(1) 分解二次三项式$x^2+2x-3$：
观察可得一次项系数$2=3+(-1)$，常数项$-3=3×(-1)$，
因此：
$\begin{aligned}x^2+2x-3&=x^2+[3+(-1)]x + 3×(-1)\\&=(x+3)(x-1)\end{aligned}$
(2) 解方程$x^2-4x+3=0$：
将方程左边因式分解，二次项系数1拆为$1×1$，常数项3拆为$(-1)×(-3)$，交叉相乘求和等于一次项系数，得：
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
(3) 解方程$5x^2+7x-6=0$：
将方程左边因式分解，二次项系数5拆为$5×1$，常数项-6拆为$(-3)×2$，交叉相乘求和等于一次项系数，得：
$(5x-3)(x+2)=0$
则$5x-3=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$
【答案】
(1) $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$；
(2) 方程$x^2-4x+3=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$；
(3) 方程$5x^2+7x-6=0$的解为$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$。
【知识点】
十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用十字相乘法因式分解求解一元二次方程，需要熟练掌握二次项系数、常数项的拆分技巧，交叉验证和一次项系数一致是分解正确的关键，掌握该方法可以有效提升一元二次方程的求解速度。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确十字相乘法分解因式的核心逻辑：对于二次三项式，将二次项系数、常数项分别拆分后交叉相乘求和，结果等于一次项系数即可完成因式分解；再结合因式分解法解一元二次方程的原理：若两个因式的乘积为0，则两个因式中至少有一个为0，即可将二次方程转化为两个一次方程求解。具体步骤：1. 先通过十字相乘法将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；2. 令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程；3. 分别求解两个一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
【解析】
(1) 分解二次三项式$x^2+2x-3$：
观察可得一次项系数$2=3+(-1)$，常数项$-3=3×(-1)$，
因此：
$\begin{aligned}x^2+2x-3&=x^2+[3+(-1)]x + 3×(-1)\\&=(x+3)(x-1)\end{aligned}$
(2) 解方程$x^2-4x+3=0$：
将方程左边因式分解，二次项系数1拆为$1×1$，常数项3拆为$(-1)×(-3)$，交叉相乘求和等于一次项系数，得：
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
(3) 解方程$5x^2+7x-6=0$：
将方程左边因式分解，二次项系数5拆为$5×1$，常数项-6拆为$(-3)×2$，交叉相乘求和等于一次项系数，得：
$(5x-3)(x+2)=0$
则$5x-3=0$或$x+2=0$
解得$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$
【答案】
(1) $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$；
(2) 方程$x^2-4x+3=0$的解为$x_1=1$，$x_2=3$；
(3) 方程$5x^2+7x-6=0$的解为$x_1=\frac{3}{5}$，$x_2=-2$。
【知识点】
十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用十字相乘法因式分解求解一元二次方程，需要熟练掌握二次项系数、常数项的拆分技巧，交叉验证和一次项系数一致是分解正确的关键，掌握该方法可以有效提升一元二次方程的求解速度。
【难度系数】
0.7
