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1. 当一元二次方程的等号的一边为0,而另一边能够分解成
两个一次因式
的乘积时,我们就可以使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次,求出方程的解,这种解一元二次方程的方法称为因式分解法
。答案
1. 两个一次因式 因式分解法
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础概念，解题时只需回忆对应概念的核心内容即可：因式分解法的核心原理是“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，使用该方法的前提是先将一元二次方程整理为等号一侧为0，另一侧可分解为两个一次因式相乘的形式，再通过令每个一次因式为0实现降次求解，对应方法的名称即为因式分解法。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：当一元二次方程的等号的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，求出方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。据此可直接填出两个空的内容。
【答案】
两个一次因式；因式分解法
【知识点】
因式分解法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对教材基础定义的掌握程度，只要熟练记忆相关概念内容即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的基础概念，解题时只需回忆对应概念的核心内容即可：因式分解法的核心原理是“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，使用该方法的前提是先将一元二次方程整理为等号一侧为0，另一侧可分解为两个一次因式相乘的形式，再通过令每个一次因式为0实现降次求解，对应方法的名称即为因式分解法。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：当一元二次方程的等号的一边为0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，求出方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。据此可直接填出两个空的内容。
【答案】
两个一次因式；因式分解法
【知识点】
因式分解法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对教材基础定义的掌握程度，只要熟练记忆相关概念内容即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 因式分解法解一元二次方程的根据：
如果 $ ab = 0 $，那么 $ a = $
如果 $ ab = 0 $，那么 $ a = $
0
或 $ b = $ 0
。答案
2. 0 0
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的理论依据，解题时可从有理数乘法的运算规律入手思考：我们知道，当两个数相乘时，只要其中一个因数为0，乘积就为0，反过来，若两个数的乘积为0，说明这两个数中至少有一个是0。因式分解法解一元二次方程正是利用了这个规律，将方程转化为两个一次式相乘等于0的形式，再分别令两个一次式为0求解，因此可以直接得出两个空的结果。
【解析】
根据有理数乘法的零乘积性质：如果两个实数的乘积等于0，那么这两个实数中至少有一个为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，这就是因式分解法解一元二次方程的根据，因此两个空依次填0、0。
【答案】
0；0
【知识点】
1. 零乘积性质
2. 因式分解法解一元二次方程的依据
【点评】
本题是基础概念类题目，考查的是因式分解法解一元二次方程的核心理论基础，属于必须熟练掌握的基础性知识点，牢记零乘积性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的理论依据，解题时可从有理数乘法的运算规律入手思考：我们知道，当两个数相乘时，只要其中一个因数为0，乘积就为0，反过来，若两个数的乘积为0，说明这两个数中至少有一个是0。因式分解法解一元二次方程正是利用了这个规律，将方程转化为两个一次式相乘等于0的形式，再分别令两个一次式为0求解，因此可以直接得出两个空的结果。
【解析】
根据有理数乘法的零乘积性质：如果两个实数的乘积等于0，那么这两个实数中至少有一个为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$，这就是因式分解法解一元二次方程的根据，因此两个空依次填0、0。
【答案】
0；0
【知识点】
1. 零乘积性质
2. 因式分解法解一元二次方程的依据
【点评】
本题是基础概念类题目，考查的是因式分解法解一元二次方程的核心理论基础，属于必须熟练掌握的基础性知识点，牢记零乘积性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
1.方程$(x-16)(x+8)=0$的实数根是(
A.$x_1=-16,x_2=8$
B.$x_1=16,x_2=-8$
C.$x_1=16,x_2=8$
D.$x_1=-16,x_2=-8$
B
)。A.$x_1=-16,x_2=8$
B.$x_1=16,x_2=-8$
C.$x_1=16,x_2=8$
D.$x_1=-16,x_2=-8$
答案
B
解析
【分析】
观察方程形式，左边已经是两个一次因式相乘、右边为0的结构，符合因式分解法解一元二次方程的特征。根据乘法的零乘积性质：如果两个数的乘积为0，那么至少其中一个数为0，我们可以把二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程就能得到原方程的根，再对应选项即可。
【解析】
根据零乘积性质，原方程可转化为两个一元一次方程：
$x-16=0$ 或 $x+8=0$
解$x-16=0$，得$x_1=16$；
解$x+8=0$，得$x_2=-8$。
因此原方程的实数根为$x_1=16,x_2=-8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法核心原理的理解，解题时注意不要弄错根的符号即可。
【难度系数】
0.9
观察方程形式，左边已经是两个一次因式相乘、右边为0的结构，符合因式分解法解一元二次方程的特征。根据乘法的零乘积性质：如果两个数的乘积为0，那么至少其中一个数为0，我们可以把二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程就能得到原方程的根，再对应选项即可。
【解析】
根据零乘积性质，原方程可转化为两个一元一次方程：
$x-16=0$ 或 $x+8=0$
解$x-16=0$，得$x_1=16$；
解$x+8=0$，得$x_2=-8$。
因此原方程的实数根为$x_1=16,x_2=-8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法核心原理的理解，解题时注意不要弄错根的符号即可。
【难度系数】
0.9
2.方程$5x(x+3)=3(x+3)$的解为(
A.$x_1=\frac{3}{5},x_2=3$
B.$x=\frac{3}{5}$
C.$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-3$
D.$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$
D
)。A.$x_1=\frac{3}{5},x_2=3$
B.$x=\frac{3}{5}$
C.$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-3$
D.$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$
答案
D
解析
【分析】
观察方程左右两边都含有公因式$x+3$，注意不能直接两边同时除以$x+3$，否则会漏掉$x+3=0$的根。正确解题思路为：先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式$x+3$，把方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的全部解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$5x(x+3)-3(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(5x-3)=0$
由此可得：
$x+3=0$ 或 $5x-3=0$
解$x+3=0$，得$x_1=-3$；
解$5x-3=0$，移项得$5x=3$，解得$x_2=\frac{3}{5}$。
因此原方程的解为$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，易错点是直接两边除以含未知数的公因式导致漏解，做题时需遵循移项、提取公因式、转化为一次方程求解的规范步骤，避免丢根。
【难度系数】
0.8
观察方程左右两边都含有公因式$x+3$，注意不能直接两边同时除以$x+3$，否则会漏掉$x+3=0$的根。正确解题思路为：先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式$x+3$，把方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的全部解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$5x(x+3)-3(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(5x-3)=0$
由此可得：
$x+3=0$ 或 $5x-3=0$
解$x+3=0$，得$x_1=-3$；
解$5x-3=0$，移项得$5x=3$，解得$x_2=\frac{3}{5}$。
因此原方程的解为$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的应用，易错点是直接两边除以含未知数的公因式导致漏解，做题时需遵循移项、提取公因式、转化为一次方程求解的规范步骤，避免丢根。
【难度系数】
0.8
3.用因式分解法解下列方程，其中正确的是(
A.$x(x+2)=0$，所以 $x+2=0$
B.$(x-3)(x-4)=3×4$，则 $x-3=3$ 或 $x-4=4$
C.$(2x-2)(3x-4)=0$，所以 $2x-2=0$ 且 $3x-4=0$
D.$(3x-4)(2x-1)=0$，所以 $3x-4=0$ 或 $2x-1=0$
D
)。A.$x(x+2)=0$，所以 $x+2=0$
B.$(x-3)(x-4)=3×4$，则 $x-3=3$ 或 $x-4=4$
C.$(2x-2)(3x-4)=0$，所以 $2x-2=0$ 且 $3x-4=0$
D.$(3x-4)(2x-1)=0$，所以 $3x-4=0$ 或 $2x-1=0$
答案
D
解析
【分析】
解这道题首先要明确因式分解法解一元二次方程的核心依据：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即$ab=0$等价于$a=0$或$b=0$，且应用该规则的前提是方程等号右侧必须为0。接下来我们结合这个规则逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们根据因式分解法的规则逐个分析选项：
选项A：$x(x+2)=0$，根据零乘积性质，应该得到$x=0$或$x+2=0$，选项漏了$x=0$的情况，故A错误；
选项B：方程$(x-3)(x-4)=3×4$的等号右侧是12，不是0，不能直接拆分得到$x-3=3$或$x-4=4$，需先将方程整理为右侧为0的形式再求解，故B错误；
选项C：$(2x-2)(3x-4)=0$，根据规则应得到$2x-2=0$或$3x-4=0$，选项错把“或”写成“且”，“且”要求两个因式同时为0，不符合零乘积性质，故C错误；
选项D：$(3x-4)(2x-1)=0$，符合左侧为因式乘积、右侧为0的形式，可得$3x-4=0$或$2x-1=0$，规则应用正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程；零乘积性质；一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查对因式分解法解方程核心逻辑的理解，易错点包括忽略方程等号右侧必须为0的前提、混淆“或”和“且”的逻辑关系，只要准确掌握零乘积性质的应用条件就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确因式分解法解一元二次方程的核心依据：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，即$ab=0$等价于$a=0$或$b=0$，且应用该规则的前提是方程等号右侧必须为0。接下来我们结合这个规则逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们根据因式分解法的规则逐个分析选项：
选项A：$x(x+2)=0$，根据零乘积性质，应该得到$x=0$或$x+2=0$，选项漏了$x=0$的情况，故A错误；
选项B：方程$(x-3)(x-4)=3×4$的等号右侧是12，不是0，不能直接拆分得到$x-3=3$或$x-4=4$，需先将方程整理为右侧为0的形式再求解，故B错误；
选项C：$(2x-2)(3x-4)=0$，根据规则应得到$2x-2=0$或$3x-4=0$，选项错把“或”写成“且”，“且”要求两个因式同时为0，不符合零乘积性质，故C错误；
选项D：$(3x-4)(2x-1)=0$，符合左侧为因式乘积、右侧为0的形式，可得$3x-4=0$或$2x-1=0$，规则应用正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程；零乘积性质；一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查对因式分解法解方程核心逻辑的理解，易错点包括忽略方程等号右侧必须为0的前提、混淆“或”和“且”的逻辑关系，只要准确掌握零乘积性质的应用条件就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4. 方程 $x^{2}+2x=0$ 的解为
$x_1=0, x_2=-2$
。答案
$x_1=0, x_2=-2$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的基础题，观察方程左边的整式可发现存在公因式$x$，因此优先选择因式分解法求解。解题思路是先对左侧多项式提取公因式，将方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x^2+2x=0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x+2)=0$
根据乘积为0的性质，得：
$x=0$ 或 $x+2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，得$x_1=0$；
当$x+2=0$时，解得$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=0, x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心考查利用提公因式进行因式分解解方程的能力，解题步骤简单，只要掌握因式分解法解方程的基本逻辑就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的基础题，观察方程左边的整式可发现存在公因式$x$，因此优先选择因式分解法求解。解题思路是先对左侧多项式提取公因式，将方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x^2+2x=0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x+2)=0$
根据乘积为0的性质，得：
$x=0$ 或 $x+2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，得$x_1=0$；
当$x+2=0$时，解得$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=0, x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心考查利用提公因式进行因式分解解方程的能力，解题步骤简单，只要掌握因式分解法解方程的基本逻辑就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.解一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：
$x+3=0(或x-1=0)$
。答案
$x+3=0(或x-1=0)$
解析
【分析】
本题考查利用因式分解法求解一元二次方程的思路，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次为一次方程。首先需要对等式左边的二次三项式进行因式分解，可采用十字相乘法：二次项系数1拆分为1×1，常数项-3拆分为3×(-1)，交叉相乘相加的结果恰好等于一次项系数2，由此可将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0即可得到对应的一元一次方程。
【解析】
对方程$x^2 + 2x - 3 = 0$左边因式分解，利用十字相乘法可得：
$(x + 3)(x - 1) = 0$
根据零乘积性质，若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，因此可得：
$x + 3 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
任选其中一个即可。
【答案】
$x+3=0(或x-1=0)$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查将二次方程降次转化为一次方程的思路，熟练掌握十字相乘法分解二次三项式是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
本题考查利用因式分解法求解一元二次方程的思路，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将二次方程降次为一次方程。首先需要对等式左边的二次三项式进行因式分解，可采用十字相乘法：二次项系数1拆分为1×1，常数项-3拆分为3×(-1)，交叉相乘相加的结果恰好等于一次项系数2，由此可将左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0即可得到对应的一元一次方程。
【解析】
对方程$x^2 + 2x - 3 = 0$左边因式分解，利用十字相乘法可得：
$(x + 3)(x - 1) = 0$
根据零乘积性质，若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，因此可得：
$x + 3 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
任选其中一个即可。
【答案】
$x+3=0(或x-1=0)$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查将二次方程降次转化为一次方程的思路，熟练掌握十字相乘法分解二次三项式是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.85
6.用因式分解法解下列方程：
(1)$2x^2 - 4x = 0$；
(2)$x - 5 + x(x - 5) = 0$；
(3)$x(x - 1) = x$；
(4)$(x + 2)^2 - 36 = 0$。
(1)$2x^2 - 4x = 0$；
(2)$x - 5 + x(x - 5) = 0$；
(3)$x(x - 1) = x$；
(4)$(x + 2)^2 - 36 = 0$。
答案
解:(1)$x_1=0,x_2=2$。
(2)$x_1=5,x_2=-1$。
(3)$x_1=2,x_2=0$。
(4)$x_1=4,x_2=-8$。
(2)$x_1=5,x_2=-1$。
(3)$x_1=2,x_2=0$。
(4)$x_1=4,x_2=-8$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程整理为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解。通用解题步骤为：①移项使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，解两个一元一次方程得到原方程的根。各小题具体思考方向：(1)直接提取公因式$2x$即可分解；(2)将$(x-5)$看作整体提取公因式；(3)先移项再提取公因式$x$，注意不要直接两边除以$x$避免漏根；(4)利用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 对等式左边提取公因式$2x$，得：
$2x(x - 2) = 0$
令$2x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 提取公因式$(x-5)$，得：
$(x - 5)(1 + x) = 0$
令$x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(3) 移项得$x(x - 1) - x = 0$，
提取公因式$x$，得$x[(x - 1) - 1] = 0$，即$x(x - 2) = 0$，
令$x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(4) 原式符合平方差公式结构，分解得：
$(x + 2 + 6)(x + 2 - 6) = 0$，即$(x + 8)(x - 4) = 0$，
令$x+8=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=2$；(4)$x_1=4,x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，需熟练掌握提公因式、公式法等常用因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是将方程整理为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解。通用解题步骤为：①移项使方程右边为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，解两个一元一次方程得到原方程的根。各小题具体思考方向：(1)直接提取公因式$2x$即可分解；(2)将$(x-5)$看作整体提取公因式；(3)先移项再提取公因式$x$，注意不要直接两边除以$x$避免漏根；(4)利用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 对等式左边提取公因式$2x$，得：
$2x(x - 2) = 0$
令$2x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 提取公因式$(x-5)$，得：
$(x - 5)(1 + x) = 0$
令$x-5=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=-1$。
(3) 移项得$x(x - 1) - x = 0$，
提取公因式$x$，得$x[(x - 1) - 1] = 0$，即$x(x - 2) = 0$，
令$x=0$或$x-2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
(4) 原式符合平方差公式结构，分解得：
$(x + 2 + 6)(x + 2 - 6) = 0$，即$(x + 8)(x - 4) = 0$，
令$x+8=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=2$；(4)$x_1=4,x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，需熟练掌握提公因式、公式法等常用因式分解方法，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
