1.绝对值小于4的最大整数与最小整数的商是。

$\boldsymbol{-1}$

【分析】
解题时首先要明确“绝对值小于4”的含义，即满足条件的数到原点的距离小于4，先列出所有符合条件的整数，再从中找出最大整数和最小整数，最后根据有理数的除法法则计算二者的商即可。
【解析】
1. 先确定绝对值小于4的所有整数：根据绝对值的性质，若|x|＜4，则-4＜x＜4，其中的整数有-3、-2、-1、0、1、2、3。
2. 从上述整数中找到最大整数为3，最小整数为-3。
3. 计算二者的商：$3÷(-3)=-1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 有理数的除法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是准确找出所有符合条件的整数，尤其注意不要遗漏负整数，再按照除法法则计算即可。
【难度系数】
0.8

2.乐乐在计算$(-15)÷ m$时，误将“$÷$”看成“$+$”，所得的结果是$-12$，那么$(-15)÷ m$的正确结果应是。

$\boldsymbol{-5}$

【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据乐乐看错运算符号得到的错误结果，建立关于m的等式，求出m的取值。乐乐把“÷”看成“+”，也就是错误计算的式子为$(-15)+m=-12$，根据有理数加减运算法则即可求出m；第二步，将求出的m代入正确的算式$(-15)÷m$，按有理数除法法则计算得到最终结果。
【解析】
1. 根据错误运算列等式：
乐乐误将“÷”看成“+”后计算结果为-12，因此可得：
$\quad (-15) + m = -12$
2. 求解m的值：
根据等式性质，移项得：
$\quad m = -12 - (-15)$
根据有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）计算：
$\quad m = -12 +15 = 3$
3. 计算正确结果：
将$m=3$代入正确算式$(-15)÷m$中：
$\quad (-15)÷3 = -5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
有理数的加减运算、有理数的除法运算、一元一次方程的求解
【点评】
本题属于错中求解类基础题，解题核心是先根据错误的运算过程和结果求出未知参数的取值，再代入正确运算式计算，要求熟练掌握有理数的基本运算法则。
【难度系数】
0.8

3.计算。
(1)$(-\dfrac{1}{2})÷ 2$；
(2)$(-36)÷ 12$；
(3)$(-\dfrac{5}{8})÷ (-\dfrac{3}{4})$；
(4)$(-125\dfrac{5}{7})÷ (-5)$；
(5)$(-1)÷ (-10\dfrac{3}{4})÷ (-1\dfrac{1}{3})$。

解：
(1) 原式$=(-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$
(2) 原式$=-(36÷12)=-3$
(3) 原式$=(-\frac{5}{8})×(-\frac{4}{3})=\frac{5}{6}$
(4) 原式$=(-125-\frac{5}{7})×(-\frac{1}{5})$
$=125×\frac{1}{5}+\frac{5}{7}×\frac{1}{5}$
$=25+\frac{1}{7}$
$=25\frac{1}{7}$
(5) 原式$=(-1)÷(-\frac{43}{4})÷(-\frac{4}{3})$
$=(-1)×(-\frac{4}{43})×(-\frac{3}{4})$
$=-\frac{3}{43}$

【分析】
解决有理数除法运算问题，核心遵循“先定符号，再算绝对值”的原则：①先根据“同号两数相除得正，异号两数相除得负”确定最终结果的符号；②利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将除法运算转化为乘法运算；③遇到带分数时，可先化为假分数，或拆成整数与分数的和/差形式，结合乘法分配律简化计算；多个有理数连除时，按照从左到右的顺序依次转化为乘法计算即可。
【解析】
(1) 异号两数相除结果为负，将除法转化为乘法计算：
原式$=(-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$
(2) 异号两数相除结果为负，直接计算绝对值的商：
原式$=-(36÷12)=-3$
(3) 同号两数相除结果为正，转化为乘法后约分计算：
原式$=(-\frac{5}{8})×(-\frac{4}{3})=\frac{5}{6}$
(4) 同号两数相除结果为正，拆分带分数后用乘法分配律简化计算：
原式$=(-125-\frac{5}{7})×(-\frac{1}{5})$
$=125×\frac{1}{5}+\frac{5}{7}×\frac{1}{5}$
$=25+\frac{1}{7}$
$=25\frac{1}{7}$
(5) 先将带分数化为假分数，从左到右依次转化为乘法，注意符号判断：
原式$=(-1)÷(-\frac{43}{4})÷(-\frac{4}{3})$
$=(-1)×(-\frac{4}{43})×(-\frac{3}{4})$
$=-\frac{3}{43}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{4}$；(2)$-3$；(3)$\dfrac{5}{6}$；(4)$25\dfrac{1}{7}$；(5)$-\dfrac{3}{43}$
【知识点】
有理数除法法则；乘法分配律；有理数乘除混合运算
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，解题的易错点为运算符号判断错误、带分数转化处理失误，熟练掌握除法转乘法的规则和简便运算方法，即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8

4. 提升题 阅读下面的材料，解决问题。
计算：$\frac{1}{30} ÷ ( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} )$。
分析：利用通分计算$\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}$的结果很烦琐，可以采用以下方法进行计算。
解：原式的倒数是$( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} ) ÷ \frac{1}{30} = ( \frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5} ) × 30 = 20 - 3 + 5 - 12 = 10$。故原式$= \frac{1}{10}$。
请你选择合适的方法计算：
$( -\frac{1}{52} ) ÷ ( \frac{3}{4} - \frac{5}{26} + \frac{1}{2} - \frac{2}{13} )$。

解：
原式的倒数是$( \frac{3}{4} - \frac{5}{26} + \frac{1}{2} - \frac{2}{13} ) ÷ ( -\frac{1}{52} )$
$= ( \frac{3}{4} - \frac{5}{26} + \frac{1}{2} - \frac{2}{13} ) × (-52)$
$= \frac{3}{4} × (-52) - \frac{5}{26} × (-52) + \frac{1}{2} × (-52) - \frac{2}{13} × (-52)$
$= -39 + 10 - 26 + 8$
$= -47$
故原式$= -\frac{1}{47}$

【分析】
观察算式发现直接通分计算括号内的分数加减运算量较大，我们可以参考材料给出的简便方法：先求原式的倒数，利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将除法转化为乘法，再观察括号内各分数的分母都是52的因数，可使用乘法分配律简化计算，最后对倒数的计算结果再取倒数，即可得到原式的值，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
解：原式的倒数是$( \frac{3}{4} - \frac{5}{26} + \frac{1}{2} - \frac{2}{13} ) ÷ ( -\frac{1}{52} )$
$= ( \frac{3}{4} - \frac{5}{26} + \frac{1}{2} - \frac{2}{13} ) × (-52)$
根据乘法分配律展开得：
$= \frac{3}{4} × (-52) - \frac{5}{26} × (-52) + \frac{1}{2} × (-52) - \frac{2}{13} × (-52)$
分别计算每一项：
$= -39 + 10 - 26 + 8$
$= -47$
故原式$= -\frac{1}{47}$
【答案】
$-\frac{1}{47}$
【知识点】
有理数的乘除运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题属于有理数简便运算的常见题型，通过转换思路先求原式的倒数，巧妙运用乘法分配律避免了繁琐的通分运算，解题时要注意运算符号的处理，以及最后不要忘记对倒数的结果再取倒数得到原式的值。
【难度系数】
0.6

5. 提升题 回答下列问题。
（1）若 $ab＜0$，求 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|ab|}{ab}$ 的值。
（2）若 $a,b,c$ 是非零有理数，且 $\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$，求 $\frac{|abc|}{abc}$ 的值。

解：
(1) 由$ab＜0$可知，$a$、$b$异号，分两种情况讨论：
当$a＞0$，$b＜0$时：
$\frac{|a|}{a}=1$，$\frac{|b|}{b}=-1$，由$ab＜0$得$\frac{|ab|}{ab}=-1$，
原式$=1+(-1)+(-1)=-1$；
当$a＜0$，$b＞0$时：
$\frac{|a|}{a}=-1$，$\frac{|b|}{b}=1$，由$ab＜0$得$\frac{|ab|}{ab}=-1$，
原式$=-1+1+(-1)=-1$。
综上，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|ab|}{ab}$的值为$-1$。
(2) 因为$a,b,c$是非零有理数，若$x＞0$则$\frac{|x|}{x}=1$，若$x＜0$则$\frac{|x|}{x}=-1$。
由$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$，可知$a,b,c$中有2个正数、1个负数，
因此$abc＜0$，
所以$\frac{|abc|}{abc}=-1$。

【分析】
（1）首先根据条件$ab＜0$可判断$a$、$b$异号，结合绝对值的性质：非零数$x＞0$时$\frac{|x|}{x}=1$，$x＜0$时$\frac{|x|}{x}=-1$，分两种情况分别计算各项的值再求和即可；
（2）已知$a,b,c$是非零有理数，因此$\frac{|a|}{a}、\frac{|b|}{b}、\frac{|c|}{c}$的取值只能是$1$或$-1$，根据三个式子的和为$1$，可推断出三个数中正数和负数的个数，再结合有理数乘法的符号法则判断$abc$的正负，即可求出结果。
【解析】
(1) 由$ab＜0$可知，$a$、$b$异号，分两种情况讨论：
当$a＞0$，$b＜0$时：
$\frac{|a|}{a}=1$，$\frac{|b|}{b}=-1$，由$ab＜0$得$\frac{|ab|}{ab}=-1$，
原式$=1+(-1)+(-1)=-1$；
当$a＜0$，$b＞0$时：
$\frac{|a|}{a}=-1$，$\frac{|b|}{b}=1$，由$ab＜0$得$\frac{|ab|}{ab}=-1$，
原式$=-1+1+(-1)=-1$。
综上，$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|ab|}{ab}$的值为$-1$。
(2) 因为$a,b,c$是非零有理数，若$x＞0$则$\frac{|x|}{x}=1$，若$x＜0$则$\frac{|x|}{x}=-1$。
由$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=1$，可知$a,b,c$中有2个正数、1个负数，
因此$abc＜0$，
所以$\frac{|abc|}{abc}=-1$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{-1}$；（2）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 绝对值的化简
2. 有理数乘法符号法则
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考察绝对值的化简规律和有理数乘法的符号判定，解题关键是熟练掌握非零数$\frac{|x|}{x}$的取值只有$1$和$-1$两种情况，能根据已知条件推断字母的正负性，是有理数运算章节的典型提升题型。
【难度系数】
0.6