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1. $(-\dfrac{2}{3})^4$ 的底数是，指数是，结果是。
答案
解：
根据有理数乘方的定义，在$a^n$中，$a$是底数，$n$是指数，因此$(-\dfrac{2}{3})^4$的底数是$-\dfrac{2}{3}$，指数是$4$。
计算结果：
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3})^4&=\underbrace{(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})}_{4个-\frac{2}{3}相乘}\\&=\frac{2^4}{3^4}\\&=\frac{16}{81}\end{aligned}$
答案依次为：$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{\dfrac{16}{81}}$。
根据有理数乘方的定义，在$a^n$中，$a$是底数，$n$是指数，因此$(-\dfrac{2}{3})^4$的底数是$-\dfrac{2}{3}$，指数是$4$。
计算结果：
$\begin{aligned}(-\frac{2}{3})^4&=\underbrace{(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})}_{4个-\frac{2}{3}相乘}\\&=\frac{2^4}{3^4}\\&=\frac{16}{81}\end{aligned}$
答案依次为：$\boldsymbol{-\dfrac{2}{3}}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{\dfrac{16}{81}}$。
2.9个2相乘的结果用幂的形式表示为。
答案
解：
根据有理数乘方的定义，求9个相同因数2的积，底数为2，指数为9，因此9个2相乘的结果用幂的形式表示为$\boldsymbol{2^9}$。
根据有理数乘方的定义，求9个相同因数2的积，底数为2，指数为9，因此9个2相乘的结果用幂的形式表示为$\boldsymbol{2^9}$。
3. $-2^5$ 的底数与其指数之积等于 。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：
$-2^5$表示$2^5$的相反数，因此它的底数是$2$，指数是$5$，
底数与指数的积为 $2×5=10$。
最终
$-2^5$表示$2^5$的相反数，因此它的底数是$2$，指数是$5$，
底数与指数的积为 $2×5=10$。
最终
4. $-2^3$的相反数是。
答案
解：
先计算乘方：$-2^3 = -(2×2×2) = -8$，
根据相反数的定义，$-8$的相反数是$8$，
所以$-2^3$的相反数是$\boldsymbol{8}$。
先计算乘方：$-2^3 = -(2×2×2) = -8$，
根据相反数的定义，$-8$的相反数是$8$，
所以$-2^3$的相反数是$\boldsymbol{8}$。
5.一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的立方等于它本身，这个数是。
答案
解：
因为$0^2=0$，$1^2=1$，其余有理数的平方都不等于它自身，所以平方等于它本身的数是0和1；
因为$0^3=0$，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，其余有理数的立方都不等于它自身，所以立方等于它本身的数是-1、0、1。
因为$0^2=0$，$1^2=1$，其余有理数的平方都不等于它自身，所以平方等于它本身的数是0和1；
因为$0^3=0$，$1^3=1$，$(-1)^3=-1$，其余有理数的立方都不等于它自身，所以立方等于它本身的数是-1、0、1。
6.若$x^2=(-6)^2$，则$x=$。
答案
解：
计算得 $(-6)^2 = 36$，
因此原等式化为 $x^2 = 36$。
由乘方的定义可知，$6^2=36$，$(-6)^2=36$，
所以 $x=\pm6$。
计算得 $(-6)^2 = 36$，
因此原等式化为 $x^2 = 36$。
由乘方的定义可知，$6^2=36$，$(-6)^2=36$，
所以 $x=\pm6$。
7.若有理数a的倒数等于它本身，则$a^{2026}$的值是。
答案
解：
因为有理数a的倒数等于它本身，
所以$a=1$或$a=-1$。
当$a=1$时，$a^{2026}=1^{2026}=1$；
当$a=-1$时，$a^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
综上，$a^{2026}$的值是$\boldsymbol{1}$。
因为有理数a的倒数等于它本身，
所以$a=1$或$a=-1$。
当$a=1$时，$a^{2026}=1^{2026}=1$；
当$a=-1$时，$a^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
综上，$a^{2026}$的值是$\boldsymbol{1}$。
8.如果$|x+1|+(y+1)^2=0$，那么$x^{2026} - y^{2025}$的值是。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
因为|x+1|≥0，$(y+1)^2≥0$，且$|x+1|+(y+1)^2=0$，
所以$x+1=0$，$y+1=0$，
解得$x=-1$，$y=-1$。
则$x^{2026}-y^{2025}$
$=(-1)^{2026}-(-1)^{2025}$
$=1 - (-1)$
$=2$
最终
因为|x+1|≥0，$(y+1)^2≥0$，且$|x+1|+(y+1)^2=0$，
所以$x+1=0$，$y+1=0$，
解得$x=-1$，$y=-1$。
则$x^{2026}-y^{2025}$
$=(-1)^{2026}-(-1)^{2025}$
$=1 - (-1)$
$=2$
最终
9.对于任意正整数a,b,定义一种新运算：
F(a+b)=F(a)·F(b)。若F(2)=5,
$F(4)=F(2+2)=5×5=5^2,F(6)=$
$F(2+4)=5×5^2=5^3,$则F(2026)的
结果是。
F(a+b)=F(a)·F(b)。若F(2)=5,
$F(4)=F(2+2)=5×5=5^2,F(6)=$
$F(2+4)=5×5^2=5^3,$则F(2026)的
结果是。
答案
解：
观察已知运算规律：
$F(2) = 5 = 5^1$
$F(4) = F(2+2) = 5×5 = 5^2$
$F(6) = F(2+4) = 5×5^2 = 5^3$
可得规律：$F(2n) = 5^n$
因为$2026 = 2×1013$，
所以$F(2026) = 5^{1013}$
最终结果为$\boldsymbol{5^{1013}}$。
观察已知运算规律：
$F(2) = 5 = 5^1$
$F(4) = F(2+2) = 5×5 = 5^2$
$F(6) = F(2+4) = 5×5^2 = 5^3$
可得规律：$F(2n) = 5^n$
因为$2026 = 2×1013$，
所以$F(2026) = 5^{1013}$
最终结果为$\boldsymbol{5^{1013}}$。
10.计算。
(1)$(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2)$-\dfrac{3^2}{4}$；
(3)$(-2)^3×(-6)^2$。
(1)$(-\dfrac{3}{4})^2$；
(2)$-\dfrac{3^2}{4}$；
(3)$(-2)^3×(-6)^2$。
答案
解：
(1) 原式 = $(-\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{3}{4}) = \dfrac{9}{16}$
(2) 原式 = $-\dfrac{3×3}{4} = -\dfrac{9}{4}$
(3) 原式 = $(-8) × 36 = -288$
(1) 原式 = $(-\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{3}{4}) = \dfrac{9}{16}$
(2) 原式 = $-\dfrac{3×3}{4} = -\dfrac{9}{4}$
(3) 原式 = $(-8) × 36 = -288$
11.拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细的面条。如图，这样捏合到第六次后可拉出几根面条？
答案
解：
第一次捏合后，拉出的面条数为$2=2^1$；
第二次捏合后，拉出的面条数为$4=2^2$；
第三次捏合后，拉出的面条数为$8=2^3$；
以此类推，第$n$次捏合后，拉出的面条数为$2^n$。
当$n=6$时，$2^6=64$。
答：这样捏合到第六次后可拉出64根面条。
第一次捏合后，拉出的面条数为$2=2^1$；
第二次捏合后，拉出的面条数为$4=2^2$；
第三次捏合后，拉出的面条数为$8=2^3$；
以此类推，第$n$次捏合后，拉出的面条数为$2^n$。
当$n=6$时，$2^6=64$。
答：这样捏合到第六次后可拉出64根面条。
12. 提升题 观察下面两组算式，并回答下列问题。
① $2^2 × 5^2$ 与 $(2 × 5)^2$；
② $(-\dfrac{1}{3})^2 × 6^2$ 与 $[(-\dfrac{1}{3}) × 6]^2$。
(1)每组两个算式的结果是否相等？
(2)根据(1)中的结果，猜想：$a^n b^n$（$n$为正整数）等于什么？
(3)利用(2)中的结论，计算 $(\dfrac{1}{5})^{2025} × (-5)^{2026}$。
① $2^2 × 5^2$ 与 $(2 × 5)^2$；
② $(-\dfrac{1}{3})^2 × 6^2$ 与 $[(-\dfrac{1}{3}) × 6]^2$。
(1)每组两个算式的结果是否相等？
(2)根据(1)中的结果，猜想：$a^n b^n$（$n$为正整数）等于什么？
(3)利用(2)中的结论，计算 $(\dfrac{1}{5})^{2025} × (-5)^{2026}$。
答案
解：
(1) 计算第一组算式：
$2^2 × 5^2 = 4 × 25 = 100$，
$(2×5)^2 = 10^2 = 100$，两式结果相等。
计算第二组算式：
$(-\dfrac{1}{3})^2 × 6^2 = \dfrac{1}{9} × 36 = 4$，
$[(-\dfrac{1}{3})×6]^2 = (-2)^2 = 4$，两式结果相等。
因此每组两个算式的结果相等。
(2) 猜想可得：$a^n b^n = (ab)^n$（$n$为正整数）。
(3) 计算：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{5})^{2025} × (-5)^{2026} &= (\dfrac{1}{5})^{2025} × (-5)^{2025} × (-5) \\&= [\dfrac{1}{5} × (-5)]^{2025} × (-5) \\&= (-1)^{2025} × (-5) \\&= -1 × (-5) \\&= 5\end{aligned}$
(1) 计算第一组算式：
$2^2 × 5^2 = 4 × 25 = 100$，
$(2×5)^2 = 10^2 = 100$，两式结果相等。
计算第二组算式：
$(-\dfrac{1}{3})^2 × 6^2 = \dfrac{1}{9} × 36 = 4$，
$[(-\dfrac{1}{3})×6]^2 = (-2)^2 = 4$，两式结果相等。
因此每组两个算式的结果相等。
(2) 猜想可得：$a^n b^n = (ab)^n$（$n$为正整数）。
(3) 计算：
$\begin{aligned}(\dfrac{1}{5})^{2025} × (-5)^{2026} &= (\dfrac{1}{5})^{2025} × (-5)^{2025} × (-5) \\&= [\dfrac{1}{5} × (-5)]^{2025} × (-5) \\&= (-1)^{2025} × (-5) \\&= -1 × (-5) \\&= 5\end{aligned}$
