登录
1.把下列各数写成10的幂的形式:10 000=;1 000 000 000=。
答案
$\boldsymbol{10^4}$；$\boldsymbol{10^9}$
解析
【分析】
解题时首先要明确10的幂的规律：10的n次幂（n为正整数）的结果等于1后面加n个0，因此反过来，要把1后面带若干个0的整数写成10的幂的形式，只需要数出1后面0的总个数，这个个数就是10的指数，接下来分别数两个数中1后面0的个数即可得到结果。
【解析】
我们知道，n个10相乘的结果为$\underbrace{10×10×\dots×10}_{n个10}=10^n$，其结果是1后面带有n个0的整数。
对于10000，观察可知1后面共有4个0，因此$10000=10^4$；
对于1000000000，观察可知1后面共有9个0，因此$1000000000=10^9$。
【答案】
$10^4$；$10^9$
【知识点】
有理数的乘方；10的幂的特征
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心考查对10的幂的规律的理解与运用，解题关键是准确数出1后面0的个数，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确10的幂的规律：10的n次幂（n为正整数）的结果等于1后面加n个0，因此反过来，要把1后面带若干个0的整数写成10的幂的形式，只需要数出1后面0的总个数，这个个数就是10的指数，接下来分别数两个数中1后面0的个数即可得到结果。
【解析】
我们知道，n个10相乘的结果为$\underbrace{10×10×\dots×10}_{n个10}=10^n$，其结果是1后面带有n个0的整数。
对于10000，观察可知1后面共有4个0，因此$10000=10^4$；
对于1000000000，观察可知1后面共有9个0，因此$1000000000=10^9$。
【答案】
$10^4$；$10^9$
【知识点】
有理数的乘方；10的幂的特征
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心考查对10的幂的规律的理解与运用，解题关键是准确数出1后面0的个数，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.目前，人形机器人领域的竞争尚处于早期阶段，但预计未来数十年该市场将迎来爆发式增长。某集团研究显示，到2050年，全球人形机器人数量预计将激增至48 000 000台，用科学记数法可表示为台。
答案
$\boldsymbol{4.8×10^7}$
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题分两步走：第一步确定$a$的值，要把原数的小数点移动到第一位非零数字的后面，保证$a$满足取值范围；第二步确定$n$的值，当原数绝对值大于等于10时，$n$等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。本题原数是48000000，先找$a$，再算$n$即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
对于数字48000000：
1. 确定$a$：将小数点向左移动，直到第一个非零数字4的后面，得到$a=4.8$，满足$1≤4.8＜10$；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了7位，且原数绝对值大于10，因此$n=7$。
综上，$48000000=4.8×10^7$。
【答案】
$\boldsymbol{4.8×10^7}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的表示，解题的核心是正确确定$a$和$n$的取值，属于基础类题目，熟练掌握科学记数法的规则就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题分两步走：第一步确定$a$的值，要把原数的小数点移动到第一位非零数字的后面，保证$a$满足取值范围；第二步确定$n$的值，当原数绝对值大于等于10时，$n$等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。本题原数是48000000，先找$a$，再算$n$即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
对于数字48000000：
1. 确定$a$：将小数点向左移动，直到第一个非零数字4的后面，得到$a=4.8$，满足$1≤4.8＜10$；
2. 确定$n$：小数点一共向左移动了7位，且原数绝对值大于10，因此$n=7$。
综上，$48000000=4.8×10^7$。
【答案】
$\boldsymbol{4.8×10^7}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的表示，解题的核心是正确确定$a$和$n$的取值，属于基础类题目，熟练掌握科学记数法的规则就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3.第五代移动通信技术(简称5G)网络理论下载速度可达到每秒1 300 000 KB以上。用科学记数法表示1 300 000是。
答案
$\boldsymbol{1.3×10^6}$
解析
【分析】
拿到本题首先回忆科学记数法的定义：科学记数法是将大于10的数表示为$a × 10^n$的形式，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。解题分两步思考：第一步确定$a$的值，将原数的小数点向左移动，直到整数部分只有1位非零数字，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向左移动的位数就是$n$的取值，最后将$a$和$n$组合即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将1300000的小数点向左移动，直到整数部分仅剩1位非零数字，得到$a=1.3$，满足$1 ≤ 1.3 ＜ 10$的要求。
2. 确定$n$的值：上述操作中小数点一共向左移动了6位，因此$n=6$。
综上，$1300000 = 1.3 × 10^6$。
【答案】
$1.3× 10^6$
【知识点】
科学记数法；有理数的乘方
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题，解题关键是准确掌握$a$的取值范围和$n$的确定规则，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先回忆科学记数法的定义：科学记数法是将大于10的数表示为$a × 10^n$的形式，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数。解题分两步思考：第一步确定$a$的值，将原数的小数点向左移动，直到整数部分只有1位非零数字，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向左移动的位数就是$n$的取值，最后将$a$和$n$组合即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将1300000的小数点向左移动，直到整数部分仅剩1位非零数字，得到$a=1.3$，满足$1 ≤ 1.3 ＜ 10$的要求。
2. 确定$n$的值：上述操作中小数点一共向左移动了6位，因此$n=6$。
综上，$1300000 = 1.3 × 10^6$。
【答案】
$1.3× 10^6$
【知识点】
科学记数法；有理数的乘方
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题，解题关键是准确掌握$a$的取值范围和$n$的确定规则，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.一个数用科学记数法表示为$－4.18×10^{5}$，这个数原来是。
答案
解：
$-4.18×10^{5}$
$=-4.18×100000$
$=-418000$
这个数原来是$\boldsymbol{-418000}$。
$-4.18×10^{5}$
$=-4.18×100000$
$=-418000$
这个数原来是$\boldsymbol{-418000}$。
解析
【分析】
要将科学记数法表示的数还原为原数，首先回忆科学记数法的形式：$a×10^n$（$1≤|a|＜10$，n为正整数），还原方法有两种：一是把a的小数点向右移动n位，缺位补0；二是先计算$10^n$的结果，再与a相乘。本题中指数n=5，我们可以先算出$10^5=100000$，再与-4.18相乘即可得到原数。
【解析】
解：
$-4.18×10^{5}$
$=-4.18×100000$
$=-418000$
【答案】
$\boldsymbol{-418000}$
【知识点】
科学记数法；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法还原原数的方法，熟练掌握指数与小数点移动位数的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要将科学记数法表示的数还原为原数，首先回忆科学记数法的形式：$a×10^n$（$1≤|a|＜10$，n为正整数），还原方法有两种：一是把a的小数点向右移动n位，缺位补0；二是先计算$10^n$的结果，再与a相乘。本题中指数n=5，我们可以先算出$10^5=100000$，再与-4.18相乘即可得到原数。
【解析】
解：
$-4.18×10^{5}$
$=-4.18×100000$
$=-418000$
【答案】
$\boldsymbol{-418000}$
【知识点】
科学记数法；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法还原原数的方法，熟练掌握指数与小数点移动位数的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5.我国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均用水量的$\frac{1}{4}$，我们必须节约用水。若每人每天浪费0.32 L水，则100万人每天浪费的水用科学记数法表示为 L。
答案
$\boldsymbol{3.2× 10^5}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先理清数量关系，总浪费的水量等于每人每天浪费的水量乘以总人数；第二步，将人数单位“100万”换算为具体的数字，再代入数量关系计算出总浪费水量的具体数值；第三步，回忆科学记数法的表示规则，把计算得到的大数改写成符合要求的科学记数法形式。
【解析】
1. 单位换算：100万 = 1000000人
2. 计算总浪费水量：$0.32 × 1000000 = 320000\ \mathrm{L}$
3. 转换为科学记数法：科学记数法的形式为$a × 10^n$，要求$1≤ |a| ＜10$，将320000的小数点向左移动5位得到$a=3.2$，移动的位数5即为10的指数，因此$320000 = 3.2 × 10^5$。
【答案】
$\boldsymbol{3.2× 10^5}$
【知识点】
科学记数法；有理数乘法运算
【点评】
本题结合节约用水的实际背景考查基础运算和科学记数法的应用，解题核心是准确计算总水量，同时牢记科学记数法中$a$的取值要求和指数$n$的确定方法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先理清数量关系，总浪费的水量等于每人每天浪费的水量乘以总人数；第二步，将人数单位“100万”换算为具体的数字，再代入数量关系计算出总浪费水量的具体数值；第三步，回忆科学记数法的表示规则，把计算得到的大数改写成符合要求的科学记数法形式。
【解析】
1. 单位换算：100万 = 1000000人
2. 计算总浪费水量：$0.32 × 1000000 = 320000\ \mathrm{L}$
3. 转换为科学记数法：科学记数法的形式为$a × 10^n$，要求$1≤ |a| ＜10$，将320000的小数点向左移动5位得到$a=3.2$，移动的位数5即为10的指数，因此$320000 = 3.2 × 10^5$。
【答案】
$\boldsymbol{3.2× 10^5}$
【知识点】
科学记数法；有理数乘法运算
【点评】
本题结合节约用水的实际背景考查基础运算和科学记数法的应用，解题核心是准确计算总水量，同时牢记科学记数法中$a$的取值要求和指数$n$的确定方法。
【难度系数】
0.8
6.一粒纽扣电池能够污染60 L水。某市每年报废的纽扣电池有近10 000 000粒，若不回收这些废电池，则该市一年被这些废电池污染的水约有多少升（结果用科学记数法表示）？
答案
解：
$ 60 × 10\ 000\ 000 = 600\ 000\ 000 $
用科学记数法表示为 $ 6 × 10^8 $
答：该市一年被这些废电池污染的水约有 $ 6 × 10^8 $ 升。
$ 60 × 10\ 000\ 000 = 600\ 000\ 000 $
用科学记数法表示为 $ 6 × 10^8 $
答：该市一年被这些废电池污染的水约有 $ 6 × 10^8 $ 升。
解析
【分析】
要计算该市一年被废电池污染的总水量，需用单粒纽扣电池的污染水量乘以报废的纽扣电池总数量，得到总水量后，再按照科学记数法的书写规范（$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）转换结果即可。
【解析】
首先计算总污染水量：
$60 × 10000000 = 600000000$（升）
将600000000转化为科学记数法：确定$a=6$（满足$1≤a＜10$的要求），小数点向左移动了8位，因此$n=8$，即可表示为$6 × 10^8$升。
【答案】
$6 × 10^8$升
【知识点】
有理数乘法；科学记数法
【点评】
本题结合环保实际场景设计，侧重考查基础乘法运算和科学记数法的规范表示，解题时需注意科学记数法中$a$的取值范围，数准小数点移动的位数即可正确求解。
【难度系数】
0.9
要计算该市一年被废电池污染的总水量，需用单粒纽扣电池的污染水量乘以报废的纽扣电池总数量，得到总水量后，再按照科学记数法的书写规范（$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数）转换结果即可。
【解析】
首先计算总污染水量：
$60 × 10000000 = 600000000$（升）
将600000000转化为科学记数法：确定$a=6$（满足$1≤a＜10$的要求），小数点向左移动了8位，因此$n=8$，即可表示为$6 × 10^8$升。
【答案】
$6 × 10^8$升
【知识点】
有理数乘法；科学记数法
【点评】
本题结合环保实际场景设计，侧重考查基础乘法运算和科学记数法的规范表示，解题时需注意科学记数法中$a$的取值范围，数准小数点移动的位数即可正确求解。
【难度系数】
0.9
7.一个健康成年人的心跳平均每分钟约70次，一年(以365天计)大约跳多少次？用科学记数法表示出这个结果。
一个健康成年人到70岁时，心跳次数能达到1亿次吗？
一个健康成年人到70岁时，心跳次数能达到1亿次吗？
答案
解：
计算一年的总分钟数：
$365 × 24 × 60 = 525600$
一年的心跳总次数为：
$70 × 525600 = 36792000 = 3.6792 × 10^7$（次）
计算70岁时的心跳总次数：
$3.6792 × 10^7 × 70 = 2.57544 × 10^9$（次）
因为1亿$=1 × 10^8$，且$2.57544 × 10^9 ＞ 1 × 10^8$，所以心跳次数能达到1亿次。
答：一年大约跳$3.6792 × 10^7$次，一个健康成年人到70岁时，心跳次数能达到1亿次。
计算一年的总分钟数：
$365 × 24 × 60 = 525600$
一年的心跳总次数为：
$70 × 525600 = 36792000 = 3.6792 × 10^7$（次）
计算70岁时的心跳总次数：
$3.6792 × 10^7 × 70 = 2.57544 × 10^9$（次）
因为1亿$=1 × 10^8$，且$2.57544 × 10^9 ＞ 1 × 10^8$，所以心跳次数能达到1亿次。
答：一年大约跳$3.6792 × 10^7$次，一个健康成年人到70岁时，心跳次数能达到1亿次。
解析
【分析】
要计算一年的心跳次数，首先需要统一单位，先算出一年共有多少分钟：根据1天=24小时，1小时=60分钟，可算出一年的总分钟数，再乘以每分钟的心跳次数就能得到一年的总心跳数，再按照科学记数法的书写规范（$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数）改写结果。要判断70岁时心跳是否达到1亿次，先算出70年的总心跳数，再将1亿改写为科学记数法的形式，比较两者大小即可得到结论。
【解析】
第一步：计算一年的总分钟数
$365 × 24 × 60 = 525600$（分钟）
第二步：计算一年的心跳总次数，并改写为科学记数法
$70 × 525600 = 36792000 = 3.6792 × 10^7$（次）
第三步：计算70岁时的心跳总次数
$3.6792 × 10^7 × 70 = 2.57544 × 10^9$（次）
第四步：比较大小判断是否达到1亿次
因为1亿$=100000000=1 × 10^8$，且$2.57544 × 10^9 ＞ 1 × 10^8$，所以心跳次数能达到1亿次。
【答案】
一年大约跳$3.6792 × 10^7$次，一个健康成年人到70岁时，心跳次数能达到1亿次。
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了单位换算和有理数乘法的基础运算能力，也考查了科学记数法的规范书写、大数比较的方法，解题时需注意计算的准确性，避免因单位换算错误或科学记数法指数写错失分。
【难度系数】
0.8
要计算一年的心跳次数，首先需要统一单位，先算出一年共有多少分钟：根据1天=24小时，1小时=60分钟，可算出一年的总分钟数，再乘以每分钟的心跳次数就能得到一年的总心跳数，再按照科学记数法的书写规范（$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数）改写结果。要判断70岁时心跳是否达到1亿次，先算出70年的总心跳数，再将1亿改写为科学记数法的形式，比较两者大小即可得到结论。
【解析】
第一步：计算一年的总分钟数
$365 × 24 × 60 = 525600$（分钟）
第二步：计算一年的心跳总次数，并改写为科学记数法
$70 × 525600 = 36792000 = 3.6792 × 10^7$（次）
第三步：计算70岁时的心跳总次数
$3.6792 × 10^7 × 70 = 2.57544 × 10^9$（次）
第四步：比较大小判断是否达到1亿次
因为1亿$=100000000=1 × 10^8$，且$2.57544 × 10^9 ＞ 1 × 10^8$，所以心跳次数能达到1亿次。
【答案】
一年大约跳$3.6792 × 10^7$次，一个健康成年人到70岁时，心跳次数能达到1亿次。
【知识点】
有理数乘法运算；科学记数法；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考查了单位换算和有理数乘法的基础运算能力，也考查了科学记数法的规范书写、大数比较的方法，解题时需注意计算的准确性，避免因单位换算错误或科学记数法指数写错失分。
【难度系数】
0.8
8. 提升题 我们通常使用十进制数进行计数和运算。例如，$204958 = 2×10^5 + 0×10^4 + 4×10^3 + 9×10^2 + 5×10 + 8×1$，表示十进制数要用10个数字：0,1,2,…,9。在计算机科学中，二进制是一种常用的计数系统，它仅使用两个数字：0,1。例如，在二进制中，$1101 = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2 + 1×1$，其结果为十进制数13，$110011 = 1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2 + 1×1$，其结果为十进制数51。根据以上信息，回答下列问题。
(1)请你将二进制数110101转换为十进制数。
(2)仿照二进制的说明与算法，请你将八进制数1507转换为十进制数。
(1)请你将二进制数110101转换为十进制数。
(2)仿照二进制的说明与算法，请你将八进制数1507转换为十进制数。
答案
解：
(1) 将二进制数110101转换为十进制数：
$\begin{aligned}110101&=1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2 + 1×1\\&=32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1\\&=53\end{aligned}$
(2) 将八进制数1507转换为十进制数：
$\begin{aligned}1507&=1×8^3 + 5×8^2 + 0×8 + 7×1\\&=512 + 320 + 0 + 7\\&=839\end{aligned}$
(1) 将二进制数110101转换为十进制数：
$\begin{aligned}110101&=1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2 + 1×1\\&=32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1\\&=53\end{aligned}$
(2) 将八进制数1507转换为十进制数：
$\begin{aligned}1507&=1×8^3 + 5×8^2 + 0×8 + 7×1\\&=512 + 320 + 0 + 7\\&=839\end{aligned}$
解析
【分析】
解题核心是先读懂题目给出的进制转换规则：k进制数转十进制数时，从左到右每一位上的数字依次乘以k的（总位数-1）次幂、k的（总位数-2）次幂……k的0次幂，所有乘积相加的结果就是对应的十进制数。
(1) 转换二进制数110101时，确定基数为2，该数共6位，按照上述规则对应乘2的相应次幂求和即可。
(2) 转换八进制数1507时，类比二进制的转换方法，将基数替换为8，该数共4位，对应乘8的相应次幂求和即可。
【解析】
(1) 将二进制数110101转换为十进制数：
$\begin{aligned}110101&=1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1\\&=53\end{aligned}$
(2) 将八进制数1507转换为十进制数：
$\begin{aligned}1507&=1×8^3 + 5×8^2 + 0×8^1 + 7×8^0\\&=512 + 320 + 0 + 7\\&=839\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{53}$；(2) $\boxed{839}$
【知识点】
有理数乘方运算，进制转换
【点评】
本题结合计算机进制计数的背景考查乘方的应用，需要先提取题目给出的转换规则，再通过类比推理完成新的进制转换，能够很好地锻炼信息读取能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题核心是先读懂题目给出的进制转换规则：k进制数转十进制数时，从左到右每一位上的数字依次乘以k的（总位数-1）次幂、k的（总位数-2）次幂……k的0次幂，所有乘积相加的结果就是对应的十进制数。
(1) 转换二进制数110101时，确定基数为2，该数共6位，按照上述规则对应乘2的相应次幂求和即可。
(2) 转换八进制数1507时，类比二进制的转换方法，将基数替换为8，该数共4位，对应乘8的相应次幂求和即可。
【解析】
(1) 将二进制数110101转换为十进制数：
$\begin{aligned}110101&=1×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1\\&=53\end{aligned}$
(2) 将八进制数1507转换为十进制数：
$\begin{aligned}1507&=1×8^3 + 5×8^2 + 0×8^1 + 7×8^0\\&=512 + 320 + 0 + 7\\&=839\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{53}$；(2) $\boxed{839}$
【知识点】
有理数乘方运算，进制转换
【点评】
本题结合计算机进制计数的背景考查乘方的应用，需要先提取题目给出的转换规则，再通过类比推理完成新的进制转换，能够很好地锻炼信息读取能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
