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19.某中学举办了足球比赛，计分规则为胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分.某班参加14场比赛，始终保持不败的纪录，共得22分.该班胜了多少场比赛？
答案
19.设该班胜了 $x$ 场比赛,则平了 $(14-x)$ 场比赛.
根据题意,得 $2x+(14-x)=22$,解得 $x=8$.
故该班胜了 8 场比赛.
根据题意,得 $2x+(14-x)=22$,解得 $x=8$.
故该班胜了 8 场比赛.
解析
【分析】
首先明确题目核心条件：该班14场比赛保持不败，说明比赛结果只有胜、平两种，不存在负场。我们可以通过列一元一次方程求解：第一步先设胜场数为未知数，用总场次减去胜场数即可得到平场数；第二步根据计分规则找到等量关系：胜场总积分+平场总积分=总得分22分，代入对应量列出方程；第三步解方程就能得到胜场的数量。
【解析】
解：设该班胜了$x$场比赛，因为总场次为14场且不败，所以平了$(14-x)$场比赛。
根据题意列方程：
$2x+(14-x)=22$
化简得：$x+14=22$
解得：$x=8$
【答案】
该班胜了8场比赛。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 比赛积分问题
【点评】
本题是典型的积分类应用题，解题的关键是抓住“不败”的限定条件确定比赛结果的类型，再结合计分规则找到总得分的等量关系，按照列方程解应用题的基本步骤即可求解。
【难度系数】
0.8
首先明确题目核心条件：该班14场比赛保持不败，说明比赛结果只有胜、平两种，不存在负场。我们可以通过列一元一次方程求解：第一步先设胜场数为未知数，用总场次减去胜场数即可得到平场数；第二步根据计分规则找到等量关系：胜场总积分+平场总积分=总得分22分，代入对应量列出方程；第三步解方程就能得到胜场的数量。
【解析】
解：设该班胜了$x$场比赛，因为总场次为14场且不败，所以平了$(14-x)$场比赛。
根据题意列方程：
$2x+(14-x)=22$
化简得：$x+14=22$
解得：$x=8$
【答案】
该班胜了8场比赛。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 比赛积分问题
【点评】
本题是典型的积分类应用题，解题的关键是抓住“不败”的限定条件确定比赛结果的类型，再结合计分规则找到总得分的等量关系，按照列方程解应用题的基本步骤即可求解。
【难度系数】
0.8
20.有一个水池,用两个水管注水.如果单开甲管,2.5 h注满水池;如果单开乙管,5 h注满水池.如果甲、乙两管先同时注水20 min,然后由乙管单独注水,还需要多长时间才能把水池注满？
答案
20.设还需要 $x\ \mathrm{h}$ 才能把水池注满.
根据题意,可得$(1÷2.5+\frac{1}{5})×\frac{20}{60}+\frac{1}{5}x=1$,解得 $x=4$.
故还需要 4 h 才能把水池注满.
根据题意,可得$(1÷2.5+\frac{1}{5})×\frac{20}{60}+\frac{1}{5}x=1$,解得 $x=4$.
故还需要 4 h 才能把水池注满.
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时首先将水池总容量看作单位“1”，分别计算甲、乙两管的工作效率：甲管效率为$1÷2.5=\frac{2}{5}$（每小时），乙管效率为$1÷5=\frac{1}{5}$（每小时）。接下来统一时间单位，将20分钟换算为$\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$小时。本题的等量关系为：甲、乙两管同时注水20分钟的工作量 + 乙管单独注水$x$小时的工作量 = 总工作量1，根据这个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设还需要 $x\ \mathrm{h}$ 才能把水池注满。
先统一时间单位：$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$
甲管的工作效率为$\frac{1}{2.5}$（每小时），乙管的工作效率为$\frac{1}{5}$（每小时）。
根据题意列方程：
$(1÷2.5+\frac{1}{5})×\frac{20}{60}+\frac{1}{5}x=1$
化简得：$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}x=1$
即$\frac{1}{5}+\frac{x}{5}=1$
两边同乘5去分母得：$1+x=5$
解得$x=4$
【答案】
还需要4 h才能把水池注满。
【知识点】
1. 工程问题应用
2. 一元一次方程求解
3. 时间单位换算
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题核心是把总工作量设为单位“1”，准确梳理各阶段工作量之和等于总工作量的等量关系，计算前要注意统一时间单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时首先将水池总容量看作单位“1”，分别计算甲、乙两管的工作效率：甲管效率为$1÷2.5=\frac{2}{5}$（每小时），乙管效率为$1÷5=\frac{1}{5}$（每小时）。接下来统一时间单位，将20分钟换算为$\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$小时。本题的等量关系为：甲、乙两管同时注水20分钟的工作量 + 乙管单独注水$x$小时的工作量 = 总工作量1，根据这个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设还需要 $x\ \mathrm{h}$ 才能把水池注满。
先统一时间单位：$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}=\frac{1}{3}\ \mathrm{h}$
甲管的工作效率为$\frac{1}{2.5}$（每小时），乙管的工作效率为$\frac{1}{5}$（每小时）。
根据题意列方程：
$(1÷2.5+\frac{1}{5})×\frac{20}{60}+\frac{1}{5}x=1$
化简得：$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}+\frac{1}{5}x=1$
即$\frac{1}{5}+\frac{x}{5}=1$
两边同乘5去分母得：$1+x=5$
解得$x=4$
【答案】
还需要4 h才能把水池注满。
【知识点】
1. 工程问题应用
2. 一元一次方程求解
3. 时间单位换算
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题核心是把总工作量设为单位“1”，准确梳理各阶段工作量之和等于总工作量的等量关系，计算前要注意统一时间单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
21.A、B两地相距600 km，一列慢车和一列快车分别从A、B两地同时开出，慢车速度为80 km/h，快车速度为120 km/h.
（1）若两车相背而行，多少小时后，两车相距800 km？
（2）若两车同向而行，慢车在快车后面，多少小时后，两车相距760 km？
（1）若两车相背而行，多少小时后，两车相距800 km？
（2）若两车同向而行，慢车在快车后面，多少小时后，两车相距760 km？
答案
21.(1)设 $x\ \mathrm{h}$ 后两车相距 800 km.
根据题意,可得 $80x+120x=800-600$,解得 $x=1$.
故若两车相背而行,1 h 后两车相距 800 km.
(2)设 $y\ \mathrm{h}$ 后两车相距 760 km.
根据题意,可得 $120y-80y=760-600$,解得 $y=4$.
故若两车同向而行,慢车在快车后面,4 h 后两车相距 760 km.
根据题意,可得 $80x+120x=800-600$,解得 $x=1$.
故若两车相背而行,1 h 后两车相距 800 km.
(2)设 $y\ \mathrm{h}$ 后两车相距 760 km.
根据题意,可得 $120y-80y=760-600$,解得 $y=4$.
故若两车同向而行,慢车在快车后面,4 h 后两车相距 760 km.
解析
【分析】
（1）两车初始相距600km，相背而行时两车距离持续增大，要达到相距800km，两车行驶的路程之和等于800km与初始600km的差值。我们可设时间为未知数，分别表示两车行驶的路程，根据上述等量关系列一元一次方程求解。
（2）两车同向而行且慢车在快车后方，快车速度更快，两车距离持续增大，要达到相距760km，快车比慢车多行驶的路程等于760km与初始600km的差值。设时间为未知数，根据路程差的等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）设$x\ \mathrm{h}$后两车相距800 km。
根据题意，两车行驶的路程和等于新增的距离，可得方程：
$80x+120x=800-600$
合并同类项得：$200x=200$
解得：$x=1$
（2）设$y\ \mathrm{h}$后两车相距760 km。
根据题意，快车比慢车多行驶的路程等于新增的距离，可得方程：
$120y-80y=760-600$
合并同类项得：$40y=160$
解得：$y=4$
【答案】
（1）1 h；（2）4 h
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，路程公式应用
【点评】
本题是行程问题的典型基础题，重点考查不同行驶情景下等量关系的梳理能力，只要明确相背、同向行驶时路程的变化规律，就能快速列方程求解，侧重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
（1）两车初始相距600km，相背而行时两车距离持续增大，要达到相距800km，两车行驶的路程之和等于800km与初始600km的差值。我们可设时间为未知数，分别表示两车行驶的路程，根据上述等量关系列一元一次方程求解。
（2）两车同向而行且慢车在快车后方，快车速度更快，两车距离持续增大，要达到相距760km，快车比慢车多行驶的路程等于760km与初始600km的差值。设时间为未知数，根据路程差的等量关系列方程求解即可。
【解析】
（1）设$x\ \mathrm{h}$后两车相距800 km。
根据题意，两车行驶的路程和等于新增的距离，可得方程：
$80x+120x=800-600$
合并同类项得：$200x=200$
解得：$x=1$
（2）设$y\ \mathrm{h}$后两车相距760 km。
根据题意，快车比慢车多行驶的路程等于新增的距离，可得方程：
$120y-80y=760-600$
合并同类项得：$40y=160$
解得：$y=4$
【答案】
（1）1 h；（2）4 h
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，路程公式应用
【点评】
本题是行程问题的典型基础题，重点考查不同行驶情景下等量关系的梳理能力，只要明确相背、同向行驶时路程的变化规律，就能快速列方程求解，侧重对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
22.某加工厂利用如图①所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)，焊接成如图②所示的A型铁盒与B型铁盒，两种铁盒均无盖。
(1)现在要做a个A型铁盒和b个B型铁盒，共需要
(2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，则可制作A型铁盒和B型铁盒各多少个？
(1)现在要做a个A型铁盒和b个B型铁盒，共需要
(4a+3b)
张长方形铁片，(a+2b)
张正方形铁片。(2)现有正方形铁片50张，长方形铁片100张，若这些铁片恰好用完，则可制作A型铁盒和B型铁盒各多少个？
答案
22.(1)$(4a+3b)$ $(a+2b)$
(2)设可制作 A 型铁盒 $x$ 个,则可制作 B 型铁盒 $\frac{50-x}{2}$个.
根据题意,有 $4x+\frac{3(50-x)}{2}=100$,解得 $x=10$,$\frac{50-x}{2}=\frac{50-10}{2}=20$.
故可制作 A 型铁盒 10 个,B 型铁盒 20 个.
(2)设可制作 A 型铁盒 $x$ 个,则可制作 B 型铁盒 $\frac{50-x}{2}$个.
根据题意,有 $4x+\frac{3(50-x)}{2}=100$,解得 $x=10$,$\frac{50-x}{2}=\frac{50-10}{2}=20$.
故可制作 A 型铁盒 10 个,B 型铁盒 20 个.
解析
【分析】
(1) 首先分析单个铁盒的铁片用量：观察图形可知，1个无盖A型铁盒需要4张长方形铁片、1张正方形铁片；1个无盖B型铁盒需要3张长方形铁片、2张正方形铁片。分别计算a个A型、b个B型铁盒的铁片用量后求和，即可得到总用量。
(2) 先设A型铁盒的制作数量为未知数，结合正方形铁片的总数量，用含未知数的式子表示B型铁盒的数量，再根据长方形铁片的总用量建立一元一次方程，求解即可得到两种铁盒的制作数量。
【解析】
(1) 1个A型铁盒需4张长方形铁片、1张正方形铁片，1个B型铁盒需3张长方形铁片、2张正方形铁片。
制作a个A型铁盒需要长方形铁片4a张，正方形铁片a张；
制作b个B型铁盒需要长方形铁片3b张，正方形铁片2b张；
因此共需要长方形铁片$4a+3b$张，共需要正方形铁片$a+2b$张。
(2) 设可制作A型铁盒$x$个，已知正方形铁片共50张，制作$x$个A型铁盒消耗$x$张正方形铁片，剩余正方形铁片全部用于制作B型铁盒，每个B型铁盒需2张正方形铁片，因此B型铁盒的数量为$\frac{50-x}{2}$个。
根据长方形铁片总共有100张，可列方程：
$4x+\frac{3(50-x)}{2}=100$
方程两边同乘2消去分母得：$8x + 3(50-x) = 200$
展开括号：$8x + 150 - 3x = 200$
合并同类项：$5x + 150 = 200$
移项计算得：$5x = 50$，解得$x=10$
将$x=10$代入$\frac{50-x}{2}$，得B型铁盒数量为$\frac{50-10}{2}=20$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4a+3b)}$；$\boldsymbol{(a+2b)}$
(2) 可制作A型铁盒10个，B型铁盒20个。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合实际制作场景，考查学生从实物图形中提取数量关系的能力，解题核心是先明确单个物品的物料消耗，再结合总物料建立等量关系求解，能有效锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.75
(1) 首先分析单个铁盒的铁片用量：观察图形可知，1个无盖A型铁盒需要4张长方形铁片、1张正方形铁片；1个无盖B型铁盒需要3张长方形铁片、2张正方形铁片。分别计算a个A型、b个B型铁盒的铁片用量后求和，即可得到总用量。
(2) 先设A型铁盒的制作数量为未知数，结合正方形铁片的总数量，用含未知数的式子表示B型铁盒的数量，再根据长方形铁片的总用量建立一元一次方程，求解即可得到两种铁盒的制作数量。
【解析】
(1) 1个A型铁盒需4张长方形铁片、1张正方形铁片，1个B型铁盒需3张长方形铁片、2张正方形铁片。
制作a个A型铁盒需要长方形铁片4a张，正方形铁片a张；
制作b个B型铁盒需要长方形铁片3b张，正方形铁片2b张；
因此共需要长方形铁片$4a+3b$张，共需要正方形铁片$a+2b$张。
(2) 设可制作A型铁盒$x$个，已知正方形铁片共50张，制作$x$个A型铁盒消耗$x$张正方形铁片，剩余正方形铁片全部用于制作B型铁盒，每个B型铁盒需2张正方形铁片，因此B型铁盒的数量为$\frac{50-x}{2}$个。
根据长方形铁片总共有100张，可列方程：
$4x+\frac{3(50-x)}{2}=100$
方程两边同乘2消去分母得：$8x + 3(50-x) = 200$
展开括号：$8x + 150 - 3x = 200$
合并同类项：$5x + 150 = 200$
移项计算得：$5x = 50$，解得$x=10$
将$x=10$代入$\frac{50-x}{2}$，得B型铁盒数量为$\frac{50-10}{2}=20$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(4a+3b)}$；$\boldsymbol{(a+2b)}$
(2) 可制作A型铁盒10个，B型铁盒20个。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合实际制作场景，考查学生从实物图形中提取数量关系的能力，解题核心是先明确单个物品的物料消耗，再结合总物料建立等量关系求解，能有效锻炼学生的数学应用意识。
【难度系数】
0.75
