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二、填空题
11.已知关于x的方程$x+a=3$的解是$x=1$，则$a=$
11.已知关于x的方程$x+a=3$的解是$x=1$，则$a=$
2
。答案
11.2
解析
【分析】
本题已知含参数的一元一次方程的解，求参数的值。解题思路是依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此把已知解x=1代入原方程，即可得到只含参数a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值。
【解析】
将x=1代入方程$x+a=3$，可得：
$1+a=3$
移项计算得：
$a=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查方程解的应用，将方程的解代入原方程转化为关于参数的方程求解是此类问题的通用解法，计算难度低，易掌握。
【难度系数】
0.9
本题已知含参数的一元一次方程的解，求参数的值。解题思路是依据方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此把已知解x=1代入原方程，即可得到只含参数a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值。
【解析】
将x=1代入方程$x+a=3$，可得：
$1+a=3$
移项计算得：
$a=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查方程解的应用，将方程的解代入原方程转化为关于参数的方程求解是此类问题的通用解法，计算难度低，易掌握。
【难度系数】
0.9
12.在梯形的面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$中，若$S=24$，$h=3$，$a=6$，则$b=$
10
。答案
12.10
解析
【分析】
本题已知梯形面积公式及S、h、a的取值，要求未知量b，解题思路为：先将已知的数值代入梯形面积公式，把b看作未知数，将公式转化为关于b的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算即可得到b的值。
【解析】
将$S=24$，$h=3$，$a=6$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$24=\frac{1}{2}×(6+b)×3$
方程两边同时乘2，去分母得：
$48=3×(6+b)$
方程两边同时除以3，得：
$16=6+b$
移项计算得：
$b=16-6=10$
【答案】
10
【知识点】
梯形面积公式、解一元一次方程、代入求值
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查对梯形面积公式的记忆与应用，以及一元一次方程的求解能力，计算时注意去分母、移项的运算规则即可避免出错。
【难度系数】
0.9
本题已知梯形面积公式及S、h、a的取值，要求未知量b，解题思路为：先将已知的数值代入梯形面积公式，把b看作未知数，将公式转化为关于b的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算即可得到b的值。
【解析】
将$S=24$，$h=3$，$a=6$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$24=\frac{1}{2}×(6+b)×3$
方程两边同时乘2，去分母得：
$48=3×(6+b)$
方程两边同时除以3，得：
$16=6+b$
移项计算得：
$b=16-6=10$
【答案】
10
【知识点】
梯形面积公式、解一元一次方程、代入求值
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查对梯形面积公式的记忆与应用，以及一元一次方程的求解能力，计算时注意去分母、移项的运算规则即可避免出错。
【难度系数】
0.9
13.某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成.甲先干1天，然后甲、乙合做完成此项工作.若设甲一共做了x天，则可列方程为$\frac{x}{4} + \frac{x - 1}{6} = 1$。
答案
13.$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{6}=1$
解析
【分析】
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题先明确工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，通常将总工作量设为单位“1”。首先推导甲、乙的工作效率，再根据题意确定甲、乙各自的工作时长：甲一共做了x天，甲先做1天乙才加入，因此乙的工作时长比甲少1天，为(x-1)天。最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系即可列出方程。
【解析】
解：将这项工作的总工作量看作单位“1”。
由题意得，甲的工作效率为$\frac{1}{4}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
已知甲一共做了x天，因甲先单独做1天乙才参与合作，故乙的工作时长为$(x-1)$天。
甲完成的工作量为：$\frac{1}{4} × x = \frac{x}{4}$
乙完成的工作量为：$\frac{1}{6} × (x-1) = \frac{x-1}{6}$
根据“两人完成的工作量之和等于总工作量1”，列方程得：
$\frac{x}{4} + \frac{x-1}{6} = 1$
【答案】
$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{6}=1$
【知识点】
1. 工程问题
2. 一元一次方程的应用
3. 工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，解题核心是找准工作效率、工作时间、工作总量三者的对应关系，尤其要注意挖掘“甲先干1天，乙才加入”的隐含条件，明确乙的工作时长比甲少1天，避免因时间对应错误列错方程。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题先明确工程问题的基本等量关系：工作总量=工作效率×工作时间，通常将总工作量设为单位“1”。首先推导甲、乙的工作效率，再根据题意确定甲、乙各自的工作时长：甲一共做了x天，甲先做1天乙才加入，因此乙的工作时长比甲少1天，为(x-1)天。最后根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”的等量关系即可列出方程。
【解析】
解：将这项工作的总工作量看作单位“1”。
由题意得，甲的工作效率为$\frac{1}{4}$，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
已知甲一共做了x天，因甲先单独做1天乙才参与合作，故乙的工作时长为$(x-1)$天。
甲完成的工作量为：$\frac{1}{4} × x = \frac{x}{4}$
乙完成的工作量为：$\frac{1}{6} × (x-1) = \frac{x-1}{6}$
根据“两人完成的工作量之和等于总工作量1”，列方程得：
$\frac{x}{4} + \frac{x-1}{6} = 1$
【答案】
$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{6}=1$
【知识点】
1. 工程问题
2. 一元一次方程的应用
3. 工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，解题核心是找准工作效率、工作时间、工作总量三者的对应关系，尤其要注意挖掘“甲先干1天，乙才加入”的隐含条件，明确乙的工作时长比甲少1天，避免因时间对应错误列错方程。
【难度系数】
0.7
14.按右图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入m的值是
1
。答案
14.1 解析:由题意,当 $m≥ 0$ 时,由 $2m-1=1$,解得 $m=1$,符合题意;
当 $m＜0$ 时,由 $-2m+3=1$,解得 $m=1$,不符合题意,舍去.
所以 $m$ 的值是 1.
当 $m＜0$ 时,由 $-2m+3=1$,解得 $m=1$,不符合题意,舍去.
所以 $m$ 的值是 1.
解析
【分析】
本题是根据分段运算程序求输入值的问题，解题思路如下：首先观察运算程序，它根据m的取值范围分为两类运算规则，已知输出结果为1，所以需要分两种情况分别列方程求解：①当m≥0时，对应的运算式是2m-1，令其等于1解方程；②当m＜0时，对应的运算式是-2m+3，令其等于1解方程。最后要把求得的m值代入对应的取值范围检验，符合条件的才是最终答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m≥0$时，根据运算程序列方程：
$2m-1=1$
移项得$2m=1+1$，即$2m=2$
系数化为1，得$m=1$
经检验，$m=1$满足$m≥0$，符合条件。
2. 当$m＜0$时，根据运算程序列方程：
$-2m+3=1$
移项得$-2m=1-3$，即$-2m=-2$
系数化为1，得$m=1$
经检验，$m=1$不满足$m＜0$，不符合条件，舍去。
综上，输入m的值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程求解、分段程序运算、分类讨论
【点评】
本题需要结合运算程序的分段规则分类列方程求解，解题的关键是求解后要验证结果是否符合对应分段的取值范围，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题是根据分段运算程序求输入值的问题，解题思路如下：首先观察运算程序，它根据m的取值范围分为两类运算规则，已知输出结果为1，所以需要分两种情况分别列方程求解：①当m≥0时，对应的运算式是2m-1，令其等于1解方程；②当m＜0时，对应的运算式是-2m+3，令其等于1解方程。最后要把求得的m值代入对应的取值范围检验，符合条件的才是最终答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当$m≥0$时，根据运算程序列方程：
$2m-1=1$
移项得$2m=1+1$，即$2m=2$
系数化为1，得$m=1$
经检验，$m=1$满足$m≥0$，符合条件。
2. 当$m＜0$时，根据运算程序列方程：
$-2m+3=1$
移项得$-2m=1-3$，即$-2m=-2$
系数化为1，得$m=1$
经检验，$m=1$不满足$m＜0$，不符合条件，舍去。
综上，输入m的值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程求解、分段程序运算、分类讨论
【点评】
本题需要结合运算程序的分段规则分类列方程求解，解题的关键是求解后要验证结果是否符合对应分段的取值范围，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
15.某地为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方式收取水费：若每月用水不超过7 m³，则按1元/m³收费；若每月用水超过7 m³，则超过部分按2元/m³收费。如果某户居民今年5月份缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为
否
-2m+3
12
m³。否
-2m+3
答案
15.12 解析:设这户居民今年 5 月份的用水量为 $x\ \mathrm{m}^3$.
则 $7× 1+(x-7)× 2=17$,解得 $x=12$.
则 $7× 1+(x-7)× 2=17$,解得 $x=12$.
解析
【分析】
首先计算每月用水7m³时的水费为$7×1=7$元，已知用户缴纳了17元，$17＞7$，说明该用户5月份用水量超过7m³。水费由两部分组成：7m³以内的基础费用，和超过7m³部分的加价费用，我们可以设总用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，根据“基础费用+超出部分费用=总水费”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这户居民今年5月份的用水量为$x\ \mathrm{m}^3$。
先判断用水量区间：当用水量为$7\ \mathrm{m}^3$时，水费为$7×1=7$元，因为$17＞7$，所以$x＞7$。
根据分段计费规则列方程：
$7× 1 + (x-7)× 2 =17$
展开计算得：
$7 + 2x -14 =17$
移项合并同类项得：
$2x =17 +14 -7$
$2x=24$
解得：$x=12$
【答案】
12
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是生活中常见的分段计费类应用题，解题的核心是先根据已缴费用判断用水量所属的收费区间，再结合对应的计费规则找准等量关系列方程求解，计算时注意不要混淆不同区间的收费标准。
【难度系数】
0.7
首先计算每月用水7m³时的水费为$7×1=7$元，已知用户缴纳了17元，$17＞7$，说明该用户5月份用水量超过7m³。水费由两部分组成：7m³以内的基础费用，和超过7m³部分的加价费用，我们可以设总用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，根据“基础费用+超出部分费用=总水费”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这户居民今年5月份的用水量为$x\ \mathrm{m}^3$。
先判断用水量区间：当用水量为$7\ \mathrm{m}^3$时，水费为$7×1=7$元，因为$17＞7$，所以$x＞7$。
根据分段计费规则列方程：
$7× 1 + (x-7)× 2 =17$
展开计算得：
$7 + 2x -14 =17$
移项合并同类项得：
$2x =17 +14 -7$
$2x=24$
解得：$x=12$
【答案】
12
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是生活中常见的分段计费类应用题，解题的核心是先根据已缴费用判断用水量所属的收费区间，再结合对应的计费规则找准等量关系列方程求解，计算时注意不要混淆不同区间的收费标准。
【难度系数】
0.7
16.规定:用$\{m\}$表示大于$m$的最小整数,例如$\{\dfrac{5}{2}\}=3,\{4\}=5,\{-1.5\}=-1$等;用$[m]$表示不大于$m$的最大整数,例如$[\dfrac{7}{2}]=3,[2]=2,[-3.2]=-4$.如果整数$x$满足关系式:$3\{x\}+2[x]=23$,则$x=$
4
.答案
16.4 解析:由题意,得 $\{x\}=x+1,[x]=x$.
所以 $3\{x\}+2[x]=3(x+1)+2x=23$.解得 $x=4$.
所以 $3\{x\}+2[x]=3(x+1)+2x=23$.解得 $x=4$.
解析
【分析】
首先读懂题目给出的两个新定义的运算规则，再结合题干中x是整数的条件推导：对于整数x，大于x的最小整数就是x+1，即$\{x\}=x+1$；不大于x的最大整数就是x本身，即$[x]=x$。将这两个关系式代入已知的等式中，就能得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
因为x是整数，根据题意可得：
$\{x\}=x+1$，$[x]=x$
把上述两个式子代入$3\{x\}+2[x]=23$，得：
$3(x+1)+2x=23$
去括号：$3x+3+2x=23$
合并同类项：$5x+3=23$
移项计算：$5x=20$
系数化为1：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的解法
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解题目给定的运算规则，结合已知条件将新运算转化为熟悉的代数式运算，再通过解方程得到结果，这类题型重点考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先读懂题目给出的两个新定义的运算规则，再结合题干中x是整数的条件推导：对于整数x，大于x的最小整数就是x+1，即$\{x\}=x+1$；不大于x的最大整数就是x本身，即$[x]=x$。将这两个关系式代入已知的等式中，就能得到关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
因为x是整数，根据题意可得：
$\{x\}=x+1$，$[x]=x$
把上述两个式子代入$3\{x\}+2[x]=23$，得：
$3(x+1)+2x=23$
去括号：$3x+3+2x=23$
合并同类项：$5x+3=23$
移项计算：$5x=20$
系数化为1：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的解法
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解题目给定的运算规则，结合已知条件将新运算转化为熟悉的代数式运算，再通过解方程得到结果，这类题型重点考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
17.解下列方程.
(1) $3(x-2)=2-5(x-2)$.
(2) $\dfrac{y+2}{4}-\dfrac{2y-3}{6}=1$.
17.解下列方程.
(1) $3(x-2)=2-5(x-2)$.
(2) $\dfrac{y+2}{4}-\dfrac{2y-3}{6}=1$.
答案
17.(1)$x=\frac{9}{4}$. (2)$y=0$.
解析
【分析】
这两道题均为一元一次方程求解问题，遵循一元一次方程的标准解题步骤即可解答。第(1)题含有括号，解题思路为：先去括号，再把含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，合并同类项后将未知数的系数化为1得到解；第(2)题含有分数分母，解题思路为：先找分母的最小公倍数去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作得到解。
【解析】
(1) 求解$3(x-2)=2-5(x-2)$：
第一步，去括号：$3x-6=2-5x+10$
第二步，移项：$3x+5x=2+10+6$
第三步，合并同类项：$8x=18$
第四步，系数化为1：$x=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$
(2) 求解$\dfrac{y+2}{4}-\dfrac{2y-3}{6}=1$：
第一步，去分母，4和6的最小公倍数为12，等式两边同时乘12：$3(y+2)-2(2y-3)=12$
第二步，去括号：$3y+6-4y+6=12$
第三步，移项：$3y-4y=12-6-6$
第四步，合并同类项：$-y=0$
第五步，系数化为1：$y=0$
【答案】
(1)$x=\frac{9}{4}$；(2)$y=0$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意去括号的符号变化、去分母时不要漏乘不含分母的项，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均为一元一次方程求解问题，遵循一元一次方程的标准解题步骤即可解答。第(1)题含有括号，解题思路为：先去括号，再把含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，合并同类项后将未知数的系数化为1得到解；第(2)题含有分数分母，解题思路为：先找分母的最小公倍数去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作得到解。
【解析】
(1) 求解$3(x-2)=2-5(x-2)$：
第一步，去括号：$3x-6=2-5x+10$
第二步，移项：$3x+5x=2+10+6$
第三步，合并同类项：$8x=18$
第四步，系数化为1：$x=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$
(2) 求解$\dfrac{y+2}{4}-\dfrac{2y-3}{6}=1$：
第一步，去分母，4和6的最小公倍数为12，等式两边同时乘12：$3(y+2)-2(2y-3)=12$
第二步，去括号：$3y+6-4y+6=12$
第三步，移项：$3y-4y=12-6-6$
第四步，合并同类项：$-y=0$
第五步，系数化为1：$y=0$
【答案】
(1)$x=\frac{9}{4}$；(2)$y=0$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查解一元一次方程的常规步骤，解题时需注意去括号的符号变化、去分母时不要漏乘不含分母的项，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
18.本学期学习了一元一次方程的解法,下面是小明同学的第一步解题过程.
解方程:$\frac{2x - 0.3}{0.5} - \frac{x + 0.4}{0.3} = 1.$
解:原方程可化为$\frac{20x - 3}{5} - \frac{10x + 4}{3} = 1···$ 第一步
(1)小明解题的第一步变形依据是________(填“等式的性质”或“分数基本性质”).
(2)请写出完整的解题过程.
解方程:$\frac{2x - 0.3}{0.5} - \frac{x + 0.4}{0.3} = 1.$
解:原方程可化为$\frac{20x - 3}{5} - \frac{10x + 4}{3} = 1···$ 第一步
(1)小明解题的第一步变形依据是________(填“等式的性质”或“分数基本性质”).
(2)请写出完整的解题过程.
答案
18.(1)分数基本性质
(2)原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$,
去分母,可得 $3(20x-3)-5(10x+4)=15$,
去括号,可得 $60x-9-50x-20=15$,
移项,可得 $60x-50x=15+9+20$,
合并同类项,可得 $10x=44$,
系数化为 1,可得 $x=4.4$.
(2)原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$,
去分母,可得 $3(20x-3)-5(10x+4)=15$,
去括号,可得 $60x-9-50x-20=15$,
移项,可得 $60x-50x=15+9+20$,
合并同类项,可得 $10x=44$,
系数化为 1,可得 $x=4.4$.
解析
【分析】
（1）首先明确两个性质的区别：分数基本性质是分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变，变形仅针对单个分数的分子分母，不涉及等式两边的整体操作；等式的性质是对等式左右两边同时做相同运算，保证等式仍然成立。小明第一步是把两个分数的分子分母同时乘10，将小数化为整数，仅改变单个分数的分子分母形式，未对等式两边同乘，所以变形依据是分数基本性质。
（2）解该一元一次方程按标准步骤推进：第一步已经完成分数化整，接下来先去分母，两边同乘分母5和3的最小公倍数15，注意不要漏乘等号右侧的常数1；再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；之后移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；再合并同类项，最后系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1) 小明第一步仅对两个分数的分子、分母同时乘10，将小数转化为整数，该变形符合分数基本性质的应用特征，故填分数基本性质。
(2) 完整解题过程如下：
原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$，
去分母，两边同时乘15，可得 $3(20x-3)-5(10x+4)=15$，
去括号，可得 $60x-9-50x-20=15$，
移项，可得 $60x-50x=15+9+20$，
合并同类项，可得 $10x=44$，
系数化为1，两边同时除以10，可得 $x=4.4$。
【答案】
(1) 分数基本性质
(2) $x=4.4$
【知识点】
分数基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题是方程求解的基础题型，重点考察分数基本性质的应用和一元一次方程的求解步骤，解题时需要注意区分分数基本性质与等式性质的适用场景，去分母不要漏乘常数项、去括号注意符号变化，熟练掌握此类题型是求解更复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确两个性质的区别：分数基本性质是分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变，变形仅针对单个分数的分子分母，不涉及等式两边的整体操作；等式的性质是对等式左右两边同时做相同运算，保证等式仍然成立。小明第一步是把两个分数的分子分母同时乘10，将小数化为整数，仅改变单个分数的分子分母形式，未对等式两边同乘，所以变形依据是分数基本性质。
（2）解该一元一次方程按标准步骤推进：第一步已经完成分数化整，接下来先去分母，两边同乘分母5和3的最小公倍数15，注意不要漏乘等号右侧的常数1；再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；之后移项，把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；再合并同类项，最后系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1) 小明第一步仅对两个分数的分子、分母同时乘10，将小数转化为整数，该变形符合分数基本性质的应用特征，故填分数基本性质。
(2) 完整解题过程如下：
原方程可化为$\frac{20x-3}{5}-\frac{10x+4}{3}=1$，
去分母，两边同时乘15，可得 $3(20x-3)-5(10x+4)=15$，
去括号，可得 $60x-9-50x-20=15$，
移项，可得 $60x-50x=15+9+20$，
合并同类项，可得 $10x=44$，
系数化为1，两边同时除以10，可得 $x=4.4$。
【答案】
(1) 分数基本性质
(2) $x=4.4$
【知识点】
分数基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题是方程求解的基础题型，重点考察分数基本性质的应用和一元一次方程的求解步骤，解题时需要注意区分分数基本性质与等式性质的适用场景，去分母不要漏乘常数项、去括号注意符号变化，熟练掌握此类题型是求解更复杂方程的基础。
【难度系数】
0.8
