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1. 如图14.3-6，$PM ⊥ AC$于点$M$，$PN ⊥ AB$于点$N$，$PM=2$，当$PN=$
2
时，点$P$在$∠ BAC$的平分线上。答案
1. 2
解析
【分析】
要判断点P在∠BAC的平分线上，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。题目中PM是点P到AC边的距离，PN是点P到AB边的距离，因此只需让两个距离相等即可求解PN的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
已知$PM⊥AC$，$PN⊥AB$，因此PM是点P到AC的距离，PN是点P到AB的距离。
若点P在$∠BAC$的平分线上，则需满足$PN=PM$，
∵$PM=2$，
∴$PN=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的判定定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查角平分线判定定理的应用，只要准确理解并牢记定理内容，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
要判断点P在∠BAC的平分线上，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。题目中PM是点P到AC边的距离，PN是点P到AB边的距离，因此只需让两个距离相等即可求解PN的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
已知$PM⊥AC$，$PN⊥AB$，因此PM是点P到AC的距离，PN是点P到AB的距离。
若点P在$∠BAC$的平分线上，则需满足$PN=PM$，
∵$PM=2$，
∴$PN=2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的判定定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念应用题，直接考查角平分线判定定理的应用，只要准确理解并牢记定理内容，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图14.3-7，$∠ AOB=70°$，$QC ⊥ OA$于点C，$QD ⊥ OB$于点D，若$QC=QD$，则$∠ AOQ=$
35°
。答案
2. 35°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先QC⊥OA、QD⊥OB说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边的距离，又已知QC=QD，结合角平分线的判定定理可推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，即可求出∠AOQ的度数。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，
∴OQ平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，解题关键是熟练掌握角平分线的判定条件，结合图形找准点到角两边的距离，再通过角平分线的定义计算角度即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手：首先QC⊥OA、QD⊥OB说明QC、QD分别是点Q到∠AOB两边的距离，又已知QC=QD，结合角平分线的判定定理可推出OQ是∠AOB的角平分线，再根据角平分线的定义，即可求出∠AOQ的度数。
【解析】
解：
∵QC⊥OA，QD⊥OB，且QC=QD，
∴OQ平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，解题关键是熟练掌握角平分线的判定条件，结合图形找准点到角两边的距离，再通过角平分线的定义计算角度即可，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
3. 如图14.3-8，$AB// CD$，点$P$到$AB$，$AC$，$CD$的距离都相等，则$∠ P$的度数为
图14.3-6
图14.3-7
图14.3-8
90°
。图14.3-6
图14.3-7
图14.3-8
答案
3. 90°
解析
【分析】
解题时首先根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由点P到AB、AC距离相等，可得AP是∠BAC的角平分线；同理点P到AC、CD距离相等，可得CP是∠DCA的角平分线。再结合AB//CD的条件，利用平行线的同旁内角互补，可得∠BAC与∠DCA的和为180°，进而求出两个角平分线分出的两个半角之和，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠P的度数。
【解析】
∵ 点P到AB、AC的距离相等，
∴ AP平分∠BAC，即$∠ PAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，
同理，点P到AC、CD的距离相等，
∴ CP平分∠DCA，即$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ DCA$，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAC + ∠ DCA = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ PAC + ∠ PCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ DCA) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ APC$中，$∠ P + ∠ PAC + ∠ PCA = 180°$，
∴ $∠ P = 180° - (∠ PAC + ∠ PCA) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题的关键是能根据点到直线的距离相等推导得到角平分线，再结合平行线的性质和三角形内角和定理建立角度关系求解，这类题型是角平分线相关知识的常见考查形式。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由点P到AB、AC距离相等，可得AP是∠BAC的角平分线；同理点P到AC、CD距离相等，可得CP是∠DCA的角平分线。再结合AB//CD的条件，利用平行线的同旁内角互补，可得∠BAC与∠DCA的和为180°，进而求出两个角平分线分出的两个半角之和，最后利用三角形内角和定理即可计算出∠P的度数。
【解析】
∵ 点P到AB、AC的距离相等，
∴ AP平分∠BAC，即$∠ PAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，
同理，点P到AC、CD的距离相等，
∴ CP平分∠DCA，即$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ DCA$，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BAC + ∠ DCA = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ PAC + ∠ PCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ DCA) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
在$△ APC$中，$∠ P + ∠ PAC + ∠ PCA = 180°$，
∴ $∠ P = 180° - (∠ PAC + ∠ PCA) = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础综合题，解题的关键是能根据点到直线的距离相等推导得到角平分线，再结合平行线的性质和三角形内角和定理建立角度关系求解，这类题型是角平分线相关知识的常见考查形式。
【难度系数】
0.7
4. 如图14.3-9，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD与BE相交于点F，BF=CF. 求证：点F在∠BAC的平分线上.
图14.3-9
图14.3-9
答案
4. 证明：
∵CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°.
在△BDF 和 △CEF 中，$\begin{cases} ∠DFB=∠EFC, \\ ∠BDF=∠CEF, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF. 又
∵CD ⊥ AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上.
∵CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°.
在△BDF 和 △CEF 中，$\begin{cases} ∠DFB=∠EFC, \\ ∠BDF=∠CEF, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF. 又
∵CD ⊥ AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上.
解析
【分析】
要证明点F在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点F到AB、AC的距离相等，即DF=EF。观察图形可知DF、EF分别在△BDF和△CEF中，已知BF=CF，结合CD⊥AB、BE⊥AC可得∠BDF=∠CEF=90°，再加上对顶角∠DFB=∠EFC，即可用AAS判定两个三角形全等，进而推出DF=EF，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°。
在△BDF 和 △CEF 中，
$\begin{cases} ∠DFB=∠EFC, \\ ∠BDF=∠CEF, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF。
又
∵CD ⊥ AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上。
【答案】
证明：
∵CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°。
在△BDF 和 △CEF 中，$\begin{cases} ∠DFB=∠EFC, \\ ∠BDF=∠CEF, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF。
又
∵CD ⊥ AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定定理
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查角平分线判定的应用，解题关键是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明点F在∠BAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点F到AB、AC的距离相等，即DF=EF。观察图形可知DF、EF分别在△BDF和△CEF中，已知BF=CF，结合CD⊥AB、BE⊥AC可得∠BDF=∠CEF=90°，再加上对顶角∠DFB=∠EFC，即可用AAS判定两个三角形全等，进而推出DF=EF，最终证得结论。
【解析】
证明：
∵CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°。
在△BDF 和 △CEF 中，
$\begin{cases} ∠DFB=∠EFC, \\ ∠BDF=∠CEF, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF。
又
∵CD ⊥ AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上。
【答案】
证明：
∵CD ⊥ AB，BE ⊥ AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°。
在△BDF 和 △CEF 中，$\begin{cases} ∠DFB=∠EFC, \\ ∠BDF=∠CEF, \\ BF=CF, \end{cases}$
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF。
又
∵CD ⊥ AB，BE⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定定理
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查角平分线判定的应用，解题关键是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
