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【例】如图14.3-10，D，E是AC上两点，F，G是AB上两点，且$DE=FG$，$S_{△ ODE}=S_{△ OFG}$。
求证：点O在$∠ BAC$的平分线上。
【点拨】作$OP⊥ AC$于点P，$OQ⊥ AB$于点Q，根据等底等高的两个三角形面积相等，得到$OP=OQ$，根据角平分线的判定定理即可求证。本题主要考查角平分线的判定，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键。
图14.3-10
求证：点O在$∠ BAC$的平分线上。
【点拨】作$OP⊥ AC$于点P，$OQ⊥ AB$于点Q，根据等底等高的两个三角形面积相等，得到$OP=OQ$，根据角平分线的判定定理即可求证。本题主要考查角平分线的判定，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键。
图14.3-10
答案
【例】证明：作$OP⊥AC$于点P，$OQ⊥AB$于点Q，
∵$S_{△ODE}=S_{△OFG}$，DE=FG，
∴OP=OQ，又
∵OP⊥AC，OQ⊥AB
∴点O在∠BAC的平分线上.
解析
【分析】
要证明点O在∠BAC的平分线上，首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此需要先构造点O到AC、AB两边的垂线段，证明两条垂线段长度相等。已知△ODE和△OFG面积相等，且底DE=FG，结合三角形面积公式，等底等面积的三角形对应底上的高相等，即可得到两条垂线段长度相等，满足角平分线的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：过点O作$OP⊥AC$于点P，$OQ⊥AB$于点Q。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ODE}=\frac{1}{2}×DE×OP$，$S_{△OFG}=\frac{1}{2}×FG×OQ$。
∵$S_{△ODE}=S_{△OFG}$，且$DE=FG$，
∴$\frac{1}{2}×DE×OP=\frac{1}{2}×FG×OQ$，化简得$OP=OQ$。
又
∵$OP⊥AC$，$OQ⊥AB$，即点O到∠BAC的两边AC、AB的距离相等，
∴点O在∠BAC的平分线上。
【答案】
证明：作$OP⊥AC$于点P，$OQ⊥AB$于点Q，
∵$S_{△ODE}=S_{△OFG}$，DE=FG，
∴OP=OQ，又
∵OP⊥AC，OQ⊥AB
∴点O在∠BAC的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定，三角形面积计算，等底等面积三角形性质
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用类题目，解题关键是通过作辅助线构造点到角两边的垂线段，结合已知的面积、边长条件推导出垂线段长度相等，进而利用判定定理得出结论，解题时要熟练掌握角平分线的判定条件，学会根据需求构造合适的辅助线。
【难度系数】
0.8
要证明点O在∠BAC的平分线上，首先回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此需要先构造点O到AC、AB两边的垂线段，证明两条垂线段长度相等。已知△ODE和△OFG面积相等，且底DE=FG，结合三角形面积公式，等底等面积的三角形对应底上的高相等，即可得到两条垂线段长度相等，满足角平分线的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：过点O作$OP⊥AC$于点P，$OQ⊥AB$于点Q。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ODE}=\frac{1}{2}×DE×OP$，$S_{△OFG}=\frac{1}{2}×FG×OQ$。
∵$S_{△ODE}=S_{△OFG}$，且$DE=FG$，
∴$\frac{1}{2}×DE×OP=\frac{1}{2}×FG×OQ$，化简得$OP=OQ$。
又
∵$OP⊥AC$，$OQ⊥AB$，即点O到∠BAC的两边AC、AB的距离相等，
∴点O在∠BAC的平分线上。
【答案】
证明：作$OP⊥AC$于点P，$OQ⊥AB$于点Q，
∵$S_{△ODE}=S_{△OFG}$，DE=FG，
∴OP=OQ，又
∵OP⊥AC，OQ⊥AB
∴点O在∠BAC的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定，三角形面积计算，等底等面积三角形性质
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用类题目，解题关键是通过作辅助线构造点到角两边的垂线段，结合已知的面积、边长条件推导出垂线段长度相等，进而利用判定定理得出结论，解题时要熟练掌握角平分线的判定条件，学会根据需求构造合适的辅助线。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$DB ⊥ AB$，$DC ⊥ AC$，$BD=DC$，$∠ BAC=80°$，则$∠ BAD$的度数为（
A.$10°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
B
）A.$10°$
B.$40°$
C.$30°$
D.$20°$
答案
1. B
解析
【分析】
首先观察已知条件：DB⊥AB、DC⊥AC，说明BD、DC分别是点D到∠BAC两边AB、AC的距离，又已知BD=DC，结合角平分线的判定定理，可推出AD是∠BAC的角平分线；再根据角平分线的定义，可知∠BAD是∠BAC的一半，代入∠BAC的度数即可求解。
【解析】
∵ DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，
∴ 点D在∠BAC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），即AD平分∠BAC，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵ $∠ BAC=80°$，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线判定定理的应用，解题的核心是通过“垂直+距离相等”的条件判断出AD为角平分线，是角平分线章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.85
首先观察已知条件：DB⊥AB、DC⊥AC，说明BD、DC分别是点D到∠BAC两边AB、AC的距离，又已知BD=DC，结合角平分线的判定定理，可推出AD是∠BAC的角平分线；再根据角平分线的定义，可知∠BAD是∠BAC的一半，代入∠BAC的度数即可求解。
【解析】
∵ DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，
∴ 点D在∠BAC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），即AD平分∠BAC，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵ $∠ BAC=80°$，
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线判定定理的应用，解题的核心是通过“垂直+距离相等”的条件判断出AD为角平分线，是角平分线章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.85
2. 如图，$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，以点$A$为圆心，适当长为半径画弧，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$. 再分别以点$E$，$F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在$∠ BAC$的内部相交于点$P$. 画射线$AP$，与$BC$相交于点$D$，则$∠ ADC$的大小为（
A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
B
）A.$60°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先识别作图类型：题中描述的尺规作图是作角平分线的标准方法，因此可得AD是∠BAC的角平分线；接下来先利用三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CAD的度数；最后在△ADC中，利用三角形内角和即可求出∠ADC的大小。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，射线AP平分∠BAC，即AD是∠BAC的角平分线。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-40°=50°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
在$△ ADC$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-90°-25°=65°$
【答案】B
【知识点】角平分线尺规作图；三角形内角和定理；角平分线定义
【点评】本题属于基础题，解题的关键是先准确判断尺规作图得到的是角平分线，再结合三角形内角和相关知识逐步计算角度即可，易错点是误判作图结果或角度计算错误。
【难度系数】0.8
解题时首先识别作图类型：题中描述的尺规作图是作角平分线的标准方法，因此可得AD是∠BAC的角平分线；接下来先利用三角形内角和定理计算出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义得到∠CAD的度数；最后在△ADC中，利用三角形内角和即可求出∠ADC的大小。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，射线AP平分∠BAC，即AD是∠BAC的角平分线。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-40°=50°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
在$△ ADC$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$∠ ADC=180°-∠ C-∠ CAD=180°-90°-25°=65°$
【答案】B
【知识点】角平分线尺规作图；三角形内角和定理；角平分线定义
【点评】本题属于基础题，解题的关键是先准确判断尺规作图得到的是角平分线，再结合三角形内角和相关知识逐步计算角度即可，易错点是误判作图结果或角度计算错误。
【难度系数】0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$的中点，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$，$BE=CF$. 求证：$AD$是$△ ABC$的角平分线. 
答案
3. 证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△DCF是直角三角形. 在Rt△BDE 和 Rt△DCF 中，$\begin{cases} BD=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）.
∴DE=DF. 又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△DCF是直角三角形. 在Rt△BDE 和 Rt△DCF 中，$\begin{cases} BD=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）.
∴DE=DF. 又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线.
解析
【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先由D是BC中点可得BD=DC，结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可知△BDE和△DCF均为直角三角形，再结合已知BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，进而得到DE=DF，即可推出AD是角平分线。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△DCF是直角三角形。
在Rt△BDE 和 Rt△DCF 中，
$\begin{cases} BD=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）。
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线。
【答案】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△DCF是直角三角形。
在Rt△BDE 和 Rt△DCF 中，
$\begin{cases} BD=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）。
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线。
【知识点】
HL判定全等；角平分线的判定；中点的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确角平分线的判定条件，通过证明直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，进而完成证明，能够帮助学生巩固全等三角形、角平分线相关的基础定理应用。
【难度系数】
0.8
要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。首先由D是BC中点可得BD=DC，结合DE⊥AB、DF⊥AC的条件，可知△BDE和△DCF均为直角三角形，再结合已知BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，进而得到DE=DF，即可推出AD是角平分线。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△DCF是直角三角形。
在Rt△BDE 和 Rt△DCF 中，
$\begin{cases} BD=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）。
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线。
【答案】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△DCF是直角三角形。
在Rt△BDE 和 Rt△DCF 中，
$\begin{cases} BD=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）。
∴DE=DF。
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线。
【知识点】
HL判定全等；角平分线的判定；中点的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确角平分线的判定条件，通过证明直角三角形全等得到点到角两边的距离相等，进而完成证明，能够帮助学生巩固全等三角形、角平分线相关的基础定理应用。
【难度系数】
0.8
