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4. 如图，在△ABC中，∠C=36°，∠ABC=110°，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=DF. 求∠ADB的度数.
答案
4. 解：
∵∠C=36°，∠ABC=110°，
∴∠BAC=180°-36°-110°=34°.
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=17°.
∴∠ADB=180°-110°-17°=53°.
∵∠C=36°，∠ABC=110°，
∴∠BAC=180°-36°-110°=34°.
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=17°.
∴∠ADB=180°-110°-17°=53°.
解析
【分析】
要计算∠ADB的度数，可结合三角形内角和定理分析：首先△ABD中已知∠ABC=110°，只需求出∠BAD的度数即可解题。第一步先在△ABC中，利用三角形内角和为180°，算出∠BAC的度数；第二步根据DE⊥AB、DF⊥AC且DE=DF，由角平分线的判定定理可得AD平分∠BAC，进而求出∠BAD的度数；最后在△ABD中再次运用三角形内角和定理，即可算出∠ADB的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∵∠C=36°，∠ABC=110°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-36°-110°=34°。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×34°=17°。
在△ABD中，由三角形内角和为180°可得：
∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-110°-17°=53°。
【答案】
53°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关知识的基础应用题型，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理，结合三角形内角和定理逐步推导角度，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠ADB的度数，可结合三角形内角和定理分析：首先△ABD中已知∠ABC=110°，只需求出∠BAD的度数即可解题。第一步先在△ABC中，利用三角形内角和为180°，算出∠BAC的度数；第二步根据DE⊥AB、DF⊥AC且DE=DF，由角平分线的判定定理可得AD平分∠BAC，进而求出∠BAD的度数；最后在△ABD中再次运用三角形内角和定理，即可算出∠ADB的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
∵∠C=36°，∠ABC=110°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-36°-110°=34°。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×34°=17°。
在△ABD中，由三角形内角和为180°可得：
∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=180°-110°-17°=53°。
【答案】
53°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关知识的基础应用题型，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理，结合三角形内角和定理逐步推导角度，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，点D在BC边上，$∠ BAD=100°$，$∠ ABC$的平分线交AC于点E，过点E作$EF⊥ AB$，垂足为F，且$∠ AEF=50°$，连接DE.
（1）求证：AE平分$∠ FAD$.
（2）求证：DE平分$∠ ADC$.
（3）若$AB=7$，$AD=4$，$CD=8$，$S_{△ ACD}=15$，求$△ ABE$的面积.
（1）求证：AE平分$∠ FAD$.
（2）求证：DE平分$∠ ADC$.
（3）若$AB=7$，$AD=4$，$CD=8$，$S_{△ ACD}=15$，求$△ ABE$的面积.
答案
5. （1）证明：
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°.
∵∠AEF=50°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°，
∴∠DAE=180°-100°-40°=40°=∠EAF，
∴AE平分∠FAD.
（2）证明：过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥BC于点N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF=EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE=EM，
∴EM=EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC.
（3）解：
∵$S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}$，
∴$\frac{1}{2}AD·EM+\frac{1}{2}CD·EN=15$，
∴$\frac{1}{2}(AD+CD)·EM=15$，
∴$\frac{1}{2}×(4+8)×EM=15$，
∴$EM=\frac{5}{2}$，
∴$EF=\frac{5}{2}$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$.
解析
【分析】
（1）要证明AE平分∠FAD，只需证∠EAF=∠EAD：先根据直角三角形两锐角互余，由EF⊥AB、∠AEF=50°求出∠EAF的度数，再结合∠BAD=100°，利用平角定义求出∠EAD的度数，对比两个角度数即可得证。
（2）要证明DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证点E到AD、CD的距离相等：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，先利用BE是∠ABC的平分线，由角平分线性质得EF=EN；再结合（1）的结论，由AE是∠FAD的平分线得EF=EM，等量代换得EM=EN，即可得证。
（3）要求△ABE的面积，已知AB的长，只需先求AB边上的高EF：将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，结合EM=EN，代入已知边长和△ACD的面积可算出EM的长度，再由角平分线性质得EF=EM，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°.
∵∠AEF=50°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°，
∴∠DAE=180°-100°-40°=40°=∠EAF，
∴AE平分∠FAD.
（2）证明：过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥BC于点N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF=EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE=EM，
∴EM=EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC.
（3）解：
∵$S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}$，
∴$\frac{1}{2}AD·EM+\frac{1}{2}CD·EN=15$，
又
∵EM=EN，
∴$\frac{1}{2}(AD+CD)·EM=15$，
代入AD=4，CD=8得：
$\frac{1}{2}×(4+8)×EM=15$，
解得$EM=\frac{5}{2}$，
由角平分线的性质得$EF=EM=\frac{5}{2}$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$.
【答案】
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理的应用与三角形面积的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定，通过作辅助线构造相等的垂线段，建立量之间的等量关系求解，能有效考查逻辑推理能力和基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明AE平分∠FAD，只需证∠EAF=∠EAD：先根据直角三角形两锐角互余，由EF⊥AB、∠AEF=50°求出∠EAF的度数，再结合∠BAD=100°，利用平角定义求出∠EAD的度数，对比两个角度数即可得证。
（2）要证明DE平分∠ADC，根据角平分线的判定定理，只需证点E到AD、CD的距离相等：过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，先利用BE是∠ABC的平分线，由角平分线性质得EF=EN；再结合（1）的结论，由AE是∠FAD的平分线得EF=EM，等量代换得EM=EN，即可得证。
（3）要求△ABE的面积，已知AB的长，只需先求AB边上的高EF：将△ACD的面积拆分为△ADE和△CDE的面积和，结合EM=EN，代入已知边长和△ACD的面积可算出EM的长度，再由角平分线性质得EF=EM，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°.
∵∠AEF=50°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.
∵∠BAD=100°，
∴∠DAE=180°-100°-40°=40°=∠EAF，
∴AE平分∠FAD.
（2）证明：过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥BC于点N，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF=EN，
∵AE平分∠DAF，EF⊥AB，
∴FE=EM，
∴EM=EN，
∵EM⊥AD，EN⊥CD，
∴DE平分∠ADC.
（3）解：
∵$S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△CDE}$，
∴$\frac{1}{2}AD·EM+\frac{1}{2}CD·EN=15$，
又
∵EM=EN，
∴$\frac{1}{2}(AD+CD)·EM=15$，
代入AD=4，CD=8得：
$\frac{1}{2}×(4+8)×EM=15$，
解得$EM=\frac{5}{2}$，
由角平分线的性质得$EF=EM=\frac{5}{2}$，
∴$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF=\frac{1}{2}×7×\frac{5}{2}=\frac{35}{4}$.
【答案】
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查角平分线相关定理的应用与三角形面积的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定，通过作辅助线构造相等的垂线段，建立量之间的等量关系求解，能有效考查逻辑推理能力和基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.65
