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3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点$E$，点$F$在$AC$上，$BD=DF$. 求证：
(1) $CF=EB$.
(2) $AF+EB=AE$.
(1) $CF=EB$.
(2) $AF+EB=AE$.
答案
3. 证明：（1）
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中，$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB.
（2）在Rt△DCA和Rt△DEA中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△DCA ≌ Rt△DEA（HL），
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中，$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF=EB.
（2）在Rt△DCA和Rt△DEA中，$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴Rt△DCA ≌ Rt△DEA（HL），
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
解析
【分析】
本题为几何证明类题目，解题思路如下：
(1) 要证$CF=EB$，观察两条线段分别属于$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$，已知$BD=DF$，仅需再证明一组直角边相等即可。结合$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C=90°$、$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质可直接得到$DC=DE$，即可用HL判定两个直角三角形全等，进而得到对应边$CF=EB$。
(2) 要证$AF+EB=AE$，首先可证明$Rt△ DCA$和$Rt△ DEA$全等，得到$AC=AE$；再将$AC$拆分为$AF+CF$，结合第(1)问得出的$CF=EB$做等量替换，即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$∠ C=90°$，
$\therefore DC=DE$。
在$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ DCF≌ Rt△ DEB$（HL），
$\therefore CF=EB$。
(2) 证明：
在$Rt△ DCA$和$Rt△ DEA$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DC=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ DCA ≌ Rt△ DEA$（HL），
$\therefore AC=AE$，
$\because AC=AF+FC$，且由(1)得$CF=EB$，
$\therefore AF+EB=AE$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，可得$CF=EB$；
(2) 证明见上述解析，可得$AF+EB=AE$。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过证明直角三角形全等实现线段的等量转化，需要熟练掌握HL判定定理的适用条件，以及线段和差的代换方法。
【难度系数】
0.8
本题为几何证明类题目，解题思路如下：
(1) 要证$CF=EB$，观察两条线段分别属于$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$，已知$BD=DF$，仅需再证明一组直角边相等即可。结合$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C=90°$、$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质可直接得到$DC=DE$，即可用HL判定两个直角三角形全等，进而得到对应边$CF=EB$。
(2) 要证$AF+EB=AE$，首先可证明$Rt△ DCA$和$Rt△ DEA$全等，得到$AC=AE$；再将$AC$拆分为$AF+CF$，结合第(1)问得出的$CF=EB$做等量替换，即可推导出待证结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$，$∠ C=90°$，
$\therefore DC=DE$。
在$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ DCF≌ Rt△ DEB$（HL），
$\therefore CF=EB$。
(2) 证明：
在$Rt△ DCA$和$Rt△ DEA$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DC=DE \end{cases}$
$\therefore Rt△ DCA ≌ Rt△ DEA$（HL），
$\therefore AC=AE$，
$\because AC=AF+FC$，且由(1)得$CF=EB$，
$\therefore AF+EB=AE$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，可得$CF=EB$；
(2) 证明见上述解析，可得$AF+EB=AE$。
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过证明直角三角形全等实现线段的等量转化，需要熟练掌握HL判定定理的适用条件，以及线段和差的代换方法。
【难度系数】
0.8
4. 如图，O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，OD=3，若△ABC的周长是24，求△ABC的面积.
答案
4. 解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD=OE=OF=3.
∵△ABC的周长是24，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OBC}+S_{△ OAC}+S_{△ OAB}=\frac{1}{2}OD· BC+\frac{1}{2}OE· AC+\frac{1}{2}OF· AB=\frac{1}{2}OD· (BC+AC+AB)=\frac{1}{2}×3×24=36$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：O是△ABC两条角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过O向AB、AC作垂线，得到的垂线段长度都和已知的OD相等。要求△ABC的面积，可采用分割法，将其拆分为三个以O为公共顶点的小三角形的面积和，三个小三角形的高均为OD的长度，底的和刚好是△ABC的周长，代入公式即可求出总面积。
【解析】
过点O作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴OF=OD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理，OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OE=OD=3，
即OD=OE=OF=3。
已知△ABC的周长为24，即AB+BC+AC=24，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OE$
$=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)$
$=\frac{1}{2}×3×24=36$。
【答案】
36
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相等，通过分割图形将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，结合整体代入周长的方法简化计算，渗透了转化与整体的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发：O是△ABC两条角平分线的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过O向AB、AC作垂线，得到的垂线段长度都和已知的OD相等。要求△ABC的面积，可采用分割法，将其拆分为三个以O为公共顶点的小三角形的面积和，三个小三角形的高均为OD的长度，底的和刚好是△ABC的周长，代入公式即可求出总面积。
【解析】
过点O作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，连接OA。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴OF=OD=3（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理，OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴OE=OD=3，
即OD=OE=OF=3。
已知△ABC的周长为24，即AB+BC+AC=24，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}AB· OF+\frac{1}{2}BC· OD+\frac{1}{2}AC· OE$
$=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)$
$=\frac{1}{2}×3×24=36$。
【答案】
36
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相等，通过分割图形将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和，结合整体代入周长的方法简化计算，渗透了转化与整体的数学思想。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$DG ⊥ AC$于点$G$，点$G$为$AC$的中点，$DE ⊥ BA$于点$E$，$DF ⊥ BC$于点$F$. 求证：$AE=CF$.
答案
5. 证明：如图，连接AD，CD，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF.
∵DG⊥AC，点G为AC的中点，
∴AG=CG，∠AGD=∠CGD=90°，
∴在△AGD和△CGD中，$\begin{cases} AG=CG, \\ ∠AGD=∠CGD=90°, \\ DG=DG, \end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AD=CD. 在Rt△ADE和Rt△CDF中，$\begin{cases} AD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF。
解析
【分析】
要证明AE=CF，可先观察两条线段所属的三角形：AE在Rt△ADE中，CF在Rt△CDF中，因此可通过证明两个直角三角形全等来推导结论。要证Rt△ADE≌Rt△CDF，需得到两组对应边相等：首先由BD是∠ABC的平分线，DE⊥BA、DF⊥BC，根据角平分线的性质可直接得到直角边DE=DF；接下来需要斜边AD=CD，已知DG⊥AC且G是AC中点，可通过证明△AGD≌△CGD得到AD=CD，因此只需先连接AD、CD，逐步推导即可。
【解析】
证明：连接AD，CD，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DG⊥AC，点G为AC的中点，
∴AG=CG，∠AGD=∠CGD=90°。
在△AGD和△CGD中：
$\begin{cases} AG=CG \\ ∠AGD=∠CGD=90° \\ DG=DG \end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AD=CD。
在Rt△ADE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} AD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF。
【答案】
5. 证明：如图，连接AD，CD，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF.
∵DG⊥AC，点G为AC的中点，
∴AG=CG，∠AGD=∠CGD=90°，
∴在△AGD和△CGD中，$\begin{cases} AG=CG, \\ ∠AGD=∠CGD=90°, \\ DG=DG, \end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AD=CD. 在Rt△ADE和Rt△CDF中，$\begin{cases} AD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查基础几何定理的应用能力和辅助线构造思路，解题的关键是通过连接AD、CD构造出全等三角形，结合角平分线、全等三角形的相关性质即可完成推导，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
要证明AE=CF，可先观察两条线段所属的三角形：AE在Rt△ADE中，CF在Rt△CDF中，因此可通过证明两个直角三角形全等来推导结论。要证Rt△ADE≌Rt△CDF，需得到两组对应边相等：首先由BD是∠ABC的平分线，DE⊥BA、DF⊥BC，根据角平分线的性质可直接得到直角边DE=DF；接下来需要斜边AD=CD，已知DG⊥AC且G是AC中点，可通过证明△AGD≌△CGD得到AD=CD，因此只需先连接AD、CD，逐步推导即可。
【解析】
证明：连接AD，CD，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵DG⊥AC，点G为AC的中点，
∴AG=CG，∠AGD=∠CGD=90°。
在△AGD和△CGD中：
$\begin{cases} AG=CG \\ ∠AGD=∠CGD=90° \\ DG=DG \end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AD=CD。
在Rt△ADE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} AD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF。
【答案】
5. 证明：如图，连接AD，CD，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF.
∵DG⊥AC，点G为AC的中点，
∴AG=CG，∠AGD=∠CGD=90°，
∴在△AGD和△CGD中，$\begin{cases} AG=CG, \\ ∠AGD=∠CGD=90°, \\ DG=DG, \end{cases}$
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AD=CD. 在Rt△ADE和Rt△CDF中，$\begin{cases} AD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴AE=CF。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查基础几何定理的应用能力和辅助线构造思路，解题的关键是通过连接AD、CD构造出全等三角形，结合角平分线、全等三角形的相关性质即可完成推导，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
6. (2025·资阳) 如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM=BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE//BC交BA于点E. 若∠BDE=30°，则∠AED的度数是（
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
C
）A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题中的作图步骤是作∠ABC的角平分线，因此可得BD平分∠ABC；接下来结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等可求出∠DBC的度数，进而得到∠ABC的度数；最后再利用平行线的同位角相等，即可求出∠AED的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，BD是∠ABC的角平分线，因此$∠ ABD = ∠ DBC$。
2. 已知$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DBC = ∠ BDE = 30°$。
3. 因此$∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = 30° + 30° = 60°$。
4. 又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ AED = ∠ ABC = 60°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线尺规作图
2. 平行线的性质
3. 角度计算
【点评】
本题属于基础题，将尺规作图的识别与平行线的性质结合考查，解题的关键是先判断出BD为∠ABC的角平分线，再结合平行线的角的关系逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别尺规作图的类型：题中的作图步骤是作∠ABC的角平分线，因此可得BD平分∠ABC；接下来结合DE//BC的条件，利用平行线的内错角相等可求出∠DBC的度数，进而得到∠ABC的度数；最后再利用平行线的同位角相等，即可求出∠AED的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，BD是∠ABC的角平分线，因此$∠ ABD = ∠ DBC$。
2. 已知$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DBC = ∠ BDE = 30°$。
3. 因此$∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = 30° + 30° = 60°$。
4. 又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ AED = ∠ ABC = 60°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线尺规作图
2. 平行线的性质
3. 角度计算
【点评】
本题属于基础题，将尺规作图的识别与平行线的性质结合考查，解题的关键是先判断出BD为∠ABC的角平分线，再结合平行线的角的关系逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
