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【知识点1】等腰三角形的判定
○有两个
○有两个
角
相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边
”）。答案
有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。
解析
【分析】
本题考查等腰三角形判定定理的基础记忆，解题思路如下：首先明确题目考查的是等腰三角形的判定方法，除了“两边相等的三角形是等腰三角形”的定义判定外，另一个常用判定是从角的特征出发的定理，回忆课本中该定理的表述和简写内容，直接对应填空即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该定理简写成“等角对等边”，因此两个空缺处依次填入对应的内容即可。
【答案】
角；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对教材核心定理的掌握程度，该定理是后续解决等腰三角形相关证明、计算问题的基础，需熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形判定定理的基础记忆，解题思路如下：首先明确题目考查的是等腰三角形的判定方法，除了“两边相等的三角形是等腰三角形”的定义判定外，另一个常用判定是从角的特征出发的定理，回忆课本中该定理的表述和简写内容，直接对应填空即可。
【解析】
根据等腰三角形的判定定理内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形，该定理简写成“等角对等边”，因此两个空缺处依次填入对应的内容即可。
【答案】
角；等角对等边
【知识点】
等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对教材核心定理的掌握程度，该定理是后续解决等腰三角形相关证明、计算问题的基础，需熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
1. 如图15.3-3，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，$AB=3$，则$AC$的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. B
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：△ABC中∠B=∠C，AB长为3，求AC的长。首先回忆等腰三角形的判定规则“等角对等边”，即三角形中两个角相等时，它们所对的边也相等。接下来确定两个等角的对应边：∠B对应的边是AC，∠C对应的边是AB，由此可推出AC和AB长度相等，代入AB的数值即可得到AC的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C，根据“等角对等边”的判定定理，可得AC=AB，
又已知AB=3，
∴AC=3，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对等腰三角形判定定理的理解与简单应用，只要准确对应相等的角和其所对的边，即可快速求解，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先梳理已知条件：△ABC中∠B=∠C，AB长为3，求AC的长。首先回忆等腰三角形的判定规则“等角对等边”，即三角形中两个角相等时，它们所对的边也相等。接下来确定两个等角的对应边：∠B对应的边是AC，∠C对应的边是AB，由此可推出AC和AB长度相等，代入AB的数值即可得到AC的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠B=∠C，根据“等角对等边”的判定定理，可得AC=AB，
又已知AB=3，
∴AC=3，因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对等腰三角形判定定理的理解与简单应用，只要准确对应相等的角和其所对的边，即可快速求解，出错概率较低。
【难度系数】
0.9
2. 下列能断定$△ ABC$为等腰三角形的是（
A.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
B.$AB=AC=2$，$BC=4$
C.$∠ A=50°$，$∠ B=80°$
D.$AB=3$，$BC=7$，周长为13
图15.3-3
C
）A.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
B.$AB=AC=2$，$BC=4$
C.$∠ A=50°$，$∠ B=80°$
D.$AB=3$，$BC=7$，周长为13
图15.3-3
答案
2. C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定条件：有两个角相等的三角形是等腰三角形，或者有两条边相等的三角形是等腰三角形。解题时需逐个分析选项，涉及角的计算时用三角形内角和为180°求第三个角，判断是否有等角；涉及边的条件时先验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），确认能构成三角形后再判断是否有等边。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：已知∠A=30°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-30°-60°=90°，三个角均不相等，不是等腰三角形，该选项错误。
选项B：AB=AC=2，BC=4，此时AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该选项错误。
选项C：已知∠A=50°，∠B=80°，则∠C=180°-50°-80°=50°，可得∠A=∠C，根据等角对等边，可知△ABC是等腰三角形，该选项正确。
选项D：AB=3，BC=7，周长为13，则AC=13-3-7=3，此时三边为3、3、7，3+3=6＜7，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置考点，易错点是部分同学会忽略三角形三边关系，直接根据边的数值相等误选B或D，解题时要养成先验证三角形是否成立的习惯。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为等腰三角形，核心依据是等腰三角形的判定条件：有两个角相等的三角形是等腰三角形，或者有两条边相等的三角形是等腰三角形。解题时需逐个分析选项，涉及角的计算时用三角形内角和为180°求第三个角，判断是否有等角；涉及边的条件时先验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），确认能构成三角形后再判断是否有等边。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：已知∠A=30°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-30°-60°=90°，三个角均不相等，不是等腰三角形，该选项错误。
选项B：AB=AC=2，BC=4，此时AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该选项错误。
选项C：已知∠A=50°，∠B=80°，则∠C=180°-50°-80°=50°，可得∠A=∠C，根据等角对等边，可知△ABC是等腰三角形，该选项正确。
选项D：AB=3，BC=7，周长为13，则AC=13-3-7=3，此时三边为3、3、7，3+3=6＜7，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置考点，易错点是部分同学会忽略三角形三边关系，直接根据边的数值相等误选B或D，解题时要养成先验证三角形是否成立的习惯。
【难度系数】
0.7
3. 如图15.3-4，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，则图中等腰三角形共有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
3. D
解析
【分析】
要判断图中等腰三角形的个数，我们可以按照“先确定已知等腰三角形，再通过角度推导验证其余三角形是否符合等腰三角形判定”的思路解题：①首先根据题干给出的AB=AC，先确定△ABC是等腰三角形，计算出它的底角度数；②再利用角平分线的定义得到相等的角，结合三角形内角和、外角性质分别计算△ACD和△BCD的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，即可确定这两个三角形是否为等腰三角形。
【解析】
解：1. 判定△ABC为等腰三角形：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠A=36°，三角形内角和为180°，
∴∠B=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°。
2. 判定△ACD为等腰三角形：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB÷2=36°，
在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形。
3. 判定△BCD为等腰三角形：
在△BCD中，∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=36°+36°=72°，
∴∠CDB=∠B=72°，
∴CD=CB，即△BCD是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有△ABC、△ACD、△BCD，共3个。
【答案】D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题，解题核心是通过角度计算找到相等的内角，利用“等角对等边”判定等腰三角形，解题时要逐一验证每个三角形的内角度数，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要判断图中等腰三角形的个数，我们可以按照“先确定已知等腰三角形，再通过角度推导验证其余三角形是否符合等腰三角形判定”的思路解题：①首先根据题干给出的AB=AC，先确定△ABC是等腰三角形，计算出它的底角度数；②再利用角平分线的定义得到相等的角，结合三角形内角和、外角性质分别计算△ACD和△BCD的内角度数，判断是否存在两个相等的内角，即可确定这两个三角形是否为等腰三角形。
【解析】
解：1. 判定△ABC为等腰三角形：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠A=36°，三角形内角和为180°，
∴∠B=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°。
2. 判定△ACD为等腰三角形：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB÷2=36°，
在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形。
3. 判定△BCD为等腰三角形：
在△BCD中，∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=36°+36°=72°，
∴∠CDB=∠B=72°，
∴CD=CB，即△BCD是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有△ABC、△ACD、△BCD，共3个。
【答案】D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础题，解题核心是通过角度计算找到相等的内角，利用“等角对等边”判定等腰三角形，解题时要逐一验证每个三角形的内角度数，避免漏判。
【难度系数】
0.7
如图15.3-5，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，用尺规作图的方法作出了直线$EF$和射线$AD$。若$△ AED$的周长为15，且$AD=6$，则$△ ABC$的面积为（
A.54
B.65
C.80
D.90
图15.3-5
A
）A.54
B.65
C.80
D.90
图15.3-5
答案
解：
由$∠ B=∠ C$可知$△ ABC$是等腰三角形，结合尺规作图痕迹可得：直线$EF$是线段$AB$的垂直平分线，射线$AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$的垂直平分线，因此$AE=BE$，$AD⊥ BC$，且$BD=CD$。
已知$△ AED$的周长为15，即：
$AE + ED + AD = 15$
代入$AE=BE$，得：
$BE + ED + AD = BD + AD = 15$
又$AD=6$，因此：
$BD = 15 - 6 = 9$
$△ ABC$的面积可由等腰三角形性质计算：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 2BD × AD = BD × AD = 9 × 6 = 54$
答案：$\boldsymbol{A}$
由$∠ B=∠ C$可知$△ ABC$是等腰三角形，结合尺规作图痕迹可得：直线$EF$是线段$AB$的垂直平分线，射线$AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$的垂直平分线，因此$AE=BE$，$AD⊥ BC$，且$BD=CD$。
已知$△ AED$的周长为15，即：
$AE + ED + AD = 15$
代入$AE=BE$，得：
$BE + ED + AD = BD + AD = 15$
又$AD=6$，因此：
$BD = 15 - 6 = 9$
$△ ABC$的面积可由等腰三角形性质计算：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 2BD × AD = BD × AD = 9 × 6 = 54$
答案：$\boldsymbol{A}$
解析
【分析】
首先根据∠B=∠C可判定△ABC是等腰三角形，再结合尺规作图痕迹判断：EF是AB的垂直平分线，AD是BC的垂直平分线；接下来利用线段垂直平分线的性质可得AE=BE，且AD⊥BC、BD=CD；再将△AED的周长进行等量转化，求出BD的长度，最后利用等腰三角形的面积公式计算△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形。
由尺规作图痕迹可知：直线EF是线段AB的垂直平分线，射线AD是等腰△ABC底边BC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得：AE=BE，AD⊥BC，BD=CD。
已知△AED的周长为15，即$AE + ED + AD = 15$，
将AE替换为BE，可得：$BE + ED + AD = BD + AD = 15$，
∵$AD=6$，
∴$BD=15-6=9$，
∴$BC=2BD=18$，
则△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×18×6=54$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是通过线段等量代换将△AED的周长转化为BD与AD的和，进而求出等腰三角形的底边长，这类题型是几何基础综合题的常见考法。
【难度系数】
0.7
首先根据∠B=∠C可判定△ABC是等腰三角形，再结合尺规作图痕迹判断：EF是AB的垂直平分线，AD是BC的垂直平分线；接下来利用线段垂直平分线的性质可得AE=BE，且AD⊥BC、BD=CD；再将△AED的周长进行等量转化，求出BD的长度，最后利用等腰三角形的面积公式计算△ABC的面积即可。
【解析】
解：
∵∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形。
由尺规作图痕迹可知：直线EF是线段AB的垂直平分线，射线AD是等腰△ABC底边BC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得：AE=BE，AD⊥BC，BD=CD。
已知△AED的周长为15，即$AE + ED + AD = 15$，
将AE替换为BE，可得：$BE + ED + AD = BD + AD = 15$，
∵$AD=6$，
∴$BD=15-6=9$，
∴$BC=2BD=18$，
则△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×18×6=54$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是通过线段等量代换将△AED的周长转化为BD与AD的和，进而求出等腰三角形的底边长，这类题型是几何基础综合题的常见考法。
【难度系数】
0.7
【例1】如图15.3-6，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以点C为圆心，CB长为半径画弧①；
步骤2：以点A为圆心，AB长为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E.
下列叙述正确的是（
A.$BC$平分$∠ ABD$
B.$AB=BD$
C.$AE=BD$
D.$BE=DE$
【点拨】连接$AD$，$CD$，根据尺规作图得$AE$为线段$BD$的垂直平分线，即可得出$BE=DE$.
步骤1：以点C为圆心，CB长为半径画弧①；
步骤2：以点A为圆心，AB长为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E.
下列叙述正确的是（
D
）A.$BC$平分$∠ ABD$
B.$AB=BD$
C.$AE=BD$
D.$BE=DE$
【点拨】连接$AD$，$CD$，根据尺规作图得$AE$为线段$BD$的垂直平分线，即可得出$BE=DE$.
答案
【例1】 D
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，先找出对应的相等线段：由步骤1可知CB=CD，由步骤2可知AB=AD。回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此点A、点C都在BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此直线AC就是BD的垂直平分线。再根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，E在AC上，即可得到BE=DE，最后逐一判断其他选项是否成立即可。
【解析】
连接AD、CD，由尺规作图的步骤可得：
$AB=AD$，$CB=CD$，
根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、点C均在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∵点E在AC（即AE）上，
∴根据垂直平分线的性质，得$BE=DE$，故D选项正确。
其余选项分析：
A选项：无已知条件可证明$∠ABC=∠CBD$，故BC不一定平分$∠ABD$，A错误；
B选项：由作图得$AB=AD$，无法推出$AB=BD$，B错误；
C选项：无相关条件可证明AE与BD长度相等，C错误。
【答案】
D
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定
2.线段垂直平分线的性质
3.尺规作图的认识
【点评】
本题将尺规作图与线段垂直平分线的知识结合考查，解题的核心是从作图步骤中提取相等线段，进而推导出直线AC是BD的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质判断结论，同时要注意没有明确给出的相等角、相等线段不能默认成立。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的尺规作图步骤，先找出对应的相等线段：由步骤1可知CB=CD，由步骤2可知AB=AD。回忆线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此点A、点C都在BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此直线AC就是BD的垂直平分线。再根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，E在AC上，即可得到BE=DE，最后逐一判断其他选项是否成立即可。
【解析】
连接AD、CD，由尺规作图的步骤可得：
$AB=AD$，$CB=CD$，
根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点A、点C均在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∵点E在AC（即AE）上，
∴根据垂直平分线的性质，得$BE=DE$，故D选项正确。
其余选项分析：
A选项：无已知条件可证明$∠ABC=∠CBD$，故BC不一定平分$∠ABD$，A错误；
B选项：由作图得$AB=AD$，无法推出$AB=BD$，B错误；
C选项：无相关条件可证明AE与BD长度相等，C错误。
【答案】
D
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定
2.线段垂直平分线的性质
3.尺规作图的认识
【点评】
本题将尺规作图与线段垂直平分线的知识结合考查，解题的核心是从作图步骤中提取相等线段，进而推导出直线AC是BD的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质判断结论，同时要注意没有明确给出的相等角、相等线段不能默认成立。
【难度系数】
0.7
