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【例2】如图15.3-7，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$O$，过点$O$作$EF// BC$分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$.当$EF=5$，$BE=2$时，求$CF$的长.
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质的综合应用，结合角平分线和平行线得到$BE=EO$，$CF=OF$是解决问题的关键.
图15.3-7
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定和性质的综合应用，结合角平分线和平行线得到$BE=EO$，$CF=OF$是解决问题的关键.
图15.3-7
答案
解：
∵BO 平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE. 同理可证 CF=OF，
∴EF=BE+CF.
∵EF=5，BE=2，
∴CF=EF-BE=3.
∵BO 平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE. 同理可证 CF=OF，
∴EF=BE+CF.
∵EF=5，BE=2，
∴CF=EF-BE=3.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理推导逻辑：首先题目给出了角平分线和平行线两个核心条件，我们可以先利用角平分线的定义得到一组等角，再结合平行线的内错角相等性质进行角的等量代换，根据“等角对等边”推导出等腰三角形，实现线段的等量转化。具体步骤为：先证BE=OE，同理证CF=OF，可得EF=BE+CF，最后代入已知数值即可求出CF的长度。
【解析】
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE.
同理可证 CF=OF，
∴EF=EO+OF=BE+CF.
∵EF=5，BE=2，
∴CF=EF-BE=5-2=3.
【答案】
CF的长为3
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型基础题，核心是掌握“角平分线+平行线”的组合模型，该模型可快速构造出等腰三角形实现线段的等量转化，是几何推导中常用的技巧。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件梳理推导逻辑：首先题目给出了角平分线和平行线两个核心条件，我们可以先利用角平分线的定义得到一组等角，再结合平行线的内错角相等性质进行角的等量代换，根据“等角对等边”推导出等腰三角形，实现线段的等量转化。具体步骤为：先证BE=OE，同理证CF=OF，可得EF=BE+CF，最后代入已知数值即可求出CF的长度。
【解析】
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO.
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE.
同理可证 CF=OF，
∴EF=EO+OF=BE+CF.
∵EF=5，BE=2，
∴CF=EF-BE=5-2=3.
【答案】
CF的长为3
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型基础题，核心是掌握“角平分线+平行线”的组合模型，该模型可快速构造出等腰三角形实现线段的等量转化，是几何推导中常用的技巧。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$△ ABC$中，点D在边AB上，连接CD，且$AB=10$，$BC=8$，$∠ A=∠ ACD$，则$△ BCD$的周长是（
A.18
B.20
C.26
D.28
A
）A.18
B.20
C.26
D.28
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先观察已知条件∠A=∠ACD，根据等腰三角形“等角对等边”的判定性质，可得到AD=CD。接下来求△BCD的周长，它的周长由BC、BD、CD三条边组成，我们可以把CD替换成和它相等的AD，此时BD+AD刚好是AB的长度，这样就可以把△BCD的周长转化为已知的AB和BC的长度之和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵∠A=∠ACD，
∴AD=CD（等角对等边），
△BCD的周长为：$C_{△BCD}=BC + BD + CD$，
将CD替换为AD，可得：
$C_{△BCD}=BC + BD + AD = BC + AB$，
已知$AB=10$，$BC=8$，
∴$C_{△BCD}=10+8=18$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题解题的核心是利用等角对等边实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，属于基础题型，侧重考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件∠A=∠ACD，根据等腰三角形“等角对等边”的判定性质，可得到AD=CD。接下来求△BCD的周长，它的周长由BC、BD、CD三条边组成，我们可以把CD替换成和它相等的AD，此时BD+AD刚好是AB的长度，这样就可以把△BCD的周长转化为已知的AB和BC的长度之和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵∠A=∠ACD，
∴AD=CD（等角对等边），
△BCD的周长为：$C_{△BCD}=BC + BD + CD$，
将CD替换为AD，可得：
$C_{△BCD}=BC + BD + AD = BC + AB$，
已知$AB=10$，$BC=8$，
∴$C_{△BCD}=10+8=18$，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题解题的核心是利用等角对等边实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，属于基础题型，侧重考查对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件能判断$△ ABC$为等腰三角形的是（
A.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
B.$∠ A=40°$，$∠ B=80°$
C.$∠ A=50°$，$∠ B=65°$
D.$∠ A=60°$，$∠ B=70°$
C
）A.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
B.$∠ A=40°$，$∠ B=80°$
C.$∠ A=50°$，$∠ B=65°$
D.$∠ A=60°$，$∠ B=70°$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，依据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。我们可结合三角形内角和为180°的性质，先计算出每个选项中∠C的度数，再检查三个内角中是否存在两个相等的角，即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B，逐个分析选项：
A选项：∠C = 180° - 30° - 60° = 90°，三个内角度数为30°、60°、90°，无相等的角，不是等腰三角形；
B选项：∠C = 180° - 40° - 80° = 60°，三个内角度数为40°、60°、80°，无相等的角，不是等腰三角形；
C选项：∠C = 180° - 50° - 65° = 65°，此时∠B = ∠C = 65°，有两个相等的角，是等腰三角形；
D选项：∠C = 180° - 60° - 70° = 50°，三个内角度数为50°、60°、70°，无相等的角，不是等腰三角形。
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的判定方法，结合三角形内角和定理计算角度即可解答，解题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC是否为等腰三角形，依据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。我们可结合三角形内角和为180°的性质，先计算出每个选项中∠C的度数，再检查三个内角中是否存在两个相等的角，即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B，逐个分析选项：
A选项：∠C = 180° - 30° - 60° = 90°，三个内角度数为30°、60°、90°，无相等的角，不是等腰三角形；
B选项：∠C = 180° - 40° - 80° = 60°，三个内角度数为40°、60°、80°，无相等的角，不是等腰三角形；
C选项：∠C = 180° - 50° - 65° = 65°，此时∠B = ∠C = 65°，有两个相等的角，是等腰三角形；
D选项：∠C = 180° - 60° - 70° = 50°，三个内角度数为50°、60°、70°，无相等的角，不是等腰三角形。
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的判定方法，结合三角形内角和定理计算角度即可解答，解题时注意角度计算不要出错。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=24°$，延长$BC$到点$D$，连接$AD$. 若通过尺规作图所得直线恰好经过点$C$，则$∠ BAD$的度数为（
A.$63°$
B.$62°$
C.$61°$
D.$60°$
A
）A.$63°$
B.$62°$
C.$61°$
D.$60°$
答案
3. A
解析
【分析】
首先观察尺规作图痕迹，可知所作直线是线段AD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得点C到A、D的距离相等，即AC=CD。解题步骤如下：1. 先利用等腰△ABC的已知条件，求出底角∠ACB的度数；2. 结合三角形外角的性质，求出等腰△ACD的底角∠CAD的度数；3. 最后将∠BAC与∠CAD相加，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=24°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{180°-∠BAC}{2}$=$\frac{180°-24°}{2}$=78°。
由尺规作图痕迹可知，所作直线是AD的垂直平分线，
∵点C在AD的垂直平分线上，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠D。
又
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=2∠CAD，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×78°=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=24°+39°=63°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合相关性质逐步推导角度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先观察尺规作图痕迹，可知所作直线是线段AD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得点C到A、D的距离相等，即AC=CD。解题步骤如下：1. 先利用等腰△ABC的已知条件，求出底角∠ACB的度数；2. 结合三角形外角的性质，求出等腰△ACD的底角∠CAD的度数；3. 最后将∠BAC与∠CAD相加，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=24°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{180°-∠BAC}{2}$=$\frac{180°-24°}{2}$=78°。
由尺规作图痕迹可知，所作直线是AD的垂直平分线，
∵点C在AD的垂直平分线上，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠D。
又
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=2∠CAD，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×78°=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=24°+39°=63°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是准确识别尺规作图的类型，再结合相关性质逐步推导角度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
