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13. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BEF=∠ CFH$，$BE=CF$，$M$是$EH$的中点。求证：$FM ⊥ EH$。
第13题图
第13题图答案
13. 证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$. 在$△ BEF$与$△ CFH$ 中 ，$\begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ BE=CF, \\ ∠ BEF=∠ CFH, \end{cases}$ $\therefore △ BEF ≌ △ CFH$(ASA)，$\therefore EF=FH$. 又$\because M$是$EH$的中点，$\therefore FM⊥ EH$.
解析
【分析】
要证明$FM⊥EH$，可利用等腰三角形“三线合一”的性质推导，即先证$△ EFH$为等腰三角形（$EF=FH$），结合$M$是$EH$中点的条件即可得到结论。要证$EF=FH$，可通过证明$△ BEF≌△ CFH$实现：已知$AB=AC$可得等腰$△ ABC$的底角$∠B=∠C$，再结合题目给出的$BE=CF$、$∠BEF=∠CFH$的条件，刚好满足ASA全等判定的要求，按此思路逐步推导即可。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠C$。
在$△ BEF$与$△ CFH$中：
$\begin{cases}∠B=∠C, \\BE=CF, \\∠BEF=∠CFH,\end{cases}$
$\therefore △ BEF ≌ △ CFH$（ASA），
$\therefore EF=FH$，即$△ EFH$是等腰三角形。
又$\because M$是$EH$的中点，
$\therefore FM⊥EH$。
【答案】
$FM⊥EH$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的ASA判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定和等腰三角形性质的综合应用，解题时可通过逆向思维从结论倒推所需条件，能快速理清证明思路。
【难度系数】
0.75
要证明$FM⊥EH$，可利用等腰三角形“三线合一”的性质推导，即先证$△ EFH$为等腰三角形（$EF=FH$），结合$M$是$EH$中点的条件即可得到结论。要证$EF=FH$，可通过证明$△ BEF≌△ CFH$实现：已知$AB=AC$可得等腰$△ ABC$的底角$∠B=∠C$，再结合题目给出的$BE=CF$、$∠BEF=∠CFH$的条件，刚好满足ASA全等判定的要求，按此思路逐步推导即可。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠B=∠C$。
在$△ BEF$与$△ CFH$中：
$\begin{cases}∠B=∠C, \\BE=CF, \\∠BEF=∠CFH,\end{cases}$
$\therefore △ BEF ≌ △ CFH$（ASA），
$\therefore EF=FH$，即$△ EFH$是等腰三角形。
又$\because M$是$EH$的中点，
$\therefore FM⊥EH$。
【答案】
$FM⊥EH$
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的ASA判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定和等腰三角形性质的综合应用，解题时可通过逆向思维从结论倒推所需条件，能快速理清证明思路。
【难度系数】
0.75
14. (2025·西藏) 如图，$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，点$D$是$BC$延长线上的一点，$∠ ACD=110°$，则$∠ A$的度数为（
A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
C
）A.$70°$
B.$55°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
14. C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，观察到∠ACD与∠ACB是邻补角，已知∠ACD的度数，可先求出△ABC的底角∠ACB的度数；第二步，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得另一底角∠B与∠ACB相等；第三步，结合三角形内角和为180°，代入两个底角的度数即可算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD与∠ACB互为邻补角，∠ACD=110°，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-110°=70°，
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACB=70°，
根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
C
【知识点】
邻补角性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础应用题，重点考查等腰三角形性质和三角形内角和定理的结合运用，解题的关键是正确利用邻补角求出等腰三角形的底角度数，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：第一步，观察到∠ACD与∠ACB是邻补角，已知∠ACD的度数，可先求出△ABC的底角∠ACB的度数；第二步，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得另一底角∠B与∠ACB相等；第三步，结合三角形内角和为180°，代入两个底角的度数即可算出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD与∠ACB互为邻补角，∠ACD=110°，
∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-110°=70°，
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠ACB=70°，
根据三角形内角和定理：三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-70°-70°=40°。
【答案】
C
【知识点】
邻补角性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础应用题，重点考查等腰三角形性质和三角形内角和定理的结合运用，解题的关键是正确利用邻补角求出等腰三角形的底角度数，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
15. (2025·南京) 若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是
5
.(写出一个即可) B C D 第14题图答案
15. 5
解析
【分析】
要确定等腰三角形的腰长取值，首先回忆等腰三角形两条腰长度相等的性质，结合周长公式可以表示出底边长，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，边长为正数）列出不等式，求出腰长的取值范围，在范围内任选一个值即可。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为$ x $，则底边长为$ 12 - 2x $。
根据三角形的三边关系及边长为正的要求：
1. 底边长必须大于0：$ 12 - 2x ＞ 0 $，解得$ x ＜ 6 $；
2. 两条腰的长度之和大于底边长：$ x + x ＞ 12 - 2x $，化简得$ 4x ＞ 12 $，解得$ x ＞ 3 $。
因此腰长的取值范围是$ 3 ＜ x ＜ 6 $，取范围内的任意一个值都满足要求，例如取$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的边长特征与三角形三边关系的结合应用，解题关键是先通过三边关系确定腰长的取值范围，再任选范围内的数值即可，易错点是容易忽略三边约束，取值超出合理范围。
【难度系数】
0.8
要确定等腰三角形的腰长取值，首先回忆等腰三角形两条腰长度相等的性质，结合周长公式可以表示出底边长，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，边长为正数）列出不等式，求出腰长的取值范围，在范围内任选一个值即可。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为$ x $，则底边长为$ 12 - 2x $。
根据三角形的三边关系及边长为正的要求：
1. 底边长必须大于0：$ 12 - 2x ＞ 0 $，解得$ x ＜ 6 $；
2. 两条腰的长度之和大于底边长：$ x + x ＞ 12 - 2x $，化简得$ 4x ＞ 12 $，解得$ x ＞ 3 $。
因此腰长的取值范围是$ 3 ＜ x ＜ 6 $，取范围内的任意一个值都满足要求，例如取$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形的边长特征与三角形三边关系的结合应用，解题关键是先通过三边关系确定腰长的取值范围，再任选范围内的数值即可，易错点是容易忽略三边约束，取值超出合理范围。
【难度系数】
0.8
16. (2025·哈尔滨) 在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，点$D$在射线$AB$上，$AD=AC$，连接$CD$，$∠ BCD=10°$，则$∠ ABC$的度数为
40°或60°
.答案
16. 40°或60°
解析
【分析】
解题时首先抓住“AD=AC”判定△ACD为等腰三角形，结合∠A=80°可先求出△ACD的底角度数。再注意题目中“点D在射线AB上”的表述，说明D的位置存在两种情况：①点D在线段AB上；②点D在AB的延长线上，分两种情况结合∠BCD=10°求出∠ACB的度数，最后利用三角形内角和为180°计算∠ABC即可。
【解析】
解：
∵AD=AC，∠A=80°
∴△ACD是等腰三角形，
$∠ ACD=∠ ADC=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
分两种情况讨论：
情况1：当点D在线段AB上时，
$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=50°+10°=60°$
在△ABC中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-60°=40°$
情况2：当点D在AB的延长线上时，
$∠ ACB=∠ ACD-∠ BCD=50°-10°=40°$
在△ABC中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-40°=60°$
综上，∠ABC的度数为40°或60°。
【答案】
40°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“射线AB”对应的多解情况，仅考虑点D在线段AB上的情形导致漏解。解题时需注意几何题干中射线、直线等表述的含义，结合等腰三角形性质和内角和定理分类讨论即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住“AD=AC”判定△ACD为等腰三角形，结合∠A=80°可先求出△ACD的底角度数。再注意题目中“点D在射线AB上”的表述，说明D的位置存在两种情况：①点D在线段AB上；②点D在AB的延长线上，分两种情况结合∠BCD=10°求出∠ACB的度数，最后利用三角形内角和为180°计算∠ABC即可。
【解析】
解：
∵AD=AC，∠A=80°
∴△ACD是等腰三角形，
$∠ ACD=∠ ADC=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
分两种情况讨论：
情况1：当点D在线段AB上时，
$∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=50°+10°=60°$
在△ABC中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-60°=40°$
情况2：当点D在AB的延长线上时，
$∠ ACB=∠ ACD-∠ BCD=50°-10°=40°$
在△ABC中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-40°=60°$
综上，∠ABC的度数为40°或60°。
【答案】
40°或60°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“射线AB”对应的多解情况，仅考虑点D在线段AB上的情形导致漏解。解题时需注意几何题干中射线、直线等表述的含义，结合等腰三角形性质和内角和定理分类讨论即可求解。
【难度系数】
0.6
