【知识点1】线段的垂直平分线的性质
线段上的点与这条线段的距离相等。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

【分析】
本题是对线段垂直平分线性质的基础识记考查，解题时只需回忆教材中线段垂直平分线的性质定理内容：性质的前提是点在线段的垂直平分线上，结论是该点到线段两个端点的距离相等，对应空缺位置补全语句即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，直接补全对应空缺的内容即可。
【答案】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对线段垂直平分线性质的记忆掌握情况，该性质是几何中求解线段等量关系、证明线段相等的重要依据，需牢固记忆。
【难度系数】
0.9

1. 如图15.1-4，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接BD，若AC=8，BD=3，则DC的长为。

1. 5

【分析】
解题时首先观察题干条件，出现了线段的垂直平分线，优先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。本题中点D在AB的垂直平分线上，因此可得AD=BD，已知BD的长度即可求出AD的长，再结合AC的总长度，利用线段的和差关系就能计算出DC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得AD = BD
∵BD = 3
∴AD = 3
又
∵AC = AD + DC，AC = 8
∴DC = AC - AD = 8 - 3 = 5
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是对线段垂直平分线性质的基础考查，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，找到相等的线段，再结合线段和差关系计算即可，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9

2. 如图15.1-5，DE是$△ ABC$的边BC的垂直平分线，若$△ ADB$的周长为14，$AB=6$，则AC的长为。

2. 8

【分析】
解题时首先提取题干中的关键条件：DE是BC的垂直平分线，由此可联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BD=CD。再观察△ADB的周长构成：AB+AD+BD，将BD等量替换为CD后，周长可转化为AB+(AD+CD)=AB+AC，结合已知的周长数值和AB的长度，即可直接计算出AC的长。
【解析】
∵DE是BC的垂直平分线，点D在DE上
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵△ADB的周长为14
∴$AB + AD + BD = 14$
将BD=CD代入上式，得：
$AB + AD + CD = 14$
又
∵$AD + CD = AC$
∴$AB + AC = 14$
已知$AB=6$，代入得：
$6 + AC = 14$
解得$AC=14-6=8$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转换，将待求边和已知的周长条件建立关联，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

【知识点2】线段的垂直平分线的判定
与线段两个端点的点在这条线段的垂直平分线上.
如图15.1-6，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA=PB. 小明说：“直线l是AB的垂直平分线.” 小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确.” 下列判断正确的是（）

A.小明说得对
B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D.两人说得都不对

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确选项为C。

【分析】
首先回忆线段垂直平分线的判定定理，先明确单个点满足到线段两端距离相等仅能说明该点在对应线段的垂直平分线上，过这个点的直线有无数条，不能直接判定该直线就是线段的垂直平分线，因此小亮的说法正确，需要补充条件才能确定直线l是AB的垂直平分线。再逐一分析选项：∠A=∠B是PA=PB时等腰三角形自带的性质，补充后无法证明l是垂直平分线；若补充PO⊥AB，结合PA=PB，可通过等腰三角形三线合一的性质推出l同时垂直且平分AB，符合垂直平分线的定义。
【解析】
首先补全线段垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
解题步骤如下：
1. 已知PA=PB，仅能证明点P在AB的垂直平分线上，无法证明直线l同时满足“垂直AB”和“平分AB”两个垂直平分线的必要条件，因此小明说法错误，小亮说法正确，排除A、D选项。
2. 分析B选项：PA=PB时△PAB为等腰三角形，本身就有∠A=∠B，该条件属于已有结论，补充后仍无法证明l是AB的垂直平分线，排除B选项。
3. 分析C选项：添加“PO⊥AB”，结合PA=PB，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出AO=BO，此时直线l既垂直AB，又平分AB，因此l是AB的垂直平分线，C选项正确。
【答案】
距离相等；C
【知识点】
1.线段垂直平分线的判定 2.等腰三角形三线合一
【点评】
本题容易混淆“点在垂直平分线上”和“直线是垂直平分线”两个概念，要注意判定一条直线是线段的垂直平分线，需要同时满足垂直、平分两个条件，或通过已知性质推导得到这两个条件。
【难度系数】
0.7

【知识点3】互逆命题的概念
如果两个命题的、正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的.
“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是.

互逆命题的定义：两个命题的题设、结论正好相反，互为逆命题，“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是等腰三角形。

【分析】
解题时首先回忆互逆命题的基础定义，即可直接填写前三个空；改写逆命题时，先将原命题拆解为“题设+结论”的结构，再把题设和结论互换位置，整理为通顺的语句即可得到逆命题。
【解析】
根据互逆命题的定义：如果两个命题的题设、结论正好相反，具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，若其中一个为原命题，另一个就是它的逆命题。
对原命题“等腰三角形是轴对称图形”进行拆分：可改写为“如果一个图形是等腰三角形，那么这个图形是轴对称图形”，其中题设是“一个图形是等腰三角形”，结论是“这个图形是轴对称图形”，将题设和结论互换后整理，得到逆命题为“轴对称图形是等腰三角形”。
【答案】
题设；结论；逆命题；轴对称图形是等腰三角形
【知识点】
互逆命题的概念；命题的结构；逆命题改写
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对互逆命题定义的理解，改写逆命题的关键是准确拆分原命题的题设和结论，改写后保证语句通顺合理即可。
【难度系数】
0.8

【例】如图15.1-7，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，求△BDC的周长.
【点拨】由线段垂直平分线的性质推出BD=AD，即可求出△BDC的周长.

图15.1-7

解：
∵DE垂直平分线段AB，
∴BD=AD，
∴△BDC的周长=BC+DB+CD=BC+AD+CD=BC+AC=8+5=13.

【分析】
解题时首先明确所求目标是△BDC的周长，其周长表达式为BD+CD+BC，已知BC=5，因此只需要求出BD+CD的长度即可。观察题干条件，DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点D到A、B的距离相等，即BD=AD。此时可将BD+CD等量替换为AD+CD，而AD+CD恰好是AC的长度，AC已知为8，代入即可求出周长。
【解析】
解：
∵DE垂直平分线段AB，
∴BD=AD，
∴△BDC的周长=BC+DB+CD
=BC+AD+CD
=BC+AC
=8+5=13。
【答案】
13
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是灵活运用线段垂直平分线的性质做线段的等量转化，将未知的线段和转化为已知边长，避免了单独计算各条线段长度的繁琐，是线段垂直平分线性质的典型考法。
【难度系数】
0.8