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1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若线段PA=2，则线段PB=（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
首先提取题目关键信息：直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在CD上，已知PA=2，求PB的长度。我们可以联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。因此P作为CD上的点，到A、B两点的距离相等，即PB=PA，代入已知PA的长度即可得到PB的数值。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在直线CD上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：PB = PA，
又
∵PA = 2，
∴PB = 2，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，直接考查线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先提取题目关键信息：直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在CD上，已知PA=2，求PB的长度。我们可以联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。因此P作为CD上的点，到A、B两点的距离相等，即PB=PA，代入已知PA的长度即可得到PB的数值。
【解析】
解：
∵直线CD是线段AB的垂直平分线，点P在直线CD上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：PB = PA，
又
∵PA = 2，
∴PB = 2，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础类题目，直接考查线段垂直平分线性质的应用，熟练掌握对应性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 下列命题：①线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；②对顶角相等；③在三角形中，相等的角所对的边也相等；④到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 其中逆命题是真命题的命题个数有（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. C
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步，回忆逆命题的定义，即把原命题的题设和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题；第二步，逐一写出4个命题的逆命题，结合所学几何知识判断每个逆命题的真假，最后统计逆命题为真命题的个数即可。
【解析】
我们逐个分析各命题的逆命题：
1. 命题①的逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，这是线段垂直平分线的判定定理，是真命题；
2. 命题②的逆命题：“相等的角是对顶角”，例如平行线被截得的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该逆命题是假命题；
3. 命题③的逆命题：“在三角形中，相等的边所对的角也相等”，这是等腰三角形的性质（等边对等角），是真命题；
4. 命题④的逆命题：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，这是角平分线的性质定理，是真命题。
综上，逆命题为真命题的是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的概念，真假命题判断，几何基本定理
【点评】
本题考查逆命题的改写及真假判断，解题关键是熟练掌握常见几何定理的题设和结论，改写逆命题时要注意保留原命题的前提条件，判断真假时可通过举反例验证假命题。
【难度系数】
0.7
解题需分两步进行：第一步，回忆逆命题的定义，即把原命题的题设和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题；第二步，逐一写出4个命题的逆命题，结合所学几何知识判断每个逆命题的真假，最后统计逆命题为真命题的个数即可。
【解析】
我们逐个分析各命题的逆命题：
1. 命题①的逆命题：“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，这是线段垂直平分线的判定定理，是真命题；
2. 命题②的逆命题：“相等的角是对顶角”，例如平行线被截得的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此该逆命题是假命题；
3. 命题③的逆命题：“在三角形中，相等的边所对的角也相等”，这是等腰三角形的性质（等边对等角），是真命题；
4. 命题④的逆命题：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，这是角平分线的性质定理，是真命题。
综上，逆命题为真命题的是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的概念，真假命题判断，几何基本定理
【点评】
本题考查逆命题的改写及真假判断，解题关键是熟练掌握常见几何定理的题设和结论，改写逆命题时要注意保留原命题的前提条件，判断真假时可通过举反例验证假命题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=20\ \mathrm{cm}$，$DE$垂直平分$AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$，若$△ DBC$的周长为$35\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为（
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$15\ \mathrm{cm}$
D.$17.5\ \mathrm{cm}$
C
）A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$10\ \mathrm{cm}$
C.$15\ \mathrm{cm}$
D.$17.5\ \mathrm{cm}$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=BD。接下来观察△DBC的周长组成，其周长为BD+DC+BC，将BD替换为AD后，可将周长转化为AD+DC+BC，而AD+DC正好是AC，这样就把△DBC的周长和已知的AC长度建立了联系，代入已知数值即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AD=BD$
∵$△ DBC$的周长为$35\ \mathrm{cm}$
∴$BD+DC+BC=35\ \mathrm{cm}$
将$BD=AD$代入上式，得：
$AD+DC+BC=35\ \mathrm{cm}$
又
∵$AD+DC=AC$，且$AC=20\ \mathrm{cm}$
∴$20 + BC = 35$
解得$BC=15\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题型，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过性质对三角形周长中的线段进行等量转化，把未知量和已知条件关联起来，只要熟练掌握线段垂直平分线的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=BD。接下来观察△DBC的周长组成，其周长为BD+DC+BC，将BD替换为AD后，可将周长转化为AD+DC+BC，而AD+DC正好是AC，这样就把△DBC的周长和已知的AC长度建立了联系，代入已知数值即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB
∴根据线段垂直平分线的性质，得$AD=BD$
∵$△ DBC$的周长为$35\ \mathrm{cm}$
∴$BD+DC+BC=35\ \mathrm{cm}$
将$BD=AD$代入上式，得：
$AD+DC+BC=35\ \mathrm{cm}$
又
∵$AD+DC=AC$，且$AC=20\ \mathrm{cm}$
∴$20 + BC = 35$
解得$BC=15\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题型，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过性质对三角形周长中的线段进行等量转化，把未知量和已知条件关联起来，只要熟练掌握线段垂直平分线的性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.某省三个市之间想建立一个货物中转仓，使其到三市的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
A
）A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：找到一点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。第一步回忆相关性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此到两个顶点距离相等的点一定在这两点所连边的垂直平分线上。要同时满足到三个顶点距离相等，该点就需要同时在三条边的垂直平分线上，即三边垂直平分线的交点。再逐一对应其他选项的点的性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
解：由题意可知，中转仓需要满足到A、B、C三个点的距离相等。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
到A、B两点距离相等的点，在AB边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点，在BC边的垂直平分线上；
到A、C两点距离相等的点，在AC边的垂直平分线上。
因此同时满足到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点。
再逐一排除错误选项：
B选项，三边中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等；
C选项，三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
D选项，三边上高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的几何性质，解题关键是牢记“到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点”，注意和“到三边距离相等的点是三条角平分线的交点”这两个结论做区分，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：找到一点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等。第一步回忆相关性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此到两个顶点距离相等的点一定在这两点所连边的垂直平分线上。要同时满足到三个顶点距离相等，该点就需要同时在三条边的垂直平分线上，即三边垂直平分线的交点。再逐一对应其他选项的点的性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
解：由题意可知，中转仓需要满足到A、B、C三个点的距离相等。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
到A、B两点距离相等的点，在AB边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点，在BC边的垂直平分线上；
到A、C两点距离相等的点，在AC边的垂直平分线上。
因此同时满足到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点。
再逐一排除错误选项：
B选项，三边中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等；
C选项，三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
D选项，三边上高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的几何性质，解题关键是牢记“到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点”，注意和“到三边距离相等的点是三条角平分线的交点”这两个结论做区分，避免混淆。
【难度系数】
0.8
5. 如图，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，若PC的长为5，则PA的长是
5
。答案
5. 5
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的垂直平分线条件，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以先作辅助线连接PB，先利用AB的垂直平分线得到PA和PB相等，再利用BC的垂直平分线得到PB和PC相等，最后通过等量代换就能得出PA和PC的长度相等，代入已知PC的长度就能求出PA的长。
【解析】
解：连接PB。
∵ PD垂直平分AB，点P在PD上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ PE垂直平分BC，点P在PE上，
∴ PB = PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ PA = PC，
又
∵ PC = 5，
∴ PA = 5。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是结合图形找准垂直平分线上的点对应的相等线段，通过简单的等量代换即可得到结果。
【难度系数】
0.85
解题时先观察题目给出的垂直平分线条件，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以先作辅助线连接PB，先利用AB的垂直平分线得到PA和PB相等，再利用BC的垂直平分线得到PB和PC相等，最后通过等量代换就能得出PA和PC的长度相等，代入已知PC的长度就能求出PA的长。
【解析】
解：连接PB。
∵ PD垂直平分AB，点P在PD上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ PE垂直平分BC，点P在PE上，
∴ PB = PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴ PA = PC，
又
∵ PC = 5，
∴ PA = 5。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础题，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是结合图形找准垂直平分线上的点对应的相等线段，通过简单的等量代换即可得到结果。
【难度系数】
0.85
6. 如图，$AD ⊥ BC$，$BD=DC$，点$C$在$AE$的垂直平分线上. 若$AB=5$，$BC=6$，则$AC=$
5
，$DE=$8
.答案
6. 5 8
解析
【分析】
解题时分两步思考：①求AC的长度：已知AD⊥BC且BD=DC，可判断AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AB=AC，代入AB的长度即可求出AC。②求DE的长度：先由BD=DC、BC=6算出DC的长度，再根据点C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE，最后DE的长度等于DC与CE的和，代入数值计算即可。
【解析】
1. 求AC的长度：
∵ $AD⊥BC$，$BD=DC$，
∴ AD是线段BC的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴ $AC=AB=5$。
2. 求DE的长度：
∵ $BC=6$，$BD=DC$，
∴ $DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
又
∵ 点C在AE的垂直平分线上，
∴ $AC=CE=5$，
∴ $DE=DC+CE=3+5=8$。
【答案】
5；8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是能根据垂直平分线的性质得到相等的线段，再结合已知线段的长度进行和差运算即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时分两步思考：①求AC的长度：已知AD⊥BC且BD=DC，可判断AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AB=AC，代入AB的长度即可求出AC。②求DE的长度：先由BD=DC、BC=6算出DC的长度，再根据点C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE，最后DE的长度等于DC与CE的和，代入数值计算即可。
【解析】
1. 求AC的长度：
∵ $AD⊥BC$，$BD=DC$，
∴ AD是线段BC的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴ $AC=AB=5$。
2. 求DE的长度：
∵ $BC=6$，$BD=DC$，
∴ $DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
又
∵ 点C在AE的垂直平分线上，
∴ $AC=CE=5$，
∴ $DE=DC+CE=3+5=8$。
【答案】
5；8
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是能根据垂直平分线的性质得到相等的线段，再结合已知线段的长度进行和差运算即可求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$△ ABC$中，$BC$边的垂直平分线交$BC$于点$D$，交$AB$于点$E$，若$CE$平分$∠ ACB$，$∠ B=40°$，则$∠ A=$
60°
。答案
7. 60°
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得EB=EC，结合等边对等角就能求出∠ECB的度数；再根据CE是∠ACB的角平分线，可推出∠ACB的度数；最后利用三角形内角和为180°，代入已知角的度数即可算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，点E在DE上
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠ECB=∠B=40°（等边对等角）
∵CE平分∠ACB
∴∠ACB=2∠ECB=2×40°=80°（角平分线的定义）
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-80°=60°
【答案】
60°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，通过逐步推导角的数量关系求解未知角，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，看到BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得EB=EC，结合等边对等角就能求出∠ECB的度数；再根据CE是∠ACB的角平分线，可推出∠ACB的度数；最后利用三角形内角和为180°，代入已知角的度数即可算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵DE是BC的垂直平分线，点E在DE上
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴∠ECB=∠B=40°（等边对等角）
∵CE平分∠ACB
∴∠ACB=2∠ECB=2×40°=80°（角平分线的定义）
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-40°-80°=60°
【答案】
60°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，通过逐步推导角的数量关系求解未知角，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
