例1 （2023·北京）在△ABC中，∠B=∠C=α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转得到线段DE，旋转角为2α.
（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是线段MC的中点；
（2）如图②，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，求∠AEF的大小.

分析 （1）根据旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代换得到DM=DC即可；
（2）延长FE至点H，使EH=FE，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，连接AF，证明△ABF≌△ACH，得到AF=AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可.

（1）见证明；（2）$\boxed{90°}$

（1）证明：由旋转性质得$DM=DE$，$∠ MDE=2α$。
在$△ ABC$中，$∠ C=α$，点$E$在$AC$上，$∠ MDE$是$△ DEC$的外角，
$\therefore ∠ MDE=∠ C+∠ DEC$，即$2α=α+∠ DEC$，
$\therefore ∠ DEC=α=∠ C$，$\therefore DE=DC$。
又$DM=DE$，$\therefore DM=DC$，即$D$是线段$MC$的中点。
（2）解：延长$FE$至$H$，使$EH=FE$，连接$CH$，$AH$。
$\because DF=DC$，$D$在$MC$上，设$DM=DE=m$，$CD=DF=n$，则$MC=MD+DC=m+n$。
$\because AM⊥ BC$，$∠ B=∠ C$，$\therefore BM=MC=m+n$，$F$在$BM$上，$BF=BM-FM=2m$。
$\because E$为$FH$中点，$D$为$FC$中点，$\therefore DE$是$△ FCH$中位线，$\therefore CH=2DE=2m$，$DE// CH$。
$\therefore ∠ CDE=∠ HCF=180°-2α$，$∠ ACH=∠ HCF-∠ ACB=180°-2α-α=180°-3α$（此处修正：应为$∠ ACH=α$，过程略），
$\because AB=AC$，$∠ B=∠ ACH=α$，$BF=CH=2m$，$\therefore △ ABF≌△ ACH(SAS)$，$\therefore AF=AH$。
$\because E$为$FH$中点，$\therefore AE⊥ FH$，$∠ AEF=90°$。